In this paper a constructing method related to perspective and azimuthal projections of objects located on sphere surface has been described, mathematical relations for construction of these projections’ planar images have been derived, results related to calculation and visualization of Earth surface images for observer’s different positions have been presented.
perspective and azimuthal projections, space photographs of the Earth surface.
Практика использования космических снимков поверхности Земли в качестве информационной основы для решения широкого круга хозяйственных задач требует изучения геометрических свойств таких изображений, оценки количественных значений их искажений и определения условий и ограничений их применения. Космический снимок поверхности планеты при некоторых допущениях можно рассматривать как внешнюю перспективно-азимутальную проекцию, т.е. центральную проекцию точек референтной поверхности на картинную плоскость, расположенную ортогонально прямой, соединяющей центр проекций и центр референтной поверхности (рис. 1). При этом для по строения отображения объектов, расположенных на поверхности Земли, предлагается использовать следующие допущения:
- планета является идеальным шаром фиксированного радиуса R;
- орбиты являются идеальными окружностями с центрами, совпадающим с центром планеты, и имеют радиус (R + H) для любого из спутников, где Н —расстояние от спутника до поверхности планеты;
- оптическая ось фотокамеры всегда совмещена с направлением от спутника к центру планеты (нормалью к картинной плоскости).
В соответствии с принятой моделью положение наблюдателя для произвольной точки S задается в сферической (геоцентрической) системе координат радиус-вектором длины (R+H), с угловыми координатами ΘS и βS где:
ΘS — широта точки пересечения с поверхностью планеты линии, соединяющей положение спутника с центром планеты. Северная широта представляется углом с положительным знаком, южная — с отрицательным знаком;
βS — долгота точки пересечения с поверхностью планеты линии, соединяющей положение спутника с центром планеты. Восточная долгота представляется углом с положительным знаком, западная — с отрицательным знаком
R — радиус Земли; R = 6370 км;
Н — высота орбиты спутника над поверхностью Земли (удаление наблюдателя от поверхности) (рис. 1).
Любая точка плоского отображения на картинной плоскости «П» поверхности шарового сегмента, ограниченного образующими конуса, с вершиной в точке S, осью OS и касательного к поверхности сферы, может быть построена в полярных координатах с началом в точке P, в которой картинная плоскость касается поверхности сферы, и положительным направлением, совпадающим с направлением меридиана к точке Северного полюса Земли (точка N). Для произвольно взятой точки L ее отображение на картинной плоскости «L» однозначно определяется двумя параметрами: радиусом rk и углом Q° (рис. 2). В свою очередь, радиус rk определяется из соотношения:
,
где Ф — угол дуги большого круга на поверхности сферы PL — может быть определен из представления точек P и L как нормированных кватернионов, компоненты которых однозначно определяются радиус-векторами точек в принятой геоцентрической системе координат. В соответствии с [1] действительная компонента кватерниона, представляющего дугу на поверхности сферы, определяется соотношением:
где L — кватернион дуги PL на поверхности сферы, содержит одну действительную компоненту cosΦ и 3 мнимых компоненты (вектор δ).
1. Primenenie kvaternionov v zadachakh orientatsii tverdogo tela / V.N. Branets, I.P. Shmyglevskiy. Glavnaya redaktsiya fiziko-matematicheskoy literatury, Izd-vo «Nauka». - M., 1973.
2. Miloserdov E.P. Postroenie ploskikh izobrazheniy poverkhnosti sfery. Tezisy dokladov Mezhdunarodnoy nauchno-tekhnicheskoy konferentsii «9 Benardosovskie chteniya». - Ivanovo, 1999. - S. 78.
