Россия
Предложен метод построения сфер Данделена для произвольных поверхностей вращения второго порядка, основанный на параметризации в пакете AutoCAD. Приведены примеры. Дана оценка точности определения точек фокуса и директрис предложенным методом. Показано, что погрешность находится в пределах 10–3…10–8. Сделан вывод о высокой эффективности параметризации как инструмента геометрического моделирования.
сферы Данделена, шары Данделена, конические сечения, коники, кривые второго порядка, квадрики, поверхности второго порядка, директриса, параметризация, AutoCAD.
Введение
Если круговой конус (или цилиндр) рассечь плоскостью и вписать сферы, касательные к конусу и плоскости сечения, то точки касания сфер с секущей плоскостью являются точками фокусов сечения. Это известное положение теоремы Ж. Данделена (1794–1847) является основой доказательства возникновения коник (эллипса, гиперболы, параболы) как плоских сечений кругового конуса [1].
Определение конических сечений по сфере Данделена введено в курс начертательной геометрии Н.Ф. Четверухиным [2]. На этом положении основан раздел конических сечений (коник) в базовом курсе начертательной геометрии [2; 5; 7]. Однако доказательство возникновения коник и их примеры приводят только для конуса вращения (рис. 1). Центры сфер s1, s2 располагаются на оси конуса как на биссектрисе угла при вершине. Доказательство, полученное Данделеном, что точки касания F1, F2 являются точками фокусов сечения, образованного секущей плоскостью Σ, в данном примере эллипса e′, основано на существовании прямолинейных образующих конуса. Из конструкции Данделена также следует, что линии пересечения плоскостей Σ1, Σ2 касания сфер с конусом и плоскости Σ являются директрисами коники сечения, в данном примере директрисами d1, d2 .
Для других поверхностей вращения второго порядка (далее — произвольных квадрик вращения, ПКВ) качественные свойства сечений подразумеваются по аналогии с конусом на основе общности квадрик.
О сферах Данделена для ПКВ найдено упоминание лишь в работе М. Шаля [10], где сказано, что Данделен развил свою теорему и на случай однополостного гиперболоида, а сам Шаль рассмотрел общий случай для ПКВ. Но эти положения приведены со ссылкой на недоступные работы ориентировочно 1820 г., содержание которых неизвестно.
Единственное доказательное рассуждение существования сфер Данделена для ПКВ найдено в работе [6]. Однако вывести из него алгоритм построения сфер для ПКВ не удается.
В экспериментальном плане задача о нахождении сфер Данделена для ПКВ является частным случаем задачи о нахождения коники (окружности), касательной к двум заданным коникам (очеркам ПКВ), алгоритм которой приведен в работе [8].
1. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. М.: Наука, 1981.
2. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии. М.: Высшая школа, 2008.
3. Логиновский А.Н., Хейфец А.Л. Решение задач на основе параметризации в пакете AutoCAD / Геометрия и графика. 2013. Т. 1. №. 2. С. 58-62. DOI:https://doi.org/10.12737/793.
4. Начертательная геометрия / Н.Ф. Четверухин [и др.]. М.: Высшая школа, 1963.
5. Начертательная геометрия: Учебник для вузов / Н.Н. Крылов [и др.]. 11-е изд., стереотип. М.: Высшая школа, 2010.
6. Нилов Ф.К. Сферы Данделена. Лекция на Малом мехмате МГУ, 2011 г. / Лекция 22 (291) 7.04.2012. URL: http://www.geometry.ru/video.htm
7. Пеклич В.А. Начертательная геометрия. М.: АСВ, 2007.
8. Хейфец А.Л. Алгоритмы моделирования коник в пакете AutoCAD / Совершенствование подготовки учащихся и студентов в области графики, конструирования и стандартизации. Межвузовский научно-методический сборник. Саратов: СГТУ, 2013. С. 34-39.
9. Хейфец А.Л., Логиновский А.Н. Параметризация как средство решения задач 3D компьютерного геометрического моделирования / Труды ХХ Международной научно-технической конференции «Информационные средства и технологии». Т. 1. М.: МЭИ. 2012. С. 72-80.
10. Шаль М. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов: Т. 2: Примечание IV. О способе построения фокусов и доказательства их свойств на косом конусе. М.: Моск. мат. общ-во, 1883. (Интернет, электронный ресурс).
