Рассмотрена задача о периодических по времени решениях волнового уравнения с переменными коэффициентами общего вида и заданной периодической вынуждающей силой. В случае однородных граничных условий 3-го рода и Дирихле доказано существование счетного числа периодических решений при условии, что нелинейное слагаемое имеет степенной рост без предположения монотонности.
волновое уравнение, вариационный метод, возмущение четных функционалов.
1. Barby, V. Periodic solutions to nonlinear one dimensional wave equation with x - dependent coefficients/ V.Barby, N.H.Pavel // Trans. Amer. Math. Soc.-1997.-V. 349. - № 5.- P. 2035-2048.
2. Rabinowitz, P. Free vibration for a semilinear wave equation/ P. Rabinowitz//Comm. Pure Aple. Math.-1978.- V. 31.- № 1.- P. 31-68.
3. Bahri, A. Periodic solutions of a nonlinear wave equation/A. Bahri, H. Brezis// Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A. - 1980.- V. 85. - P. 3130-320.
4. Brezis, H. Forced vibration for a nonlinear wave equations/ H. Brezis, L. Nirenberg //Comm. Pure Aple. Math.-1978.- V. 31. - № 1.- P. 1-30.
5. Плотников, П. И. Существование счетного множества периодических решений задачи о вынужденных колебаниях для слабо нелинейного волнового уравнения/П. И. Плотников// Математический cборник. -1988.-Т. 136(178).- № 4(8). - С. 546-560.
6. Feireisl, E. On the existence of periodic solutions of a semilinear wave equation with a superlinear forcing term/ E. Feireisl //Chechosl. Math. J.- 1988.-V. 38.- № 1.- P.- 78-87.
7. Рудаков, И.А. Нелинейные колебания струны/ И.А. Рудаков//Вестн. МГУ. Сер. 1, Матем., мех. - 1984.- № 2. - С. 9-13.
8. Рудаков, И. А. Периодические решения нелинейного волнового уравнения с непостоянными коэффициентами/ И. А. Рудаков //Математические заметки. -2004. -Т. 76.- Вып. 3. -С. 427-438.
9. Shuguan, J. Time periodic solutions to a nonlinear wave equation with - dependet coefficients/ J. Shuguan//Calc. Var. -2008.-V. 32. - P. 137-153.
10. Рудаков, И.А. Периодические решения квазилинейного волнового уравнения с переменными коэффициентами/ И.А. Рудаков //Математический сборник. -2007.-Т. 198.- № 4(8). - С. 546-560.
11. Рудаков, И.А. О периодических по времени решениях квазилинейного волнового уравне-ния/ И.А. Рудаков // Труды МИАН. -2010. - Т. 270. - С. 226-232.
12. Рудаков, И.А. Периодические колебания неоднородной струны с закрепленным и свободным концами / И.А. Рудаков// Вестник Брянского государственного технического университета. - 2015. - № 3(47). - С. 83-93.
13. Рудаков, И.А. Периодические решения волнового уравнения с непостоянными коэффициентами и однородными граничными условиями Дирихле и Неймана/ И.А. Рудаков// Дифференциальные уравнения. -2016. - Т. 52. - № 2. - С. 247-256. - URL: http://nasb.gov.by/eng/publications/difur/index.php.
14. Трикоми, Ф. Дифференциальные уравнения/ Ф.Трикоми. - М.: УРСС, 2003.-351 с.
15. Tanaka, K. Infinitely many periodic solutions for the equation: II/K. Tana-ka//Trans. Amer. Math. Soc.-1988.-V. 307. -P. 615-645.
16. Rabinowitz, P.H. Multiple critical points of per-turbed symmetric functionals/ P.H. Rabino-witz//Trans. Amer. Math. Soc.-1982.-V. 272. - P. 753-769.
17. Bahri, A. Topological results on a certain class of functionals and applications/A.Bahri, H.Berestycki//Trans. Amer. Math. Soc.-1981.-V. 267.-№ 1.-P. 1-32.
18. Рудаков, И.А. Периодические решения квази-линейного уравнения вынужденных колебаний балки/И.А.Рудаков//Известия РАН. Сер. мат.-2015.-Т. 79. -№ 5.-С. 215-238.
