g. Kazan', Russian Federation
Russian Federation
employee
Russian Federation
UDK 60 Прикладные науки. Общие вопросы
GRNTI 30.01 Общие вопросы механики
The studies were carried out with the aim of designing (synthesizing) a functional five-link spatial mechanism with rotational pairs (5R mechanism), reproducing the movement of the output link at the working sections in a linear function with a given accuracy. In the historical development of mechanisms, the seven-link mechanism with rotary joints was known, which until now has not been used in technology. Kardan-Gook’s spherical mechanism is widely used. In 1903, the English mathematician Bennett described a spatial four-link mechanism with crossed geometric axes of hinges, a workable model of which he could not manufacture. Scientists around the world showed interest in the Bennett mechanism, but for a long time, none of them could even produce its model, let alone the production model. Kazan scientists were able to fully solve the problem, who fundamentally revealed a new scientific direction about spatial mechanisms with only rotational joints. Hundreds of new, previously unknown mechanisms and devices based on them were formed, manufactured not only in models, but also introduced into production. Now work is underway to further study the mechanisms of this group, in particular, the design of a spatial five-link mechanism for a given movement of the output link. As a result of the studies, the objective function and the dependences necessary for the design of the mechanism are obtained. An algorithm has been developed and described in sufficient detail for solving this problem in CAD for two types of spatial five-link chains: with the same angles of intersection of the geometric axes of the hinges of the rack and the output link, equal to 900 and with the indicated angles that complement each other up to 1800
spatial five-link mechanism, rotary joints, design, objective function, law of movement of the output link, linear function
Общеизвестно, что механизмы (плоские и пространственные) входят в состав многих машин и устройств и используются человеком в практической деятельности с древнейших времен [1, 2, 3]. Пространственные механизмы для соединения звеньев имеют в основном шаровые, шаровые с пальцем, цилиндрические, сферические и вращательные шарниры. Затруднений в образовании пространственных механизмов с набором указанных кинематических пар нет, их можно конструировать сотнями. Но простоту создания механизмов нивелируют сложность изготовления шаровых шарниров, малый срок службы, ограничения по несущей силовой способности и ряд других недостатков [4, 5, 6]. Предпочтительнее во всех отношениях в механизмах иметь только вращательные шарниры, оформляемые стандартными подшипниками качения или скольжения, у которых значительно выше силовые передаточные показатели и срок службы, они технологичнее в изготовлении, легко изолируются от агрессивной внешней среды.
В истории механизмов и техники нет другого примера столь длительно по времени нахождения в состоянии становления и развития, как разработка пространственных механизмов только с вращательными шарнирами. Был известен семизвенный механизм, который до сих пор не нашел применения в технике [7]. Другие механизмы на сегодняшний день не известны. В 1903 г. английский математик Беннетт предложил разработанный экспериментальным путём четырехзвенный механизм со скрещенными осями шарниров, работоспособную модель которого он изготовить не смог [8]. Интерес к пространственным механизмам с вращательными парами проявляли ученые во всем мире, но только с теоретической точки зрения, поскольку никто из них не смог изготовить даже его модель, не говоря о производственном образце. Такая ситуация была обусловлена тем, что развитие этих механизмов сталкивалось с неразрешимыми проблемами при исследовании, а особенно при изготовлении и использовании в технике [9, 10, 11].
На наш взгляд, основные причины возникавших затруднений заключаются в следующем. Звенья такого механизма, например, четырехзвенного, имеют скрещенные геометрические оси шарниров, поэтому условие совпадения кратчайших расстояний между ними (теоретических длин звеньев) не все исследователи понимали по существу и конкретности. Дело в том, что у некоторых звеньев такие расстояния измеряются не по их телам, а вне тел. В результате в изготовленных моделях концы кратчайших расстояний не совпадали, и механизм не мог быть работоспособным.
К потере работоспособности изготовленных моделей приводило и не соблюдение другого условия: «кратчайшие расстояния (длины звеньев) должны быть пропорциональны синусам соответствующих углов скрещивания». Ученые не знали особенности технологии изготовления звеньев (два кривошипа и стойка),
у которых кратчайшее расстояние находится вне их материального.
Решить проблему в полной мере удалось казанским ученым Б. В. Шитикову [12] и его ученику П. Г. Мудрову [13], которые раскрыли новое научное направление о пространственных механизмах только с вращательными шарнирами. В результате были созданы сотни новых, ранее неизвестных механизмов, работоспособность которых подтверждена сконструированными по уникальной технологии моделями и устройствами на их базе на уровне изобретений. После этого начался второй этап большой исследовательской работы – определение диапазона и сферы практического применения таких механизмов в технике.
Цель представленного исследования – проектирование пространственного пятизвенного шарнирно-рычажного механизма для использования его в автоматизированной линии для точного воспроизведения линейного закона движения рабочего органа.
Условия, материалы и методы исследований. Анализ пространственных механизмов с вращательными парами [14, 15, 16] с учётом возможности лучшей конструктивной реализации структурных схем и требуемой точности воспроизведения линейной функции показал, что для возвратно-вращательного движения с рабочими участками на прямом и обратном ходе представляют интерес кривошипно-коромысловые пятизвенники, у которых углы скрещивания геометрических осей шарниров смежных звеньев 4 и 5 равны равны α4 = α5 = 90° (рисунок 1).
(1г)
Здесь и далее αi – угол скрещивания геометрических осей шарниров звена, отсчитываемый против часовой стрелки, принимая за начало отсчёта ось шарнира, обращенного к наблюдателю, li – кратчайшее расстояние между осями шарниров (теоретическая длина звена).
Структурные зависимости для пятизвенника второго типа, а также его модификации в четырёхзвенном исполнении, где звено 2 с нулевой теоретической длиной заменено сферическим шарниром, (см. рисунок 2), следующие:
(2а)
(2б)
(2в)
(2г)
Рисунок 2 – Кинематические схемы разновидностей пространственного пятизвенника:
а) с зависимостью углов
α4 = 180° – α5; б) с одной сферической парой;
ψm– угол максимального поворота (ход) выходного звена; остальные обозначения такие же,
как на рисунке 1
Рассмотрим эти механизмы и определим их возможности для проектирования (синтеза) по заданным условиям. Полученные данные и формулы будут использованы для разработки алгоритма проектирования механизмов в CAD.
Кинематика выходного звена пространственных механизмов с вращательными парами зависит только от угловых параметров звеньев [13], поэтому их и необходимо определить при проектировании. При определении линейных параметров необходимо длину одного из звеньев задать произвольно, исходя из функционального назначения механизма и конструктивного исполнения шарнирных узлов, а остальные рассчитываются по приведённым формулам (1), (2).
Анализ и обсуждение результатов исследований. Проектирование пространственных пятизвенников, у которых α4 = α5 = 90°, по воспроизведению возвратно-вращательного движения выходного звена (балансира 4) с рабочими участками на прямом и обратном ходе основано на зависимости между углами поворота кривошипа 1 (входного звена) и ба-
лансира (рисунок 3):
(3)
где α1 – угол скрещивания геометрических осей шарниров кривошипа (звена 1);
φ1 – угол его поворота;
ψ4 – угол поворота балансира.
Рисунок 3 – График зависимости угла поворота выходного звена от угла поворота входного
(ψ4 = f(φ4)), сплошной линией показан график для
Здесь К – угловой коэффициент, характеризующий крутизну прямолинейного участка ав:
(12)
φк – угол, определяющий точку касания касательной LM, проведённой параллельно отрезку ав (см. рисунок 3 и 4).
Угол φ/р, входящий в формулу (12), находится из выражения:
которое получено из формулы (3) заменой в ней φ1 на φIр, +180° и ψ4 на ψр / 2.
Формула (13) получена путём приравнивания частной производной функции ψ4 = f(φ1) коэффициенту K (касательная LM параллельна отрезку ав), то есть:
где φ/к =180° + φк.
Поскольку относительная погрешность Dψ изменяется в широких пределах, а желательно иметь минимальное её значение, то при направленном поиске параметров механизма здесь и далее будем исходить из нижнего предела этой величины [17].
Итак, получена целевая функция Dmax (или Dψ0) и соответствующие формулы, необходимые для синтеза механизма, воспроизводящего возвратно-вращательное движение с рабочими участками на прямом и обратном ходе. Синтез осуществляется в следующем порядке. Задаётся рабочий участок хода балансира ψр. Берётся большее значение n, определяется угол α1 и величина целевой функции Dψ0, которая сравнивается с нижним значением Dψ. При этом должно выполняться условие Dψ0 ≤ Dψ. Если оно не выполняется, то значение n уменьшается на небольшую величину и процесс повторяется до получения Dψ0 ≤ Dψ., либо, если это не удается, до получения Dψi+10 – Dψi ≥ 0., то есть до достижения минимума D max. Затем увеличивается на определённую величину и процесс повторяется до тех пор пока не будет достигнуто условие Dψ0 ≤ Dψ.
Получив требуемую точность и, следовательно, угол α1, определяются остальные параметры: в частности, координаты точки О (начало новой системы координат yφ):
(15)
координаты точки С (начало прямолинейного участка св) в старой системе y4φ1:
(16)
и в новой системе yφ:
а также линейные параметры по формулам (1).
Рассмотрим теперь проектирование пространственных пятизвенников, у которых
α4 = 180° – α5 . Для него имеем:
(18)
где α5 – угол скрещивания геометрических осей шарниров звена 5 (стойки механизма), который может меняться от 70° до 85°.
Рассмотрим случай, когда α1 > 90°. Как видно на графике, кривая ψ4
1. Artobolevskiy I.I. Teoriya prostranstvennykh mekhanizmov. [Theory of spatial mechanisms]. M.: ONTI, 1937. Part1. P. 236.
2. Artobolevskiy I.I. Teoriya mekhanizmov. [Theory of mechanisms]. M.: “Nauka”, 1967. P. 719.
3. Dimenberg F.M. Teoriya prostranstvennykh sharnirnykh mekhanizmov. [Theory of spatial articulated mechanisms]. M.: “Nauka”, 1982. P. 336.
4. Vorobev E.I., Dimenberg F.M. Prostranstvennye sharnirnye mekhanizmy. Zamknutye i otkrytye kinematicheskie tsepi. [Spatial swivel mechanisms. Closed and open kinematic chains]. M.: “Nauka”, 1991. P. 264.
5. Zinovev Vyach.A. Prostranstvennye mekhanizmy s nizshimi parami. [Spatial mechanisms with lower pairs]. M. - L.: Gos. izd. tekhn.-teoret. lit-ry, 1952. P. 431.
6. Kraynev A.F. Slovar - spravochnik po mekhanizmam/ / 2-e izd., pererab i dop. [Dictionary - a reference to mechanisms. / 2nd edition, revised and extended. M.: Mashinostroenie, 1987. P. 560.
7. Baranov G.G. Kinematika prostranstvennykh mekhanizmov. // Tr. Voyennoy vozdushnoy akademii im. N.E. Zhukovskogo. [Kinematics of spatial mechanisms]. // Scientific works of Military Air Academy named after N.E.Zhukovskiy. Issue 18. P. 3-64
8. Bennett G.T. A new mechanism // Engineering. 1903. vol. 76. P. 777-778.
9. Brunnthaler K., Schrocker H-P., Husty M. A New Method for the Synthesis of Bennett Mechanisms // Proceedings of CK2005, International Workshop on Computational Kinematics. Cassino: University Innsbruck, 2005. P. 53-61.
10. Oliveira Jr A.A., Carvalho J.C.M. Modeling of the Bennettʹs linkage as leg of a mobile robot // 12 th IFToMM World Congress. Besancon, 2007. P. 1-6.
11. Chen Y, Baker E.J. Using a Bennett linkage as a connector between other Bennett loops. Proc. IMechE. Vol. 219. 2004. P. 177-185.
12. Shitikov B.V. Issledovanie prostranstvennykh sharnirnykh mekhanizmov. Rukopis. Otchet o nauchno-issledovatelskoy rabote. [Research of spatial hinged mechanisms. Manuscript. Research report]. Kazan, 1957. P. 28.
13. Mudrov P.G. Prostranstvennye mekhanizmy s vraschatelnymi parami. [Spatial mechanisms with rotational pairs]. Kazan: Izd-vo Kazanskogo universiteta, 1976. P. 264.
14. Mudrov A.G. Prostranstvennye mekhanizmy s osoboy strukturoy. [Spatial mechanisms with a special structure]. Kazan: RITs “Shkola”, 2003. P. 300.
15. Yarullin M.G., Isyanov I.R., Mudrov A.P. Kinematics of the Connecting Rod of a TwoMobility Five-Link Space Mechanism with a Double Crank // Advances in Mechanical Engineering Selected Contributions from the Conference “Modern Engineering: Science and Education”. Saint Petersburg, 2018.
16. Study of spatial hinge mechanisms and their use in agricultural machines / A.P. Mudrov, A.G. Mudrov, S.M. Yakhin, et al. // BIO Web of Conferences. EDP Sciences. 2020. C. 00012.
17. Levitskaya O.N., Levitskiy N.I. Kurs teorii mekhanizmov i mashin. [The course of the theory of mechanisms and machines]. M.: Vysshaya shkola, 1978. P. 270.
