Russian Federation
A method of Dandelin’s spheres construction for second order arbitrary rotation surfaces based on parameterization in AutoCAD package has been proposed. Examples have been provided. The estimation of accuracy related to definition of focal points and directrixes by proposed method has been given. It has been shown that the error is in the range 10–3...10–8. A conclusion about high efficiency of parameterization as a tool for geometric modeling has been drawn.
Dandelin’s sphere, Dandelin’s balls, conic sections, conics, second order curves, quadrics, second order surfaces, directrix, parameterization, AutoCAD.
Введение
Если круговой конус (или цилиндр) рассечь плоскостью и вписать сферы, касательные к конусу и плоскости сечения, то точки касания сфер с секущей плоскостью являются точками фокусов сечения. Это известное положение теоремы Ж. Данделена (1794–1847) является основой доказательства возникновения коник (эллипса, гиперболы, параболы) как плоских сечений кругового конуса [1].
Определение конических сечений по сфере Данделена введено в курс начертательной геометрии Н.Ф. Четверухиным [2]. На этом положении основан раздел конических сечений (коник) в базовом курсе начертательной геометрии [2; 5; 7]. Однако доказательство возникновения коник и их примеры приводят только для конуса вращения (рис. 1). Центры сфер s1, s2 располагаются на оси конуса как на биссектрисе угла при вершине. Доказательство, полученное Данделеном, что точки касания F1, F2 являются точками фокусов сечения, образованного секущей плоскостью Σ, в данном примере эллипса e′, основано на существовании прямолинейных образующих конуса. Из конструкции Данделена также следует, что линии пересечения плоскостей Σ1, Σ2 касания сфер с конусом и плоскости Σ являются директрисами коники сечения, в данном примере директрисами d1, d2 .
Для других поверхностей вращения второго порядка (далее — произвольных квадрик вращения, ПКВ) качественные свойства сечений подразумеваются по аналогии с конусом на основе общности квадрик.
О сферах Данделена для ПКВ найдено упоминание лишь в работе М. Шаля [10], где сказано, что Данделен развил свою теорему и на случай однополостного гиперболоида, а сам Шаль рассмотрел общий случай для ПКВ. Но эти положения приведены со ссылкой на недоступные работы ориентировочно 1820 г., содержание которых неизвестно.
Единственное доказательное рассуждение существования сфер Данделена для ПКВ найдено в работе [6]. Однако вывести из него алгоритм построения сфер для ПКВ не удается.
В экспериментальном плане задача о нахождении сфер Данделена для ПКВ является частным случаем задачи о нахождения коники (окружности), касательной к двум заданным коникам (очеркам ПКВ), алгоритм которой приведен в работе [8].
1. Gil´bert D., Kon-Fossen S. Naglyadnaya geometriya [Visual Geometry]. Moscow, Nauka Publ., 1981.
2. Gordon V.O., Sementsov-Ogievskiy M.A. Kurs nachertatel´noy geometrii [Course in descriptive geometry]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 2008.
3. Loginovskiy A.N., Kheyfets A.L. Reshenie zadach na osnove parametrizatsii v pakete AutoCAD [Solving problems on the basis of the parameterization package AutoCAD]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2013, v. 1, i. 2, pp. 58-62. DOI:https://doi.org/10.12737/793
4. Chetverukhin N.F. Nachertatel´naya geometriya [Descriptive Geometry]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 1963.
5. Krylov N.N. Nachertatel´naya geometriya [Descriptive Geometry] Moscow, Vysshaya shkola Publ., 2010.
6. Nilov F.K. Sfery Dandelena. Lektsiya na Malom mekhmate [Areas of Dandeli. Lecture on Little Mekhmat], Lomonosov Moscow State University 2011. Available at: http://www.geometry.ru/video.htm (Accessed 7 April 2012) (in Russian)
7. Peklich V.A. Nachertatel´naya geometriya [Descriptive Geometry]. Moscow Publ., 2007.
8. Kheyfets A.L. Algoritmy modelirovaniya konik v pakete AutoCAD [AL Modeling algorithms conic package AutoCAD] Saratov, Yuri Gagarin State Technical University of Saratov Publ., 2013, pp. 34-39.
9. Kheyfets A.L., Loginovskiy A.N. Parametrizatsiya kak sredstvo resheniya zadach 3D komp´yuternogo geometricheskogo modelirovaniya [Loginovskiy Parametrization as a means of solving the problems of computer 3D geometric modeling]. Trudy XX Mezhdunarodnoy nauchno-tekhnicheskoy konferentsii «Informatsionnye sredstva i tekhnologii» [Proceedings of the XX International Scientific and Technical Conference «Information tools and technologies»]. V. 1. Moscow, MEI Publ., 2012, pp. 72-80.
10. Shal´ M. Istoricheskiy obzor proiskhozhdeniya i razvitiya geometricheskikh metodov [Historical overview of origin and development of geometric methods] V. 2. Moscow, Moscow Mathematical Society Publ., 1883.
