статье рассмотрен метод построения перспективно-азимутальных проекций объектов, расположенных на поверхности сферы, выведены соотношения для построения плоских изображений таких проекций, приведены результаты расчета и визуализации изображений поверхности Земли для различных положений наблюдателя.
перспективно-азимутальные проекции, космические снимки поверхности Земли.
Практика использования космических снимков поверхности Земли в качестве информационной основы для решения широкого круга хозяйственных задач требует изучения геометрических свойств таких изображений, оценки количественных значений их искажений и определения условий и ограничений их применения. Космический снимок поверхности планеты при некоторых допущениях можно рассматривать как внешнюю перспективно-азимутальную проекцию, т.е. центральную проекцию точек референтной поверхности на картинную плоскость, расположенную ортогонально прямой, соединяющей центр проекций и центр референтной поверхности (рис. 1). При этом для по строения отображения объектов, расположенных на поверхности Земли, предлагается использовать следующие допущения:
- планета является идеальным шаром фиксированного радиуса R;
- орбиты являются идеальными окружностями с центрами, совпадающим с центром планеты, и имеют радиус (R + H) для любого из спутников, где Н —расстояние от спутника до поверхности планеты;
- оптическая ось фотокамеры всегда совмещена с направлением от спутника к центру планеты (нормалью к картинной плоскости).
В соответствии с принятой моделью положение наблюдателя для произвольной точки S задается в сферической (геоцентрической) системе координат радиус-вектором длины (R+H), с угловыми координатами ΘS и βS где:
ΘS — широта точки пересечения с поверхностью планеты линии, соединяющей положение спутника с центром планеты. Северная широта представляется углом с положительным знаком, южная — с отрицательным знаком;
βS — долгота точки пересечения с поверхностью планеты линии, соединяющей положение спутника с центром планеты. Восточная долгота представляется углом с положительным знаком, западная — с отрицательным знаком
R — радиус Земли; R = 6370 км;
Н — высота орбиты спутника над поверхностью Земли (удаление наблюдателя от поверхности) (рис. 1).
Любая точка плоского отображения на картинной плоскости «П» поверхности шарового сегмента, ограниченного образующими конуса, с вершиной в точке S, осью OS и касательного к поверхности сферы, может быть построена в полярных координатах с началом в точке P, в которой картинная плоскость касается поверхности сферы, и положительным направлением, совпадающим с направлением меридиана к точке Северного полюса Земли (точка N). Для произвольно взятой точки L ее отображение на картинной плоскости «L» однозначно определяется двумя параметрами: радиусом rk и углом Q° (рис. 2). В свою очередь, радиус rk определяется из соотношения:
,
где Ф — угол дуги большого круга на поверхности сферы PL — может быть определен из представления точек P и L как нормированных кватернионов, компоненты которых однозначно определяются радиус-векторами точек в принятой геоцентрической системе координат. В соответствии с [1] действительная компонента кватерниона, представляющего дугу на поверхности сферы, определяется соотношением:
где L — кватернион дуги PL на поверхности сферы, содержит одну действительную компоненту cosΦ и 3 мнимых компоненты (вектор δ).
1. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела / В.Н. Бранец, И.П. Шмыглевский. Главная редакция физико-математической литературы, Изд-во «Наука». - М., 1973.
2. Милосердов Е.П. Построение плоских изображений поверхности сферы. Тезисы докладов Международной научно-технической конференции «9 Бенардосовские чтения». - Иваново, 1999. - С. 78.
