Moskva, Moscow, Russian Federation
Moskva, Moscow, Russian Federation
graduate student
Russian Federation
In this paper have been investigated the loci equidistant from sphere and plane, and properties of obtained surfaces have been studied. Four options for possible mutual arrangement of plane and sphere have been considered: the plane passes through the center of the sphere; the plane intersects the sphere; the plane is tangent to the sphere; the plane passes outside the sphere. In all options of the mutual arrangement of the sphere and the plane, the loci are two surfaces - two coaxial confocal paraboloids of revolution. The general properties of the obtained paraboloids of revolution have been studied: foci and vertices positions, axes of rotation, the distance from the sphere center to the vertices of the paraboloids, the distance between the vertices of the paraboloids, and the position of the directorial planes have been defined. Have been derived equations for the surfaces of the loci equidistant from the sphere and the plane: various paraboloids of revolution. The loci in each of the four options for the possible mutual arrangement of the plane and the sphere are as follows. 1. The original plane passes through the sphere center – two coaxial confocal multidirectional paraboloids of revolution symmetric relative to the original plane. 2. The initial plane intersects the sphere – two coaxial confocal multidirectional but not symmetrical paraboloids of revolution, since the circle of intersection of the plane and the sphere does not coincide with the diameter of the sphere great circle. 3. The plane is tangent to the sphere – a paraboloid of revolution and a straight line (more precisely, a second order zero-quadric – a cylindrical surface with zero radius) passing through the tangency point of the plane and the sphere and the sphere center. 4. The plane passes outside the sphere – the equidistant loci will be two coaxial confocal unidirectional paraboloids of revolution.
geometry; descriptive geometry, loci, locus, analytical geometry, line, sphere, paraboloid of revolution
1. Adamyan V.G. Geometricheskoe mesto tochek s postoyannym otnosheniem napravlennogo rasstoyaniya do fiksirovannoy pryamoy k rasstoyaniyu do fokusa [Tekst] / V.G. Adamyan, G.D. Anamov // Prikladnaya geometriya i inzhenernaya grafika. - 1977. - Vyp. 23. - S. 108-111.
2. Anamov G.D. Primenenie prostranstvennyh geometricheskih mest v nachertatel'noy geometrii [Tekst] / dissertaciya na soiskanie uchenoy stepeni kandidata tehnicheskih nauk / G.D. Anamov. - Kiev, 1945. - 150 s.
3. Volkov V.Ya. Kurs nachertatel'noy geometrii na osnove geometricheskogo modelirovaniya. Uchebnik [Tekst] / V.Ya. Volkov - Omsk: SibADI, 2010. - 252s.
4. Volkov V.Ya. Sbornik zadach i uprazhneniy po nachertatel'noy geometrii (k uchebniku «Kurs nachertatel'noy geometrii na osnove geometricheskogo modelirovaniya») [Tekst] / V.Ya. Volkov, V.Yu. Yurkov, K.L. Panchuk, N.V. Kaygorodceva. - Omsk: SIBADI, 2010. - 74 s.
5. Vygodskiy M.Ya. Spravochnik po vysshey matematike [Tekst] / M.Ya. Vygodskiy. - M.: AST: Astrel', 2008. - 509 s.
6. Vyshnepol'skiy V.I. Vserossiyskiy studencheskiy konkurs «Innovacionnye razrabotki» [Tekst] / V.I. Vyshnepol'skiy, N.S. Kadykova, N.I. Prokopov // Geometriya i grafika. - 2016. - T. 4. - № 4. - S. 69-86. - DOI:https://doi.org/10.12737/22842.
7. Vyshnepol'skiy V.I. Geometricheskie mesta tochek, ravnootstoyaschih ot dvuh zadannyh geometricheskih figur. Chast' 1 [Tekst] / V.I. Vyshnepol'skiy, N.A. Sal'kov, E.V. Zavarihina // Geometriya i grafika. - 2017. - T. 5. - № 3. - S. 21-35. - DOI:https://doi.org/10.12737/22842.
8. Vyshnepol'skiy V.I. Geometricheskie mesta tochek, ravnootstoyaschih ot dvuh zadannyh geometricheskih figur. Chast' 2 [Tekst] / V.I. Vyshnepol'skiy, O.L. Dallakyan, E.V. Zavarihina // Geometriya i grafika. - 2017. - T. 5. - № 4. - S. 15-23. - DOI:https://doi.org/10.12737/22842
9. Vyshnepol'skiy V.I. Geometricheskie mesta tochek, ravnootstoyaschih ot dvuh zadannyh geometricheskih figur. Chast' 3 [Tekst] / V.I. Vyshnepol'skiy, K.A. Kirshanov, K.T. Egiazaryan // Geometriya i grafika. - 2018. - T. 6. - № 4. - S. 3-19. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5c21f207bfd6e4.78537377
10. Vyshnepol'skiy V.I. Geometricheskie mesta tochek, ravnootstoyaschih ot dvuh zadannyh geometricheskih figur. chast' 4: geometricheskie mesta tochek, ravnoudalennyh ot dvuh sfer [Tekst] / V.I. Vyshnepol'skiy, E.V. Zavarihina, D.S. Peh // Geometriya i grafika. - 2021. - T. 9. - № 3. - S. 12-29. -DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-9-3-12-29.
11. Vyshnepol'skiy V.I. Metodicheskie osnovy podgotovki i provedeniya olimpiad po graficheskim disciplinam v vysshey shkole [Tekst] / dissertaciya na soiskanie uchenoy stepeni kandidata pedagogicheskih nauk / V.I. Vyshnepol'skiy. - M., 2000. - 250 s.
12. Girsh A.G. Kak reshat' zadachu. Metodicheskie ukazaniya po resheniyu zadach povyshennoy slozhnosti [Tekst] / A.G. Girsh. - Omsk: SIBADI, 1986. - 36 s.
13. Glogovskiy V.V. Ekvidistanty. Voprosy teorii, prilozheniy i metodiki prepodavaniya nachertatel'noy geometrii [Tekst] / V.V. Glogovskiy // Trudy Rizhskoy nauchno-metodicheskoy konferencii. - Riga: RIIGVF, 1960. - 422 s.
14. Glogovskiy V.V. [Tekst] / V.V. Glogovskiy // Nauchnye zapiski L'vovskogo politehnicheskogo instituta, t. HHH, seriya fiz.-mat., vyp. 1, 1955. - str. 72-90.
15. Glogovskiy V.V. [Tekst] / V.V. Glogovskiy // Nauchnye zapiski L'vovskogo politehnicheskogo instituta, t. HHHVIII, seriya fiz.-mat., vyp. 2, 1956. - str. 72-90.
16. Gumen N.S. Paraboloidy chetvertogo poryadka kak geometricheskie mesta tochek, ravnoudalennyh ot tora i pryamoy parallel'noy ego osi [Tekst] / N.S. Gumen, O.V. Smerichko // Prikladnaya geometriya i inzhenernaya grafika. - 1991. - Vyp. 51. - S. 46-52.
17. Gumen N.S. Paraboloidy chetvertogo poryadka kak geometricheskie mesta tochek, ravnoudalennyh ot tochki i krugovogo cilindra [Tekst] / N.S. Gumen, M.F. Skorin, V.P. Kravchuk // Prikladnaya geometriya i inzhenernaya grafika. - 1986. - Vyp. 42. - S. 32-33.
18. Gumen N.S. Konusy i cilindry 2-go poryadka kak geometricheskie mesta tochek, ravnoudalennyh ot tochki i okruzhnosti [Tekst] / N.S. Gumen, G.A. Kozub // Prikladnaya geometriya i inzhenernaya grafika. - 1987. - Vyp. 43. - S. 65-67.
19. Gumen N.S. Geometricheskoe mesto tochek, ravnoudalennyh ot sfery i pryamoy [Tekst] / N.S. Gumen, A.M. Marhelyuk // Prikladnaya geometriya i inzhenernaya grafika. - 1983. - Vyp. 35. - S. 130-133.
20. Gumen N.S. K ispol'zovaniyu metoda geometricheskih mest pri konstruirovanii krivyh liniy i poverhnostey [Tekst] / N.S. Gumen, E.V. Sarnackaya // Geometrografiya. - 1977. - vyp. 1. - S. 58-66.
21. Gumen N.S. O geometricheskih mestah tochek, proporcional'no udalennyh ot dvuh pryamyh [Tekst] / N.S. Gumen, E.V. Sarnackaya // Geometrografiya. - 1977. - vyp. 2. - S. 43-51.
22. Gumen N.S. O geometricheskih mestah tochek, rasstoyaniya kotoryh ot pary okruzhnostey ploskosti svyazanny opredelennoy funkcional'noy zavisimost'yu [Tekst] / N.S. Gumen, E.V. Sarnackaya // Geometrografiya. - 1977. - vyp. 2. - S. 52-65.
23. Dimantov E.A. Issledovanie nekotoryh geometricheskih mest [Tekst] / E.A. Dimantov, A.A. Burshteyn // Trudy LISI. - 1974. - Vyp. 100. - S. 81-105.
24. E Vin Tun. Postroenie receptornyh geometricheskih modeley ob'ektov slozhnyh tehnicheskih form [Tekst] / E Vin Tun, L.V. Markin // Geometriya i grafika. - 2019. - T. 7. - № 4. - S. 44-56. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5d2c170ab37810.30821713.
25. Egiazaryan K.T. Issledovanie geometricheskih mest tochek, ravnootstoyaschih ot dvuh zadannyh geometricheskih figur [Tekst] / K.T. Egiazaryan, V.I. Vyshnepol'skiy // Sbornik materialov 31-y Vserossiyskoy nauchno-prakticheskoy konferencii po graficheskim informacionnym tehnologiyam i sistemam. - Nizhniy Novgorod. - 2021. - C. 118-123. - DOI:https://doi.org/10.46960/43791586_2021_118.
26. Eliseev N.A. Etyudy po nachertatel'noy geometrii professora D.I. Kargina. Sovershenstvovanie podgotovki uchaschihsya i studentov v oblasti grafiki, konstruirovaniya i standartizacii [Tekst] / N.A. Eliseev // Mezhvuzovskiy nauchno-metodicheskiy sbornik. - Saratov: SGTU, 2004. - s. 56-58.
27. Ivanov G.S. Nachertatel'naya geometriya: - 3-e izd. [Tekst] / G.S. Ivanov. - M: FGBOU VPO MGUL, 2012. - 340 s.
28. Ivanov G.S. Princip dvoystvennosti - teoreticheskaya baza vzaimosvyazi sinteticheskih i analiticheskih sposobov resheniya geometricheskih zadach [Tekst] / G.S. Ivanov, I.M. Dmitrieva // Geometriya i grafika. - 2016. - T. 4. - № 3. - S. 3-10. - DOI:https://doi.org/10.12737/21528.
29. Ivanov G.S. Teoreticheskie osnovy nachertatel'noy geometrii [Tekst] / G.S. Ivanov. - M.: Mashinostroenie, 1998. - 458 s.
30. Kaygorodceva N.V. Poverhnosti v nachertatel'noy geometrii i logiko-geometricheskoe myshlenie [Tekst] / N.V. Kaygorodceva - Omsk: Izd-vo OmGTU, 2013. - 184 s.
31. Kargin D.I. Etyudy po nachertatel'noy geometrii. Geometricheskie mesta [Tekst] / D.I. Kargin. - PFA RAN, r.802, op. 1, ed. hr. 148, 1939-1940 gg. 405 l.
32. Korotkiy V.A. Graficheskie algoritmy postroeniya kvadriki, zadannyh devyat'yu tochkami [Tekst] / V.A. Korotkiy // Geometriya i grafika. - 2019. - T. 7. - № 2. - S. 3-12. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5d2c1502670779.58031440.
33. Krivoshapko S.N. Enciklopediya analiticheskih poverhnostey [Tekst] / S.N. Krivoshapko, V.N. Ivanov. - M.: LIBROKOM, 2019. - 560 s.
34. Krivoshapko S.N. Analiticheskie poverhnosti v arhitekture zdaniy, konstrukciy i izdeliy: Monografiya [Tekst] / S.N. Krivoshapko, I.A. Mamieva. - M.: Knizhnyy dom «LIBROKOM», 2012. - 328 s.
35. Naumovich N.V. Geometricheskie mesta v prostranstve i zadachi na postroenie [Tekst] / Naumovich N.V. - M.: Gos. uchebno-pedagogicheskoe izd-vo, 1962. - 152 s.
36. Obuhova V.S. Poetapnoe modelirovanie tehnicheskih poverhnostey [Tekst] / V.S. Obuhova. // Referativnaya informaciya o zakonchennyh nauchno-issledovatel'skih rabotah v vuzah Ukrainskoy SSR: Prikladnaya geometriya i inzhenernaya grafika. - Vyp. 1. - Kiev: Vischa shkola, 1977. - S. 5-6.
37. Pavlov V.E. Dmitriy Ivanovich Kargin, 1880 - 1949 [Tekst] / V.E. Pavlov, B.F. Tarasov, SPb.: Nauka, 1998. - 272 s.
38. Panchuk K.L. Ciklograficheskaya interpretaciya i komp'yuternoe reshenie odnoy sistemy algebraicheskih uravneniy [Tekst] / K.L. Panchuk, E.V. Lyubchinov // Geometriya i grafika. - 2019. - T. 7. - №. 3. - S. 3-14. - DOI:https://doi.org/10.12377/article_5dce5e528e4301.77886978.
39. Posvyanskiy A.D. Pyat'desyat zadach povyshennoy trudnosti [Tekst] / A.D. Posvyanskiy. - Kalinin: KPI, 1970. - 41 s.
40. Sal'kov N.A. Ciklida Dyupena i krivye vtorogo poryadka. Chast' 1 / N.A. Sal'kov // Geometriya i grafika. - 2016. - T. 4. - №. 2. - S. 19-28. - DOI:https://doi.org/10.12737/19829.
41. Sal'kov N.A. Nachertatel'naya geometriya - baza dlya komp'yuternoy grafiki [Tekst] / N.A. Sal'kov // Geometriya i grafika. - 2016. - T. 4. - №. 2. - S. 37-47. - DOI:https://doi.org/10.12737/19832.
42. Sal'kov N.A. Nachertatel'naya geometriya - teoriya izobrazheniy [Tekst] / N.A. Sal'kov // Geometriya i grafika. - 2016. - T. 4. - №. 4. - S. 41-47. - DOI:https://doi.org/10.12737/22842.
43. Sal'kov N.A. Obschie principy zadaniya lineychatyh poverhnostey. Chast' 2 [Tekst] / N.A. Sal'kov // Geometriya i grafika. - 2019. - T. 7. - № 1. - S. 14-27. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5s9201eb1c5f06.47425839.
44. Sal'kov N.A. Obschie principy zadaniya lineychatyh poverhnostey. Chast' 3 [Tekst] / N.A. Sal'kov // Geometriya i grafika. - 2019. - T. 7. - № 2. - S. 13-27. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5d2c170ab37810.30821713.
45. Seregin V.I. Mezhdisciplinarnye svyazi nachertatel'noy geometrii i smezhnyh razdelov vysshey matematiki [Tekst] / V.I. Seregin, G.S. Ivanov, I.M. Dmitrieva, K.A. Murav'ev // Geometriya i grafika. - 2013. - T.1. - № 3-4. - S. 8-12. - DOI:https://doi.org/10.12737/2124.
46. Seregin V.I. Nauchno-metodicheskie voprosy podgotovki studentov k olimpiadam po nachertatel'noy geometrii [Tekst] / V.I. Seregin, G.S. Ivanov, I.F. Borovikov // Geometriya i grafika. - 2017. - T. 5. - № 1. - S. 73-81. - DOI:https://doi.org/10.12737/25126.
47. Sibircev S.F. O geometricheskih mestah tochek [Tekst] / S.F. Sibircev // Izvestiya Tomskogo Ordena Trudovogo Krasnogo Znameni Politehnicheskogo instituta imeni S.M. Kirova. - 1966. - T. 143. - S. 57-69.
