Введение
Одной из теоретических основ тяговых расчетов транспортных средств является решение контактной задачи о взаимодействии катящегося колеса с опорной поверхностью. Решению данной задачи посвящено множество теоретических и экспериментальных научных работ. Однако до настоящего времени недостаточно подробно исследовано изменение распределения контактного давления при приложении к покоящемуся колесу малого крутящего момента, не превышающего момента сопротивления качению в покое Mc0. Кроме того, отсутствует математически строгая, достаточно универсальная и общепризнанная методика расчета самого момента Mc0.
В работах [1, 2] в качестве условия начала качения колеса принято смещение нормальной реакции со стороны опорной поверхности до границы области контакта. При этом используется аналогия между задачами о качении и о опрокидывании. Однако данные задачи не идентичны, а получаемые в указанных работах расчетные оценки коэффициента сопротивления качению оказываются существенно завышенными. Так, в работе [3] показано, что при начале качения автомобильных колес смещение нормальной реакции может составлять 5 – 10 % от обще ширины области контакта. С другой стороны, в работах [4, 5] утверждается, что деформационная компонента момента сопротивления качению определяется только потерями энергии при взаимном циклическом нагружении контактирующих тел в процессе качения. Данные потери обусловлены неидеальной упругостью, в частности вязкостью, материалов колеса и опорной поверхности. Однако сопоставить указанные потери с моментом сопротивления качению в покое не представляется возможным.
В связи с вышесказанным, целью настоящего исследования является описание нарушения симметрии в распределении контактного давления перед началом качения колеса и анализ влияния данной асимметрии на момент сопротивления качению.
Сопротивление качению в покое
В качестве упрощенной модели колеса рассмотрим жесткий цилиндр с образующей длины b, радиусом R и деформируемым ободом толщиной h (h << R). Модель представлена на рисунке 1. Подобная модель используется при анализе качения автомобильного колеса [6] и роликов с антифрикционным полимерным покрытием [7].
Толщина деформируемого слоя достаточно мала, чтобы при решении контактной задачи можно было использовать модель основания Винклера [8]. В соответствии с данной моделью давление p в окрестности некоторой точки поверхности деформируемого слоя прямо пропорционально вертикальному смещению u данной точки.
. (1)
Здесь kn – коэффициент жесткости, определяющийся упругими характеристиками материала деформируемого слоя.
В работе [9] было показано, что для тонкого упругого изотропного слоя, адгезионно связанного с недеформируемым основанием, коэффициент kn задается соотношением
. (2)
Здесь E, n – модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала слоя соответственно.
При приложении к колесу вертикальной нагрузки P центр масс колеса сместится по вертикали на некоторое расстояние u0. При этом область контакта будет иметь форму полосы шириной 2a и длиной b. Расчет значений u0 и a при заданном значении P приведен, в частности, в работе [10]. Вертикальные смещения точек поверхности деформируемого слоя будут зависеть от координаты x, отсчитываемой от центра области контакта
. (3)
Полуширина области контакта a связана со смещением u0
. (4)
В соответствии с моделью основания Винклера, для контактного давления получим
.
Значение полуширины a при заданной силе P определяется из условия равновесия колеса
(5)
После выполнения математических преобразований получим
. (6)
Следовательно
. (7)
Приложим к колесу малый крутящий момент M. Если этот момент не превышает момента сопротивления качению в покое Mc0, то колесо будет поворачиваться вокруг центра. При этом к симметричной функции распределения смещений (3) следует добавить заранее неизвестную несимметричную функцию. Разложим эту функцию в ряд по малому параметру x/R и оставим только два слагаемых
. (8)
На константы C1 и C2 накладываются условия неизменности области контакта
. (9)
После математических преобразований распределение контактного давления при наличии малого (меньше Mc0) крутящего момента можно задать функцией
. (10)
Здесь g – безразмерный коэффициент, определяемый приложенным моментом. Для нахождения g используем условие равновесия колеса в моментах
. (11)
После выполнения математических преобразований получим
. (12)
При выводе соотношения (13) использовано равенство (7). В соответствии с функцией (11) значение коэффициента g ограничено gmax = 1, при котором нарушается условие (10) неизменности области контакта и начинается качение. Следовательно, для момента сопротивления качению в покое можно получить
. (13)
Тогда для обезразмеренного коэффициента трения качения, равного отношению момента сопротивления к произведению вертикальной нагрузки на расстояние от центра масс колеса до опорной поверхности, получим
. (14)
Данное соотношение соответствует результатам работы [6]. Кроме того, установленная зависимость коэффициента трения качения от параметра z с приемлемой точностью описывает экспериментальные данные, приведенные в работе [11] (рисунок 2). Экспериментальные данные представлены кружками с доверительными интервалами.
Коэффициент g равен отношению приложенного момента M к моменту Mc0 и изменяется от 0 до 1. На рисунке 3 представлены распределения контактного давления при различных значениях g. Можно отметить, что увеличение приложенного момента приводит к увеличению максимального значения давления и смещению положения данного максимума в направлении возможного качения. Координата d, соответствующая максимуму функции (10), определяется соотношением
. (15)
При отсутствии крутящего момента (M = 0, g = 0) d = 0, а в момент начала качения (M = Mc0, g = 1) d = a/3.
Рис. 2. Сопоставление результатов использования уравнения (14)
с экспериментальными данными работы [11]
Fig. 2. Comparison of the results of using equation (14)
with the experimental data of [11]
Рис. 3. Распределение контактного давления.
Числа у кривых соответствуют значению коэффициента g
Fig. 3. Contact pressure distribution. The numbers
of the curves correspond to the value of the coefficient g
Само максимальное значение контактного давления вычисляется по формуле
. (16)
Величина pm изменяется от p0 при M = 0 до pmmax = 1,185p0 при M = Mc0. На рисунке 4 представлены расчетные зависимости относительного значения максимального контактного давления и относительного значения смещения d от коэффициента g. Зависимости величин d и pm от крутящего момента в диапазоне от 0 до Mc0 не линейны и имеют различный характер. При малых значениях крутящего момента скорость возрастания смещения d с увеличением M выше соответствующей скорости для максимального давления. При больших значениях момента максимальное давление возрастает быстрее, чем смещение d.
Рис. 4. Зависимость максимального контактного давления
(сплошная кривая) и смещения d (пунктирная) от g
Fig. 4. The dependence of the maximum contact pressure
(solid curve) and the displacement d (dotted) on the g
Распределение вертикальных смещений точек деформируемого слоя при M = Mc0 определяется соотношением
. (17)
Свободное качение колеса
Если приложенный момент M превышает момент Mc0, то реализуется качение колеса. В процессе качения момент сопротивления выше Mc0 и возрастает с увеличением скорости движения центра масс колеса. Компонента момента сопротивления, возрастающая со скоростью v, обусловлена потерями энергии при циклическом нагружении. В дальнейшем будем рассматривать только потери, связанные с вязкостью материала деформируемого обода. При одноосном напряженном состоянии вязкоупругого изотропного материала связь осевого напряжения s с продольной деформацией e описывается уравнением [12]
. (18)
Здесь t – время; функция K(t) – ядро релаксации.
Используя допущение о неизменности коэффициента Пуассона в процессах релаксации и ползучести [13], соотношение (1) с учетом (2) в случае вязкоупругого материала деформируемого обода можно переписать в виде
. (19)
В рамках настоящей работы будем рассматривать только процесс стационарного качения, при котором центр масс колеса движется с постоянной скоростью v. В этом случае для точки обода колеса, которая в начальный момент времени (t = 0) входит в область контакта, можно составить равенство
. (20)
Здесь x – координата данной точки обода колеса в подвижной системе, связанной с центром колеса; av – полуширина области «внедрения», которая удовлетворяет условию
.
Как будет показано ниже, при ненулевой скорости v величина av будет отличаться от полуширины, вычисляемой по формуле (8).
Учитывая (20) в уравнении (19) можно перейти от интегрирования по времени к интегрированию по координате
. (21)
Здесь функция u(av,x) полуширины av и координаты x определяется соотношением (18)
. (22)
В работе [6] было высказано предположение о том, что при стационарном качении асимметрия распределения контактного давления, обусловившая момент сопротивления качению в покое, «исчезает». Согласно данной гипотезе
. (23)
Вследствие потерь механической энергии при циклическом деформировании вязкоупругого материала в процессе качения нарушается симметрия области контакта. Размер данной области для положительных значений координаты x будем обозначать c, а для отрицательных значений координаты – d. Значения c и d определяются как решения двух нелинейных уравнений
. (24)
Здесь функция p(av,x) задается равенством (21) с учетом (22) (или (23)). Решив уравнения (24), установим зависимости расстояний c и d от av. Затем полуширина av при заданной вертикальной силе P и скорости движения v определяется из условия равновесия
. (25)
Затем определим момент сопротивления качению из условия равновесия в моментах
. (26)
В качестве примера использования описанной расчетной методики рассмотрим упрощенную структурную модель колеса в виде цилиндра радиуса R = 0,1 м шириной b = 0,1 м. Деформируемый обод толщиной h = 5 мм образована эластичным полиуретаном. Значения механических характеристик данного материала заимствованы из работы [13]. Мгновенный модуль Юнга E = 5 МПа; коэффициент Пуассона n = 0,45. Ядро релаксации может быть выбрано в виде одной экспоненциальной функции . Здесь t – время релаксации (t = 0,2 мс); d – безразмерный параметр ядра релаксации (l = 0,347). Размеры тела качения и материал покрытия соответствуют ролику скипа, находящегося в контакте с проводниками вертикального ствола шахты.
На рисунке 5 представлены расчетные зависимости коэффициента сопротивления качению от скорости движения цента колеса при вертикальной нагрузке P = 1 кН. Использование соотношения (23) для смещения точек поверхности вязкоупругого слоя приводит к тому, что при v ® 0 коэффициент сопротивления качению равен нулю.
Данный вывод противоречит экспериментальным данным [11, 14]. Поэтому для сопоставления результатов использования соотношений (22) и (23) к последним добавляется коэффициент сопротивления качению в покое, вычисляемый по формуле (15). В рассматриваемом примере fk0 = 0,017.
При этом в диапазоне малых скоростей (для рассматриваемого примера v < 3 м/с) расчетная зависимость fk(v) близка к линейной, а оценки, полученные на основе двух сопоставляемых методик, практически совпадают.
Рис. 5. Зависимость коэффициента сопротивления качению т скорости движения цента колеса.
Сплошная кривая – использование соотношения (22) для смещений;
пунктирная – соотношения (23) с добавлением fk0
Fig. 5. The dependence of the rolling resistance coefficient on the speed of the wheel cent.
The solid curve is the use of the ratio (22) for offsets; the dotted curve is the ratio (23) with the addition of fk0
При дальнейшем увеличении скорости учет «начальной» асимметрии распределения внедрений (соотношение (22)) приводит к большим расчетным значениям коэффициента сопротивления качению, чем при использовании соотношения (23). Экспериментальные данные о скоростной зависимости коэффициента fk [14] свидетельствуют о том, что показатель степени скорости в эмпирических зависимостях составляет от 1 до 2. Для расчетной зависимости, построенной на основе соотношения (23), этот показатель меньше 1. Следовательно, расчетные оценки, полученные на основе соотношения (22), могут быть признаны более достоверными не только при v ® 0, но и в широком диапазоне значений скоростей.
На рисунке 6 приведены зависимости осадки центра колеса от скорости движений этой точки.
Рис. 6. Зависимость осадки центра колеса от скорости. Сплошная кривая – использование соотношения (22)
для смещений; пунктирная – соотношения (23)
Fig. 6. Dependence of the wheel center draft on the speed. Solid curve - use of relation (22) for displacements;
dashed - relations (23)
Осадка определялась согласно формуле (4) с учетом влияния скорости
. (27)
Как и следовало ожидать, с увеличением скорости осадка центра колеса при фиксированной вертикальной нагрузке снижается. При использовании традиционной методики (соотношение (23)) данное снижение расчетных значений u0 проявляется более существенно, чем при учете начальной асимметрии внедрений (соотношение (22)).
Заключение
Показано, что предложенная расчетная методика позволяет получить приемлемые расчетные оценки коэффициента сопротивления качению в покое. Установлено, что для рассматриваемой модели колеса смещение нормальное реакции поверхности при начале качения составляет 10 % от исходной длины области контакта. Также отмечено, что вследствие асимметрии контактного давления при приложении к колесу крутящего момента максимальное давление при начале качения на 18,5 % превышает соответствующую величину до приложения момента. Допущение о сохранении асимметрии распределения внедрений в процессе стационарного качения позволяет получить уточненную скоростную зависимость коэффициента сопротивления качению.
