student
Russian Federation
Moskva, Moscow, Russian Federation
Constant-width shapes – shapes whose dimensions are equal in any direction. The most famous constant-width shapes is a circle. Since ancient times, people have used something rounded to transport heavy objects, first rollers, which were used as logs, then the rollers were modified into wheel pairs. It was with the invention of the wheel, which is based on the geometry of the circle, that the explosive development of science began. In addition to the circle, there are other shapes of constant width, with interesting properties and features. In this paper, the practical application of the modified Reuleaux triangle and other constant-width bodies is considered, the trajectories of their points are geometrically and analytically studied when rotating cylinders with a cross-section in the form of a constant-width shapes in a guide contour of a square or rhombic shape.
constant-width shape, Reuleaux triangle, rotation, milling cutter
Постановка задачи
Треугольник Рёло известен с давних времен и с определенным успехом применяется в наше время в технике, архитектуре, дизайне и искусстве. В отличие от других фигур постоянной ширины, треугольник обладает наименьшей площадью, углом и центром симметрии [1, 2].
В двигателе Ванкеля ротор выполнен в форме цилиндра с сечением-треугольником Рёло [3]. Вращаясь внутри рабочей камеры с эпитрохоидальным цилиндрическим отверстием, ротор касается стенок камеры всеми тремя вершинами и образует три области переменного объема, каждая из которых является областью сгорания. Двигатель выполняет три цикла за один оборот.
Кулачок в форме цилиндра с сечением-треугольником Рёло используется в грейферном механизме скачковых лентопротяжных устройств, например, в кинопроекторах [4].
Ротор в виде цилиндра с сечением-треугольником Рёло используется для сверления отверстий, приближенных к квадратной формы. Ось такого ротора при вращении в квадратном направляющем контуре описывает в плоскости нормального сечения кривую, состоящую из четырёх дуг эллипсов, при этом каждой точке этой кривой соответствует определенное положение кромки резца фрезы, что в результате при совпадении кромок резцов фрезы с вершинами сечения ротора в виде треугольника Рёло, приводит к квадратной форме отверстия с незначительными скруглениями в углах квадрата. Такое сверло давно известно, его удалось реализовать английскому инженеру Гарри Уаттсу ещё в 1917 г. [5, 6].
Нас заинтересовало, какие траектории будет описывать кромка резца при разных начальных положениях относительно оси ротора, при разных формах как моноширинного сечения ротора, так и направляющего контура. Работы, посвященные аналитическому и геометрическому определению кромок резца при материалообработке, периодически появляются в литературе, например [7–9], но по теме нашего исследования ранее ничего не публиковалось. Также в данной работе представлена принципиальная конструкция насадки на сверло с возможностью смены, как направляющих контуров, так и роторов различных форм.
Анализ траектории точки моноширинной фигуры при вращении внутри контура квадратной формы
Габарит фигур постоянной ширины одинаков во всех направлениях. Иными словами, ортогональное проецирование такой фигуры на любую прямую даст отрезок одинаковой длины. Подобно окружности или любой другой фигуры постоянной ширины, треугольник Рёло может вращаться в квадрате все время, касаясь всех четырех сторон квадрата. При вращении вершины треугольника проходят почти весь периметр квадрата, за исключением его вершин.
Треугольник Рёло устроен следующим образом: из вершин равностороннего треугольника ABC проведены окружности радиуса r=AB. Пересечение трёх кругов, ограниченных этими окружностями, является треугольником Рёло. Можно считать, что треугольник Рёло образован тремя одинаковыми парами дуг окружностей, в каждой паре одна окружность нулевого радиуса, а радиус второй – равен стороне равностороннего треугольника. Можно модифицировать треугольник Рёло, заменив в каждой паре окружность нулевого радиуса на окружность действительного радиуса (A;r1), (B;r1), (C;r1). При этом парная к ней окружность имеет тот же центр и радиус R1=r+r1. Ширина полученной моноширинной фигуры составит R=R1+r1=r+2r1.
Рассмотрим движение точки при вращении модифицированного таким образом треугольника Рёло в квадратной рамке. Разместим стороны квадрата 1234 рамки вертикально и горизонтально и примем за центр координат левый нижний угол квадрата (вершину 2). Рассмотрим изменение координат произвольной точки D при вращении контура в рамке. Пусть начальная позиция контура показана на рис. 1. Координата у при вращении по часовой стрелке будет меняться также как координата у при качении контура по нижнему основанию квадратного контура, т.е. уравнение движения по координате у будет соответствовать уравнению координаты у в циклоиде качения окружности bA по стороне квадрата 12. При этом изменение координаты х будет аналогично происходить по уравнению координаты x в циклоиде качения окружности lC по левой стороне квадрата 23. Такой закон движения точки D будет наблюдаться при изменении угла наклона контура t от 0 до p/6, после чего циклоида качения окружности bA по стороне квадрата 12 сменится на циклоиду качения окружности lB по стороне квадрата 12, и этот закон будет действовать в диапазоне tÎ[p/6;p/3]. В диапазоне tÎ[p/3;p/2], циклоида качения окружности lC по стороне квадрата 23, сменится на циклоиду качения окружности bA по стороне квадрата 23. Расположение контура в квадрате станет поворотно-симметричным исходному, и оставшуюся траекторию движения точки D можно получить трёхкратным последовательным поворотом уже имеющейся траектории на угол p/2 относительно центра квадрата. Итого, траектория движения точки, жестко связанной с контуром – модифицированным треугольником Рёло, вращающимся в квадратной рамке, будет представлять собой 12 эллиптических дуг, из которых 3 уникальны, а остальные – результат поворотной симметрии. Была реализована параметрическая модель такой траектории, в которой входными данными являются исходные координаты точки D, а результатом является траектория точки D при вращении контура в квадратной рамке:
x= R1–rB·cos(tB–t); y=R1–rA·sin(tA–t); tÎ[0;p/6]
x= R1–rB·cos(tB–t); y=R2–rC·sin(tC–t); tÎ[p/6;p/3]
x= R2–rA·cos(tA–t); y=R2–rC·sin(tC–t); tÎ[p/3;p/2]
Полученные параметрические уравнения были использованы для построения параметрической кривой траектории точки, жестко связанной с моноширинной фигурой – модифицированным треугольником Рёло, вращающимся в квадратной рамке, в среде Компас 3D. Входные параметры – координаты точки относительно одной из вершин рамки. Некоторые результаты представлены на рис. 2.
Геометрическое построение траекторий точки моноширинной фигуры
при вращении внутри контура квадратной или ромбической форм
Аналитическое нахождение кривой траектории как в вышеописанном случае может быть довольно сложной задачей, а может быть и неразрешимой. Например, аналог треугольника Рёло, построенный не на дугах окружностей, а на дугах иных кривых (различных коник или кривых более высокого порядка) и геометрических местах точек вторых вершин равных нормалей к ним, с противоположной кривизной (рис. 3 на примере дуги эллипса), аналитическому решению не поддаётся. Нами была разработана методика геометрического построения таких траекторий средствами геометрического пакета Компас 3D. Дуга кривой с углом касательных в вершинах равным 120º разбивалась на равные по длине участки, полученные вершины соединялись общими нормалями равной длины, которые обозначались отрезками разных стилей, вторые вершины нормалей соединялись сплайном, по нормалям равномерно распределялись точки, также обозначаемые разными стилями, полученная конструкция многократно поворачивалась на заданную дельту угла, и после каждого шага вписывалась в контур рамки. Полученный геометрический массив точек расшифровывался, по точкам одной группы строился замкнутый сплайн, и получались различные траектории точек, жестко связанных с вращающейся в рамке моноширинной фигурой (рис. 4, на примере параболического аналога треугольника Рёло).
Выводы
Показана возможность и алгоритм создания моноширинных фигур, основанных не на дугах окружностей, а на дугах иных кривых. Сравнение траекторий жестко закрёпленной на вращающейся в заданной рамке моноширинной фигуре точки, полученных при одних исходных в аналитическом и геометрическом построениях, показало, что точность геометрического построения весьма высока. Рассмотренные аналитический и графический методы построения траекторий позволяют спроектировать насадку на сверло или сверлильный станок, для высверливания отверстий различных, заданных наперед форм. Принципиальное устройство подобной насадки показано на рис. 6.
1. Finch S.R. Reuleaux Triangle Constants // Mathematical Constants. - Cambridge: Cambridge University Press, 2003. - S. 513-515. - (Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Vol. 94). - ISBN 0-5218-1805-2
2. Pickover C.A. Reuleaux Triangle // The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics. - New York; London: Sterling, 2009. - S. 266-267. - ISBN 1-4027-5796-4
3. Ivan Pyatov. RPD iznutri i snaruzhi [elektronnyy resurs] // Dvigatel'. - № 5-6 (11-12). - 2000. - URL: http://engine.aviaport.ru/issues/11&12/page14.html . - Zagl. s ekrana.
4. Kulagin S.V. Greyfernyy mehanizm // Fotokinotehnika / Gl. red. E. A. Iofis. - Moskva: Sovetskaya enciklopediya, 1981. - S. 71.
5. Watts H.J. U.S. patent 1,241,175 (Floating Tool-Chuck)
6. Watts H.J. U.S. patent 1,241,176 (Drill or Boring Member).
7. Panchuk K.L., Myasoedova T.M., Krysova I.V. Geometricheskaya model' generacii semeystva konturno-parallel'nyh liniy dlya avtomatizirovannogo rascheta traektorii rezhuschego instrumenta // Geometriya i grafika. - 2019. - №1. - S. 3-13. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5c92012c51bba1.17153893
8. Ryazanov S.A. Geometricheskaya model' proizvodyaschey poverhnosti, ekvivalentnoy rabochey poverhnosti zuboreznogo instrumenta «chervyachnaya freza» // Geometriya i grafika. - 2019. - №2. - S. 56-60. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5d2c24f391d6b6.68532534
9. Ryazanov S.A., Reshetnikov M.K. Raschet koordinat modificirovannogo profilya proizvodyaschey poverhnosti zuboreznogo instrumenta // Geometriya i grafika. - 2020. - №4. - S. 35-46. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-8-4-35-46
