Москва, г. Москва и Московская область, Россия
Москва, г. Москва и Московская область, Россия
аспирант
Россия
В статье исследованы геометрическиe места точек, равноудаленных от сферы и плоскости, изучены свойства полученных поверхностей. Рассмотрены четыре варианта возможного взаимного расположения плоскости и сферы: плоскость проходит через центр сферы; плоскость пересекает сферу; плоскость касательная к сфере; плоскость проходит вне сферы. Во всех вариантах взаимного положения сферы и плоскости геометрическими местами точек являются две поверхности - два соосных софокусных параболоида вращения. Изучены общие свойства полученных параболоидов вращения: найдены положения фокусов, вершин, оси вращения, расстояние от центра сферы до вершин параболоидов, расстояние между вершинами параболоидов, положение директориальных плоскостей. Выведены уравнения поверхностей ГМТ, равноотстоящих от сферы и плоскости: различных параболоидов вращения. Геометрическиe места точек, в каждом из четырех вариантов возможного взаимного расположения плоскости и сферы следующие. 1. Исходная плоскость проходит через центр сферы - два соосных софокусных разнонаправленных симметричных относительно исходной плоскости параболоида вращения. 2. Исходная плоскость пересекает сферу.-два соосных софокусных разнонаправленных, но не симметричных параболоида вращения, т. к. окружность пересечения плоскости и сферы не совпадает с диаметром большого круга сферы. 3. Плоскость касательная к сфере - параболоид вращения и прямая (точнее нуль-квадрика второго порядка – цилиндрическая поверхность с нулевым радиусом), проходящая через точку касания плоскости и сферы и центр сферы. 4. Плоскость проходит вне сферы, геометрическим местом равноудаленных точек будут два соосных софокусных однонаправленных параболоида вращения.
геометрия; начертательная геометрия; геометрические места точек, ГМТ, аналитическая геометрия, прямая, сфера, параболоид вращения
1. Адамян В.Г. Геометрическое место точек с постоянным отношением направленного расстояния до фиксированной прямой к расстоянию до фокуса [Текст] / В.Г. Адамян, Г.Д. Анамов // Прикладная геометрия и инженерная графика. - 1977. - Вып. 23. - С. 108-111.
2. Анамов Г.Д. Применение пространственных геометрических мест в начертательной геометрии [Текст] / диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук / Г.Д. Анамов. - Киев, 1945. - 150 с.
3. Волков В.Я. Курс начертательной геометрии на основе геометрического моделирования. Учебник [Текст] / В.Я. Волков - Омск: СибАДИ, 2010. - 252с.
4. Волков В.Я. Сборник задач и упражнений по начертательной геометрии (к учебнику «Курс начертательной геометрии на основе геометрического моделирования») [Текст] / В.Я. Волков, В.Ю. Юрков, К.Л. Панчук, Н.В. Кайгородцева. - Омск: СИБАДИ, 2010. - 74 с.
5. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике [Текст] / М.Я. Выгодский. - М.: АСТ: Астрель, 2008. - 509 с.
6. Вышнепольский В.И. Всероссийский студенческий конкурс «Инновационные разработки» [Текст] / В.И. Вышнепольский, Н.С. Кадыкова, Н.И. Прокопов // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - № 4. - С. 69-86. - DOI:https://doi.org/10.12737/22842.
7. Вышнепольский В.И. Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. Часть 1 [Текст] / В.И. Вышнепольский, Н.А. Сальков, Е.В. Заварихина // Геометрия и графика. - 2017. - Т. 5. - № 3. - С. 21-35. - DOI:https://doi.org/10.12737/22842.
8. Вышнепольский В.И. Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. Часть 2 [Текст] / В.И. Вышнепольский, О.Л. Даллакян, Е.В. Заварихина // Геометрия и графика. - 2017. - Т. 5. - № 4. - С. 15-23. - DOI:https://doi.org/10.12737/22842
9. Вышнепольский В.И. Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. Часть 3 [Текст] / В.И. Вышнепольский, К.А. Киршанов, К.Т. Егиазарян // Геометрия и графика. - 2018. - Т. 6. - № 4. - С. 3-19. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5c21f207bfd6e4.78537377
10. Вышнепольский В.И. Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. часть 4: геометрические места точек, равноудаленных от двух сфер [Текст] / В.И. Вышнепольский, Е.В. Заварихина, Д.С. Пех // Геометрия и графика. - 2021. - Т. 9. - № 3. - С. 12-29. -DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-9-3-12-29.
11. Вышнепольский В.И. Методические основы подготовки и проведения олимпиад по графическим дисциплинам в высшей школе [Текст] / диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук / В.И. Вышнепольский. - М., 2000. - 250 с.
12. Гирш А.Г. Как решать задачу. Методические указания по решению задач повышенной сложности [Текст] / А.Г. Гирш. - Омск: СИБАДИ, 1986. - 36 с.
13. Глоговский В.В. Эквидистанты. Вопросы теории, приложений и методики преподавания начертательной геометрии [Текст] / В.В. Глоговский // Труды Рижской научно-методической конференции. - Рига: РИИГВФ, 1960. - 422 с.
14. Глоговский В.В. [Текст] / В.В. Глоговский // Научные записки Львовского политехнического института, т. ХХХ, серия физ.-мат., вып. 1, 1955. - стр. 72-90.
15. Глоговский В.В. [Текст] / В.В. Глоговский // Научные записки Львовского политехнического института, т. ХХХVIII, серия физ.-мат., вып. 2, 1956. - стр. 72-90.
16. Гумен Н.С. Параболоиды четвертого порядка как геометрические места точек, равноудаленных от тора и прямой параллельной его оси [Текст] / Н.С. Гумен, О.В. Смеричко // Прикладная геометрия и инженерная графика. - 1991. - Вып. 51. - С. 46-52.
17. Гумен Н.С. Параболоиды четвертого порядка как геометрические места точек, равноудаленных от точки и кругового цилиндра [Текст] / Н.С. Гумен, М.Ф. Скорин, В.П. Кравчук // Прикладная геометрия и инженерная графика. - 1986. - Вып. 42. - С. 32-33.
18. Гумен Н.С. Конусы и цилиндры 2-го порядка как геометрические места точек, равноудаленных от точки и окружности [Текст] / Н.С. Гумен, Г.А. Козуб // Прикладная геометрия и инженерная графика. - 1987. - Вып. 43. - С. 65-67.
19. Гумен Н.С. Геометрическое место точек, равноудаленных от сферы и прямой [Текст] / Н.С. Гумен, А.М. Мархелюк // Прикладная геометрия и инженерная графика. - 1983. - Вып. 35. - С. 130-133.
20. Гумен Н.С. К использованию метода геометрических мест при конструировании кривых линий и поверхностей [Текст] / Н.С. Гумен, Е.В. Сарнацкая // Геометрография. - 1977. - вып. 1. - С. 58-66.
21. Гумен Н.С. О геометрических местах точек, пропорционально удаленных от двух прямых [Текст] / Н.С. Гумен, Е.В. Сарнацкая // Геометрография. - 1977. - вып. 2. - С. 43-51.
22. Гумен Н.С. О геометрических местах точек, расстояния которых от пары окружностей плоскости связанны определенной функциональной зависимостью [Текст] / Н.С. Гумен, Е.В. Сарнацкая // Геометрография. - 1977. - вып. 2. - С. 52-65.
23. Димантов Е.А. Исследование некоторых геометрических мест [Текст] / Е.А. Димантов, А.А. Бурштейн // Труды ЛИСИ. - 1974. - Вып. 100. - С. 81-105.
24. Е Вин Тун. Построение рецепторных геометрических моделей объектов сложных технических форм [Текст] / Е Вин Тун, Л.В. Маркин // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - № 4. - С. 44-56. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5d2c170ab37810.30821713.
25. Егиазарян К.Т. Исследование геометрических мест точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур [Текст] / К.Т. Егиазарян, В.И. Вышнепольский // Сборник материалов 31-й Всероссийской научно-практической конференции по графическим информационным технологиям и системам. - Нижний Новгород. - 2021. - C. 118-123. - DOI:https://doi.org/10.46960/43791586_2021_118.
26. Елисеев Н.А. Этюды по начертательной геометрии профессора Д.И. Каргина. Совершенствование подготовки учащихся и студентов в области графики, конструирования и стандартизации [Текст] / Н.А. Елисеев // Межвузовский научно-методический сборник. - Саратов: СГТУ, 2004. - с. 56-58.
27. Иванов Г.С. Начертательная геометрия: - 3-е изд. [Текст] / Г.С. Иванов. - М: ФГБОУ ВПО МГУЛ, 2012. - 340 с.
28. Иванов Г.С. Принцип двойственности - теоретическая база взаимосвязи синтетических и аналитических способов решения геометрических задач [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - № 3. - С. 3-10. - DOI:https://doi.org/10.12737/21528.
29. Иванов Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии [Текст] / Г.С. Иванов. - М.: Машиностроение, 1998. - 458 с.
30. Кайгородцева Н.В. Поверхности в начертательной геометрии и логико-геометрическое мышление [Текст] / Н.В. Кайгородцева - Омск: Изд-во ОмГТУ, 2013. - 184 с.
31. Каргин Д.И. Этюды по начертательной геометрии. Геометрические места [Текст] / Д.И. Каргин. - ПФА РАН, р.802, оп. 1, ед. хр. 148, 1939-1940 гг. 405 л.
32. Короткий В.А. Графические алгоритмы построения квадрики, заданных девятью точками [Текст] / В.А. Короткий // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - № 2. - С. 3-12. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5d2c1502670779.58031440.
33. Кривошапко С.Н. Энциклопедия аналитических поверхностей [Текст] / С.Н. Кривошапко, В.Н. Иванов. - М.: ЛИБРОКОМ, 2019. - 560 с.
34. Кривошапко С.Н. Аналитические поверхности в архитектуре зданий, конструкций и изделий: Монография [Текст] / С.Н. Кривошапко, И.А. Мамиева. - М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2012. - 328 с.
35. Наумович Н.В. Геометрические места в пространстве и задачи на построение [Текст] / Наумович Н.В. - М.: Гос. учебно-педагогическое изд-во, 1962. - 152 с.
36. Обухова В.С. Поэтапное моделирование технических поверхностей [Текст] / В.С. Обухова. // Реферативная информация о законченных научно-исследовательских работах в вузах Украинской ССР: Прикладная геометрия и инженерная графика. - Вып. 1. - Киев: Вища школа, 1977. - С. 5-6.
37. Павлов В.Е. Дмитрий Иванович Каргин, 1880 - 1949 [Текст] / В.Е. Павлов, Б.Ф. Тарасов, СПб.: Наука, 1998. - 272 с.
38. Панчук К.Л. Циклографическая интерпретация и компьютерное решение одной системы алгебраических уравнений [Текст] / К.Л. Панчук, Е.В. Любчинов // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - №. 3. - С. 3-14. - DOI:https://doi.org/10.12377/article_5dce5e528e4301.77886978.
39. Посвянский А.Д. Пятьдесят задач повышенной трудности [Текст] / А.Д. Посвянский. - Калинин: КПИ, 1970. - 41 с.
40. Сальков Н.А. Циклида Дюпена и кривые второго порядка. Часть 1 / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - №. 2. - С. 19-28. - DOI:https://doi.org/10.12737/19829.
41. Сальков Н.А. Начертательная геометрия - база для компьютерной графики [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - №. 2. - С. 37-47. - DOI:https://doi.org/10.12737/19832.
42. Сальков Н.А. Начертательная геометрия - теория изображений [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - №. 4. - С. 41-47. - DOI:https://doi.org/10.12737/22842.
43. Сальков Н.А. Общие принципы задания линейчатых поверхностей. Часть 2 [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - № 1. - С. 14-27. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5с9201eb1c5f06.47425839.
44. Сальков Н.А. Общие принципы задания линейчатых поверхностей. Часть 3 [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - № 2. - С. 13-27. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5d2c170ab37810.30821713.
45. Серегин В.И. Междисциплинарные связи начертательной геометрии и смежных разделов высшей математики [Текст] / В.И. Серегин, Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева, К.А. Муравьев // Геометрия и графика. - 2013. - Т.1. - № 3-4. - С. 8-12. - DOI:https://doi.org/10.12737/2124.
46. Серегин В.И. Научно-методические вопросы подготовки студентов к олимпиадам по начертательной геометрии [Текст] / В.И. Серегин, Г.С. Иванов, И.Ф. Боровиков // Геометрия и графика. - 2017. - Т. 5. - № 1. - С. 73-81. - DOI:https://doi.org/10.12737/25126.
47. Сибирцев С.Ф. О геометрических местах точек [Текст] / С.Ф. Сибирцев // Известия Томского Ордена Трудового Красного Знамени Политехнического института имени С.М. Кирова. - 1966. - Т. 143. - С. 57-69.
