Исследованы вопросы применения модели Хестона со стохастической волатильностью к вычислению справедливой стоимости опционов. Рассмотрена задача калибрации модели в условиях конкретного рынка и периода времени. Проведено сравнение двух методов ее решения. По результатам калибрации произведен расчет функции стоимости для опционов на продажу с различными ценами исполнения и сроками контракта при различной годовой процентной ставке без риска. В качестве исходных данных использовались котировки европейских опционов на покупку англо-американских акций, торгуемых на Лондонской бирже. Проведено сравнение модели Хестона с моделью Блэка-Шоулза. В рамках этих моделей построены зависимости стоимости опциона от стоимости базового актива, найдены оценки отклонений цен, рассчитанных по моделям, от реальных рыночных цен. Проанализированы полученные результаты.
опционы, стохастическая волатильность, модель Блэка-Шоулза, модель Хестона.
Введение
Одними из наиболее эффективных и в то же время сложных финансовых инструментов являются опционы. Они представляют собой деривативы, основной задачей которых является хеджирование рисков, связанных с изменением цен на базовые активы: ценные бумаги, валюты, фондовые индексы, товарные активы и др.
В 1973 г. была основана Чикагская биржа опционов (СВОЕ), на которой началась торговля опционами на американские акции, а американские экономисты Фишер Блэк и Майрон Шоулз разработали модель для оценки справедливой стоимости опционов, названную моделью Блэка-Шоулза [1]. В ее основе лежит логнормальное распределение цены базового актива. Модель представляет собой линейное дифференциальное уравнение в частных производных 2-го порядка с различными граничными и начальными условиями для опционов разных типов. Соответствующее аналитическое решение данного уравнения для опционов на покупку (call) и на продажу (put) называется формулой Блэка-Шоулза. Модель Блэка-Шоулза стала одной из самых популярных и широко используемых на практике моделей ценообразования опционов.
1. Black, F. Valuation of options and corporate liabilities [Text] / F. Black, M. Scholes // Journal of Political Economy. - 1973. - V. 81. - Рp. 637-654.
2. Heston, S.L. A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bonds and currency options [Text] / S.L. Heston // The Review of Financial Studies. - 1993. - V. 6, I. 2. - Рp. 327-343.
3. Grzelak, L.A. On the Heston Model with Stochastic Interest Rates [Text] / L.A. Grzelak, C.W. Oosterlee // SIAM Journal on Financial Mathematics. - 2011. - V. 2. - Рp. 255-286.
4. Coleman, T.F. An interior, trust region approach for nonlinear minimization subject to bounds [Text] / T.F. Coleman, Y. Li // SIAM Journal on Optimization. - 1996. - V. 6, I. 2. - Рp. 418-445.
5. London Stock Exchange [Electronic resource] // URL: http://www.londonstockexchange.com (дата обращения: 18.05.2016).
