Moskva, Moscow, Russian Federation
Moskva, Moscow, Russian Federation
Moskva, Moscow, Russian Federation
This publication is devoted to the application of transformations at descriptive geometry’s problems solution. Using parametric calculus lets rationally select the number of transformations in the drawing. In Cartesian coordinates, on condition that an identical coordinate plane exists, the difference between parameters of linear forms, given and converted ones, is equal to the number of transformations in the composition. In affine space under these conditions, this difference is equal to two. Based on parameters calculation the conclusion is confirmed that the method of rotation around the level line, as providing the transformation of the plane of general position to the level plane, is a composition of two transformations: replacement of projections planes and rotation around the projection line. In various geometries (affine, projective, algebraic ones, and topology) the types of corresponding transformations are studied. As a result of these transformations are obtained affine, projective, bi-rational and topologically equivalent figures respectively. Such transformations are widely used in solving of applied problems, for example, in the design of technical surfaces of dependent sections. At the same time, along with transformation invariants, the simplicity of the algorithm for constructing of corresponding figures should be taken into account, with the result that so-called stratified transformations are preferred. A sign of transformation’s stratification is a value of dimension for a set of corresponding points’ carriers. This fact explains the relative simplicity of the algorithm for constructing the corresponding points in such transformations. In this paper the use of stratified transformations when finding the points of intersection of a curve with a surface, as well as in the construction of surfaces with variable cross-section shape are considered. The given examples show stratification idea possibilities for solving the problems of descriptive geometry.
descriptive geometry, geometric transformations, parametric calculus, stratified transformations, inversion, invariant curve, surfaces with variable cross-section shape.
В курсе начертательной геометрии в разделе «Способы преобразования чертежа» рассматриваются графические алгоритмы, предназначенные для упрощения решения позиционных и метрических задач с участием линейных форм (прямых и плоскостей). Упрощения достигаются использованием преобразований движения путем приведения фигур общего положения в фигуры частного положения относительно плоскостей проекций декартовой системы отнесения. Примечательным является тот факт, что плоскость общего положения преобразуется в плоскость уровня способами замены плоскостей проекций, плоскопараллельного перемещения и вращения вокруг проецирующей прямой в два этапа, а способом вращения вокруг линии уровня — в один этап. Такое толкование дается во всех отечественных учебниках. Вполне вероятно, что у некоторых преподавателей кафедр инженерной графики это вызывало недоумение. Доцент кафедры инженерной графики МГТУ им. Н.Э. Баумана Л.С. Сенченкова, анализируя алгоритм вращения вокруг линии уровня, пришла к выводу, что указанный способ представляет собой композицию замены плоскости проекций и вращения вокруг проецирующей прямой [22]. Такое же толкование имеется в [23]. На научно-методическом семинаре кафедры Сенченкова Л.С. доложила это представление способа вращения вокруг линии уровня и попыталась обосновать его научным единством подхода ко всем изучаемым видам преобразований чертежа. К сожалению, такая позиция не нашла понимания коллег. В связи с этим предлагаем наше обоснование, базирующееся на использовании параметрического исчисления [9; 20; 21]. Общеизвестно, что множество плоскостей общего положения в трехмерном пространстве трехпараметрично (∞3). Относительно заданной декартовой системы координат Oxyz множество проецирующих плоскостей двупараметрично (∞2): через каждую из ∞2 прямых, принадлежащих плоскостям проекций П1(Oxy), П2(Oxy), П3(Oxy), проходит одна проецирующая плоскость. Очевидно, что плоскостей уровня, перпендикулярных соответствующим осям координат , имеется однопараметрическое множество (∞1). Также общеизвестно, что множество прямых в
трехмерном пространстве четырехпараметрично (∞4). Относительно выбранной декартовой системы координат Oxyz множество прямых уровня будет трехпараметричным (∞3): в каждой из ∞1 плоскостей уровня содержится ∞2 прямых; в итоге имеем ∞1 ⋅ ∞2 = ∞3 прямых. Параметрическое число проецирующих прямых равно двум, так как через каждую из ∞2 точек плоскости проекций проходит одна проецирующая прямая. Во всех изучаемых в студенческом курсе начертательной геометрии преобразованиях одна плоскость проекций остается неизменной (тождественной). Поэтому:
• замена второй плоскости проекций на новую в способе замены плоскостей проекций;
• параллельный перенос на заданный вектор в плоскопараллельном перемещении относительно тождественной плоскости;
1. Andreev K.A. O geometricheskih sootvetstvijah v primenenii k voprosu o postroenii krivyh linij [About geometric correspondences in application to the question of the construction of curved lines]. Moscow, MGU Publ., 1979. 166 p. (in Russian)
2. Bozhko A.N., Zhuk D.M., Manichev V.B. Komp'juternaja grafika [Computer graphics]. Moscow, MGTU Publ., 2007. 396 p. (in Russian)
3. Borovikov I.F. Konstruirovanie soprjagajushhih giperpoverhnostej na osnove rasslojaemyh preobrazovanij. Kand. Diss. [The design of the interfacing hypersurfaces based on stratified transformations. Cand. Diss]. Moscow, 1985. 18 p. (in Russian)
4. Gryaznov Ya.A. Otsek kanalovoy poverkhnosti kak obraz tsilindra v rassloyaemom obrazovanii [A compartment of the channel surface as an image of a cylinder in a stratified formation]. Geometriya i grafika [Geometry and graphics]. 2013, V. 1, I. 1, pp. 17-19. DOI:https://doi.org/10.12737/463. (in Russian)
5. Guznenkov V.N., Zhurbenko P.A., Vintsulina E.V. Autodesk Inventor 2016. Trekhmernoe modelirovanie detaley i vypolnenie elektronnykh chertezhey [Autodesk Inventor 2016. Three-dimensional modeling of parts and execution of electronic drawings]. Moscow, DMK Press Publ., 2017. 124 p. (in Russian)
6. Guznenkov V.N. Informatsionnye tekhnologii v graficheskikh distsiplinakh tekhnicheskogo universiteta [Information technologies in graphic disciplines of the Technical University]. Geometriya i grafika [Geometry and graphics]. 2013, V. 1, I. 3, pp. 26-28. DOI:https://doi.org/10.12737/2128. (in Russian)
7. Ivanov G.S. Konstruirovanie tekhnicheskikh poverkhnostey. Matematicheskoe modelirovanie na osnove nelineynykh preobrazovaniy [Designing technical surfaces. Mathematical modeling on the basis of nonlinear transformations]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1987. 192 p. (in Russian)
8. Ivanov G.S. Nachertatel'naya geometriya [Descriptive Geometry]. Moscow, MGUL Publ., 2012. 340 p. (in Russian)
9. Ivanov G.S. Teoreticheskie osnovy nachertatel'noy geometrii [Theoretical bases of descriptive geometry]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1998. 158 p. (in Russian)
10. Kaluzhnin L.A. Preobrazovaniy gruppa [Transformations group]. Matematicheskaya entsiklopediya [Mathematical Encyclopedia]. Moscow, Sovetskaya entsiklopediya Publ., 1984, V. 4, pp. 599-600. (in Russian)
11. Kleyn F. Vysshaya geometriya [Higher Geometry]. Moscow, Librokom Publ., 2009. 400 p. (in Russian)
12. Kolotov S.M. Vspomogatel'noe proektirovanie [Auxiliary design]. Kiev: Gos. izd-vo literatury po stroitel'stvu i arkhitekture USSR Publ., 1956. 160 p. (in Russian)
13. Korotkiy V.A. Kvadratichnoe preobrazovanie ploskosti, ustanovlennoe puchkom konicheskikh secheniy [Quadratic transformation of a plane established by a beam of conic sections]. Omskiy nauchnyy vestnik. Seriya «Pribory, mashiny i tekhnologii» [Omsk scientific herald. Series "Devices, machines and technologies"]. 2013, I. 1, pp. 9-14. (in Russian)
14. Korotkiy V.A. Komp'yuternoe modelirovanie kinematicheskikh poverkhnostey [Computer simulation of kinematic surfaces]. Geometriya i grafika [Geometry and graphics]. 2016, V. 3, I. 4, pp. 19-26. DOI:https://doi.org/10.12737/17347. (in Russian)
15. Kotov I.I. Nachertatel'naya geometriya [Descriptive Geometry]. Moscow, MAI im. S. Ordzhonikidze Publ., 1973. 200 p. (in Russian)
16. Modenov P.S. Geometricheskie preobrazovaniya [Geometric transformations]. Moscow, MGU Publ., 1961. 232 p. (in Russian)
17. Naumovich N.V. Prosteyshie geometricheskie preobrazovaniya v prostranstve i zadachi na postroenie [The simplest geometric transformations in space and construction problems]. Moscow, Gos. uchebno-pedagogicheskoe Publ., 1959. 132 p. (in Russian)
18. Novozhilova S.A., Egorycheva E.V. Informatsionnoe obespechenie v sovremennykh tekhnologiyakh obucheniya graficheskim distsiplinam [Information support in modern technologies of teaching graphic disciplines]. Geometriya i grafika [Geometry and graphics]. 2014, V. 1, I. 3-4, pp. 33-35. DOI:https://doi.org/10.12737/2130. (in Russian)
19. Poznyak E.G. Geometriya [Geometry]. Matematicheskaya entsiklopediya [Mathematical Encyclopedia]. Moscow, Sovetskaya entsiklopediya Publ., 1977, V. 1, pp. 940 - 943. (in Russian)
20. Sal'kov N.A. Geometricheskoe modelirovanie i nachertatel'naya geometriya [Geometric modeling and descriptive geometry]. Geometriya i grafika [Geometry and graphics]. 2016, V. 4, I. 4, pp. 31-40. DOI:https://doi.org/10.12737/22841. (in Russian)
21. Sal'kov N.A. Parametricheskaya geometriya v geometricheskom modelirovanii [Parametric geometry in geometric modeling]. Geometriya i grafika [Geometry and graphics]. 2014, V. 2, I. 3, pp. 7-13. DOI:https://doi.org/10.12737/6519. (in Russian)
22. Seregin V.I. Geometricheskie preobrazovaniya v nachertatel'noy geometrii i inzhenernoy grafike [Geometric transformations in descriptive geometry and engineering graphics]. Geometriya i grafika [Geometry and graphics]. 2015, V. 3, I. 2, pp. 23-28. DOI:https://doi.org/10.12737/12165. (in Russian)
23. Chetverukhin N.F. Kurs nachertatel'noy geometrii [Course Descriptive Geometry]. Moscow, GITTL Publ., 1956. 435 p. (in Russian)
24. Chetverukhin N.F. Proektivnaya geometriya [Projective geometry]. Moscow, Prosveshchenie Publ., 1969. 368 p. (in Russian)
25. Hudson Hilda P. Cremona Transformatios in plane and space [Tekst] / Hilda P. Hudson. Cambridge, 1927, 455 p.
