Россия
Статья посвящена теоретическому обоснованию метода замещения распределенных масс сосредоточенными применительно к расчетам сферического вращения тел произвольной формы, например, летательных аппаратов. В качестве апробации метода представлена модель вращения тонкостенной сферы вокруг неподвижной точки. Поверхность сферы разбита на равные квадраты, которые замещаются точечными массами, закрепленными на концах трех ортогональных стержней. Такая стержневая конструкция называется пространственным балансиром. Балансир вращается в рамках двойного карданного подвеса. Вычисляются координаты и скорости точечных масс при собственном вращении, нутации, прецессии, определяется кинетическая энергия системы, составляются уравнения Лагранжа. Из уравнений следует, что: инерционные свойства сферы и балансира эквивалентны, поскольку формулы моментов инерции совпадают; движения системы масс определяются внешними воздействиями на рамки и силами инерции − переносными и Кориолиса; после прекращения воздействия суммарная кинетическая энергия балансира остается постоянной, происходит непрерывный обмен энергией между прецессией и нутацией в форме незатухающих механических колебаний; уравнения движений адекватно описывают большинство известных гироскопических эффектов, в том числе безынерционную остановку прецессионного движения и устойчивого сохранения балансиром углового положения, заданного при его раскрутке. Полученные результаты могут быть использованы в аналитических исследованиях и инженерных расчетах летательных аппаратов и гироскопических приборов.
рассредоточенная масса, сосредоточенная масса, вращение вокруг неподвижной точки (сферическое), замещение, балансир, двойной карданный подвес, уравнения Лагранжа, инерционная эквивалентность, нутация, прецессия, безынерционная остановка, гироскопические эффекты
Задачи, связанные с движением твердого тела вокруг неподвижной точки (сферического), относятся к классической механике и решаются уже не одно столетие. В эволюции данной проблемы можно условно выделить три составляющие:
- разработка и непрерывное совершенствование теоретических основ, заложенных, в свое время, Л. Эйлером и Ж. Лагранжем;
- практическое приложение результатов к техническому управлению – гироскопии и навигации;
- распространение классических методов на задачи современного этапа – изучения движения скоростных летательных аппаратов, спутников, космических кораблей [1].
Для оценки нагрузок на несущие конструкции скоростного летательного аппарата при сложном маневрировании или в аварийных режимах требуется расчетная модель, учитывающая все виды силовых воздействий, которые могут возникнуть в сложном движении, общем случае – свободном. Исходя из того, что наиболее неблагоприятное сочетание силовых факторов (одновременное действие центробежных сил, гироскопических моментов, переносных сил инерции) характерно для отрезков времени, когда аппарат совершает сферические движения, целесообразно рассмотреть именно этот случай. В работах по динамике вращающихся тел с одной закрепленной точкой, в основу анализа положены динамические уравнения Эйлера [2], [3], оперирующие инерционными параметрами распределенной массы – осевыми и центробежными моментами инерции. Считается, что полученные из них решения исчерпывающим образом описывают изучаемые явления. Однако, кроме того, что они достаточно абстрактны и не адаптированы для инженерных расчетов, некоторые результаты, например, обоснование безынерционности остановки прецессионного движения, устойчивости гироскопа к резкому удару, сохранению пространственного положения, заданного при раскрутке, выглядят недостаточно детализированными. Теория волчков Ф.Ф. Лендера, разработанная для упрощения понимания их динамики, также представляется не вполне доступной альтернативой. В частности, в работе [4] им был использован метод замещения объемного тела с распределенной массой, системой эквивалентных сосредоточенных масс. Такой подход широко применяется в теоретической механике и позволяет описывать движение объемного тела наглядными уравнениями Лагранжа второго рода, для системы замещающих точечных масс [5]. Члены уравнений дают полное представление о характере действующих сил и закономерностях движения тела. Применительно к летательному аппарату, такой метод предусматривает его разбиение на участки замещения и аналитическое определение координат и скоростей точечных масс, при его вращении вокруг неподвижной точки. Апробируем данный метод анализом гироскопических явлений, возникающих при вращении твердого тела, например, тонкостенной сферы.
Разобьем поверхность сферы радиусом R и массой M на шесть одинаковых сферических квадрата. Примем, что масса квадратов сосредоточена в точечных массах m =M/6, расположенных в точках пересечения поверхности сферы и координатных осей, на расстоянии R от центра (рис. 1a). Заместим сферу телом, состоящим из трех, скрепленных между собой, ортогональных стержней с точечными массами на концах (рис. 1б).
После прекращения воздействия суммарная кинетическая энергия балансира остается постоянной. Происходит непрерывный обмен энергией между прецессией и нутацией в форме незатухающих механических колебаний.
Разобранный пример динамики стержневой системы с точечными массами, в инерционном отношении эквивалентной тонкостенной сфере, указывает на принципиальную возможность использования метода замещенияи в других, гораздо более сложных, случаях. Представляется, что использование методов компьютерной динамики [13] в исследованиях закономерностей движения замещаемых тел позволит существенно углубить и расширить анализ, обеспечить механиков – математиков и инженеров – механиков удобным инструментом аналитического исследования динамики и предварительных расчетов элементов летательных аппаратов:
- полученные решения свидетельствуют о том, что инерционные свойства балансира и тонкостенного тела вращения – сферы эквивалентны, поскольку величины их моментов инерции совпадают;
- движения системы определяются внешними воздействиями на рамки и внутренними силами инерции − переносными и Кориолиса;
- после прекращения воздействия суммарная кинетическая энергия балансира остается постоянной, происходит непрерывный обмен энергией между прецессией и нутацией в форме незатухающих механических колебаний;
- приведенные уравнения нутации и прецессии адекватно описывают большинство известных гироскопических эффектов, в том числе, безынерционную остановку прецессионного движения и устойчивого сохранения балансиром углового положения, заданного при его раскрутке;
- полученные результаты могут быть использованы в аналитических исследованиях и инженерных расчетах летательных аппаратов.
1. Черноусько Ф.Л. Эволюция движения твердого тела относительно центра масс/ Ф.Л.Черноусько, Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко - Москва−Ижевск: Ижевский институт компьютерных исследований, 2015. - 308 с.
2. Магнус К. Гироскоп. Теория и практика / К.Магнус─ Москва: Издательство «Мир», 1974. - 516 с.
3. Курс теоретической механики: Учебник для вузов / В.И. Дронг [и др.]; под общ.ред. К.С. Колесникова - Москва: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. - 736 с.
4. Лендер Ф.Ф. Теория волчка: Общая теория волчка в элементарном изложении/ Ф.Ф. Лендер. - Москва: ЛЕНАНД, 2017. - 136 с.
5. Яблонский А.А. Курс теоретической механики: Ч.2. Динамика / А.А.Яблонский. - Москва: Высшая школа, 1977. - 430 с.
6. Прядко Ю.Г. Теоретическая механика. Геометрия масс / Ю.Г.Прядко, В.Г.Караваев─ Челябинск: Изд−во ЮУрГУ, 2006. - 105 с.
7. Почему, и как, прецесcирует гироскоп [Электронный ресурс] / ИАТЭ НИЯУ МИФИ, кафедра О и СФ.─ режим доступа: iatephysics.narod.ru/gyroscope/gyros_r.htm. Дата доступа 17.05.2018.
8. Леви−Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики: Т.2. Динамика систем с конечным числом степеней свободы. Ч.2 / Т. Леви−Чивита, У.Амальди─Москва: Изд−во Иностранная литература, 1959. - 543 с.
9. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики: Ч.2. Динамика системы материальных точек / Н.Н. Бухгольц─ Москва: Наука, 1966. - 332 с.
10. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Учебное пособие: Т.1. Механика / Д.В. Сивухин─ Москва: Изд−во МФТИ, 2005. - 560 с.
11. Перри Дж. Вращающийся волчок / Дж. Перри─ Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 112 с.
12. Добронравов В.В. Курс теоретической механики / В.В. Добронравов, Никитин Н.Н.─ Москва: Высшая школа, 1974. - 528 с.
13. Борисов А.В. Динамика твердого тела / А.В.Борисов, И.С.Мамаев─ Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 384 с.
