Челябинск, Челябинская область, Россия
Теория и практика формообразования составных G2-гладких (дважды непрерывно дифференцируемых) кривых, применяемых в техническом проектировании с середины 60-х годов 20 века, все еще никак не отражена ни в учебных планах технических вузов, ни в российских учебниках по инженерной и компьютерной графике. Между тем, такие кривые применяются при моделировании самых разнообразных геометрических объектов и физических процессов. В статье рассматривается задача построения составной G2-гладкой кривой, проходящей через данные точки и касающейся в этих точках наперед заданных прямых. Для решения задачи используются кубические сегменты Безье (Bezier). Основная проблема при конструировании гладкой составной кривой связана с обеспечением непрерывности кривизны в стыках сегментов. В статье показано, что для параметризованных кубических кривых эта проблема сводится к решению квадратного уравнения. Составлен программный модуль, позволяющий конструировать плоскую G2-гладкую кривую, проходящую через наперед заданные точки и касающуюся в этих точках наперед заданных прямых. Форма кривой (“полнота” ее сегментов) корректируется пользователем в диалоговом режиме работы программного модуля. Решена задача построения кубической кривой, гладко соединяющей не связанные между собой сегменты Безье. Предложен алгоритм построения сегмента Безье, имеющего в своих граничных точках заданные касательные и заданную кривизну. Рассмотрены некоторые свойства кубического сегмента Безье. В частности, показано, что для случая параллельных касательных кривизна на конце сегмента определяется положением только одной управляющей точки (теорема 1). Рассмотрены случаи, когда кривизна на концах сегмента Безье равна нулю (теорема 2). Выполнена аппроксимация трехточечного физического сплайна с помощью сегментов Безье. Погрешность аппроксимации составила менее 2%, что сравнимо с погрешностью обработки экспериментальных данных. Предложен способ моделирования пространственной G2-гладкой кривой, проходящей через наперед заданные в пространстве точки и касающейся в этих точках произвольно ориентированных в пространстве прямых. Статья имеет учебный характер и предназначена для углубленного изучения основ вычислительной геометрии и компьютерной графики.
гладкость, параметризация, кривизна, степень свободы, физический сплайн
1. Волошинов Д. В. Конструктивное геометрическое моделирование. Теория, практика, автоматизация: монография [Текст] / Д.В Волошинов. - Saarbrucken: Lambert Academic Publishing, 2010. - 355 с.
2. Волошинов Д.В. Алгоритмический комплекс для решения задач с квадриками с применением мнимых геометрических образов / Д.В. Волошинов // Геометрия и графика. - 2020. Т. 8, № 2. - С. 3-32. - DOIhttps://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-3-32
3. Волошинов Д.В. Конструктивное геометрическое моделирование как перспектива преподавания графических дисциплин [Текст] / Д.В. Волошинов, К.Н. Соломонов // Геометрия и графика. - 2013. Т. 1, № 2. - С. 10-13. - DOIhttps://doi.org/10.12737/778
4. Голованов Н.Н. Геометрическое моделирование / Н.Н. Голованов. - М.: Изд-во физико-математической литературы, 2012. - 472 с.
5. Жермен-Лакур П. Математика и САПР / Жермен-Лакур П., Жорж П. Л., Пистр Ф., Безье П. - М.: Мир, 1989. - 264 с.
6. Завьялов Ю.С. Сплайны в инженерной геометрии / Ю.С. Завьялов, В.А. Леус, В.А. Скороспелов. - М.: Машиностроение, 1985. - 224 с.
7. Иванов Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии / Г.С. Иванов. - М.: Машиностроение, 1998. - 157 с.
8. Курс начертательной геометрии (с учетом принципов программированного обучения) / под ред. Н.Ф. Четверухина. - М.: Высшая школа, 1968. - 266 с.
9. Конопацкий Е.В. Вычислительные алгоритмы моделирования одномерных обводов через k наперед заданных точек / Е.В. Конопацкий, А.А. Крысько, А.И. Бумага // Геометрия и графика. - 2018. Т. 6, № 3. - С. 20-32. - doi.org/10.12737/article_5bc457ece18491.72807735
10. Короткий В.А. Кубические кривые в инженерной геометрии / В.А. Короткий // Геометрия и графика. - 2020. Т. 8, № 3. - С. 3-24. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-3-24
11. Короткий В.А. Соприкосновение конических сечений / В.А. Короткий // Геометрия и графика. - 2016. Т. 4, № 3. - С. 36-45. https://doi.org / 10.12737 / 21532
12. Любчинов Е. В. О гладкости стыковки линий и поверхностей при циклографическом моделировании поверхностных форм автомобильных дорог / Е.В. Любчинов, К.Л. Панчук // Вестник ЮУрГУ. Серия “Строительство и архитектура”. - 2020. Т. 20, № 1. - С. 52-62. DOI:https://doi.org/10.14529/build200106
13. Назарова О.Н. Современные проблемы преподавания курса “Прикладная геометрия и инженерная графика” для эксплуатационных направлений авиационного вуза / О.Н.Назарова // Геометрия и графика. - 2020. Т. 8, № 2. - С. 58-65. DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-58-65
14. Понтрягин Л.С. Кубическая парабола / Л.С. Понтрягин // Научно-популярный физико-математический журнал «Квант». - 1984. - №3. - С. 10-14, 32.
15. Попов Е.П. Нелинейные задачи статики тонких стержней / Е.П. Попов. - М.: ГИТТЛ, 1948. - 172 с.
16. Прасолов В.В. Геометрия / В.В. Прасолов, В.М. Тихомиров. - М.: Изд-во МЦНМО, 2013. - 336 с.
17. Препарата Ф. Вычислительная геометрия / Ф. Препарата, М. Шеймос. - М.: Мир, 1989. - 478 с.
18. Рязанов С.А. Расчет координат модифицированного профиля производящей поверхности зуборезного инструмента / С.А. Рязанов, М.К. Решетников // Геометрия и графика. - 2020. Т. 8, № 4. - С. 35-46. DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-8-4-35-46
19. Савелов А.А. Плоские кривые / А.А. Савелов. - М.: Книжный дом «Либроком», 2009. - 296 с.
20. Савельев Ю.А. Вычислительная графика в решении нетрадиционных инженерных задач / Ю.А. Савельев, Е.Ю. Черкасова // Геометрия и графика. - 2020. Т. 8, № 1. - С. 33-44. - doi.org/10.12737/2308-4898-2020-33-44
21. Сальков Н.А. Геометрическая составляющая технических инноваций / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2018. Т. 6, № 2. - С. 85-93. - doi.org/10.12737/article_5b55a5163fa053.07622109
22. Сальков Н.А. Качество геометрического образования при различных подходах к методике обучения / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2020. Т. 8, № 4. - С. 47-60. DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-8-4-47-60
23. Сальков Н.А. Феномен присутствия начертательной геометрии в других учебных дисциплинах / Н.А. Сальков, Н.С. Кадыкова // Геометрия и графика. - 2020. Т. 8, № 4. - С. 61-73. DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-8-4-61-73
24. Смогоржевский А.С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка / А.С. Смогоржевский, Е.С. Столова. - М.: Ф-М., 1961. - 263 с.
25. Сухих Б.И. Вычислительная геометрия. Основные объекты и преобразования: учебное пособие / Б.И. Сухих, Р.А. Вайсбурд. - Екатеринбург, изд-во УПИ, 1989. - 92 с.
26. Усатая Т.В. Современные подходы к проектированию изделий в процессе обучения студентов компьютерной графике / Т.В. Усатая, Л.В. Дерябина, Е.С. Решетникова // Геометрия и графика. - 2019. Т. 7, № 1. - С. 74-82. - doi.org/10.12737/article_5c91fd2bde0ff7.07282102
27. Уокер, Р. Алгебраические кривые / Р. Уокер. - М.: Книжный дом «Либроком», 2009. - 240 с.
28. Фокс А. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве / А. Фокс, М. Пратт. - М., Мир, 1982. - 304 с.
29. Шикин Е.В. Кривые и поверхности на экране компьютера / Е.В. Шикин, Л.И. Плисс. - Диалог-МИФИ, 1996. - 240 с.
30. Glaeser, G. Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst, Natur und Technik / G. Glaeser. - Springer Spektrum, 2014. - 508 pp. DOIhttps://doi.org/10.1007/978-3-642-41852-5
