Москва, г. Москва и Московская область, Россия
Москва, г. Москва и Московская область, Россия
Москва, г. Москва и Московская область, Россия
Настоящая публикация посвящена применению преобразований при решении задач начертательной геометрии. Использование параметрического исчисления позволяет рационально выбрать количество преобразований на чертеже. В декартовых координатах при условии существования тождественной координатной плоскости разность параметров линейных форм, данной и преобразованной, равна количеству преобразований в композиции. В аффинном пространстве при соблюдении указанных условий эта разность равна двум. На основе исчисления параметров подтверждается вывод о том, что способ вращения вокруг линии уровня как обеспечивающий преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня является композицией двух преобразований: замены плоскостей проекций и вращения вокруг проецирующей прямой. В различных геометриях (аффинной, проективной, алгебраической и топологии) изучаются соответствующие им виды преобразований, в результате которых получаются соответственно аффинно, проективно, бирационально и топологически эквивалентные фигуры. Такие преобразования широко применяются при решении прикладных задач, например, при конструировании технических поверхностей зависимых сечений. При этом наряду с инвариантами преобразований следует учитывать простоту алгоритма построения соответственных фигур, в результате чего предпочтение отдается так называемым расслояемым преобразованиям. Признаком расслояемости преобразования является значение размерности множества носителей соответственных точек. Этим фактом объясняется относительная простота алгоритма построения соответственных точек в таких преобразованиях. В статье рассматривается применение расслояемых преобразований при нахождении точек пересечения кривой с поверхностью, а также в конструировании поверхностей с переменной формой сечений. Приведенные примеры показывают возможности идеи расслоения при решении задач начертательной геометрии.
начертательная геометрия, геометрические преобразования, параметрическое исчисление, расслояемые преобразования, инверсия, инвариантная кривая, поверхности с переменной формой сечения.
В курсе начертательной геометрии в разделе «Способы преобразования чертежа» рассматриваются графические алгоритмы, предназначенные для упрощения решения позиционных и метрических задач с участием линейных форм (прямых и плоскостей). Упрощения достигаются использованием преобразований движения путем приведения фигур общего положения в фигуры частного положения относительно плоскостей проекций декартовой системы отнесения. Примечательным является тот факт, что плоскость общего положения преобразуется в плоскость уровня способами замены плоскостей проекций, плоскопараллельного перемещения и вращения вокруг проецирующей прямой в два этапа, а способом вращения вокруг линии уровня — в один этап. Такое толкование дается во всех отечественных учебниках. Вполне вероятно, что у некоторых преподавателей кафедр инженерной графики это вызывало недоумение. Доцент кафедры инженерной графики МГТУ им. Н.Э. Баумана Л.С. Сенченкова, анализируя алгоритм вращения вокруг линии уровня, пришла к выводу, что указанный способ представляет собой композицию замены плоскости проекций и вращения вокруг проецирующей прямой [22]. Такое же толкование имеется в [23]. На научно-методическом семинаре кафедры Сенченкова Л.С. доложила это представление способа вращения вокруг линии уровня и попыталась обосновать его научным единством подхода ко всем изучаемым видам преобразований чертежа. К сожалению, такая позиция не нашла понимания коллег. В связи с этим предлагаем наше обоснование, базирующееся на использовании параметрического исчисления [9; 20; 21]. Общеизвестно, что множество плоскостей общего положения в трехмерном пространстве трехпараметрично (∞3). Относительно заданной декартовой системы координат Oxyz множество проецирующих плоскостей двупараметрично (∞2): через каждую из ∞2 прямых, принадлежащих плоскостям проекций П1(Oxy), П2(Oxy), П3(Oxy), проходит одна проецирующая плоскость. Очевидно, что плоскостей уровня, перпендикулярных соответствующим осям координат , имеется однопараметрическое множество (∞1). Также общеизвестно, что множество прямых в
трехмерном пространстве четырехпараметрично (∞4). Относительно выбранной декартовой системы координат Oxyz множество прямых уровня будет трехпараметричным (∞3): в каждой из ∞1 плоскостей уровня содержится ∞2 прямых; в итоге имеем ∞1 ⋅ ∞2 = ∞3 прямых. Параметрическое число проецирующих прямых равно двум, так как через каждую из ∞2 точек плоскости проекций проходит одна проецирующая прямая. Во всех изучаемых в студенческом курсе начертательной геометрии преобразованиях одна плоскость проекций остается неизменной (тождественной). Поэтому:
• замена второй плоскости проекций на новую в способе замены плоскостей проекций;
• параллельный перенос на заданный вектор в плоскопараллельном перемещении относительно тождественной плоскости;
1. Андреев К.А. О геометрических соответствиях в применении к вопросу о построении кривых линий [Текст] / К.А. Андреев. - М.: Изд-во МГУ, 1979. - 166 с.
2. Божко А.Н. Компьютерная графика [Текст] / А.Н. Божко, Д.М. Жук, В.Б. Маничев. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. - 396 с.
3. Боровиков И.Ф. Конструирование сопрягающих гиперповерхностей на основе расслояемых преобразований [Текст]: автореф. дис. ... канд. техн. наук / И.Ф. Боровиков. - М., 1985. - 18 с.
4. Грязнов Я.А. Отсек каналовой поверхности как образ цилиндра в расслояемом образовании [Текст] / Я.А. Грязнов // Геометрия и графика. - 2013. - Т. 1. - № 1. - C. 17-19. - DOI:https://doi.org/10.12737/463.
5. Гузненков В.Н. Autodesk Inventor 2016. Трехмерное моделирование деталей и выполнение электронных чертежей. [Текст] / В.Н. Гузненков, П.А. Журбенко, Е.В. Винцулина. - М.: ДМК Пресс, 2017. - 124 с.
6. Гузненков В.Н. Информационные технологии в графических дисциплинах технического университета [Текст] / В.Н. Гузненков // Геометрия и графика. - 2013. - Т. 1. - № 3. - С. 26-28. - DOI:https://doi.org/10.12737/2128.
7. Иванов Г.С. Конструирование технических поверхностей. Математическое моделирование на основе нелинейных преобразований [Текст] / Г.С. Иванов. - М.: Машиностроение, 1987. - 192 с.
8. Иванов Г.С. Начертательная геометрия [Текст] / Г.С. Иванов. - М.: Изд-во МГУЛ, 2012. - 340 с.
9. Иванов Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии [Текст] / Г.С. Иванов. - М.: Машиностроение, 1998. - 158 с.
10. Калужнин Л.А. Преобразований группа [Текст] / Л.А. Калужнин // Математическая энциклопедия: В 5 т. - М.: Советская энциклопедия, 1984. - Т. 4. - С. 599-600.
11. Клейн Ф. Высшая геометрия [Текст] / Ф.Клейн. - М.: Либроком, 2009. - 400 с.
12. Колотов С.М. Вспомогательное проектирование [Текст] / С.М. Колотов. - Киев: Гос. изд-во литературы по строительству и архитектуре УССР, 1956. - 160 с.
13. Короткий В.А. Квадратичное преобразование плоскости, установленное пучком конических сечений [Текст] / В.А. Короткий // Омский научный вестник. Серия «Приборы, машины и технологии». - 2013. - № 1. - С. 9-14.
14. Короткий В.А. Компьютерное моделирование кинематических поверхностей [Текст] / В.А. Короткий, Е.А. Усманова, Л.И. Хмарова // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 3. - № 4. - C. 19-26. - DOI:https://doi.org/10.12737/17347.
15. Котов И.И. Начертательная геометрия [Текст] / И.И. Котов. - М.: Изд-во МАИ им. С. Орджоникидзе, 1973. - 200 с.
16. Моденов П.С. Геометрические преобразования [Текст] / П.С. Моденов, А.С. Пархоменко. - М.: Изд-во МГУ, 1961. - 232 с.
17. Наумович Н.В. Простейшие геометрические преобразования в пространстве и задачи на построение [Текст] / Н.В. Наумович. - М.: Гос. учебно-педагогическое изд-во, 1959. - 132 с.
18. Новожилова С.А. Информационное обеспечение в современных технологиях обучения графическим дисциплинам [Текст] / С.А. Новожилова, Е.В. Егорычева // Геометрия и графика. - 2014. - Т. 1. - № 3-4. - С. 33-35. - DOI:https://doi.org/10.12737/2130.
19. Позняк Э.Г. Геометрия [Текст] / Э.Г. Позняк // Математическая энциклопедия: В 5 т. - М.: Советская энциклопедия, 1977. - Т. 1. - С. 940-943.
20. Сальков Н.А. Геометрическое моделирование и начертательная геометрия [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - № 4. - C. 31-40. - DOI:https://doi.org/10.12737/22841.
21. Сальков Н.А. Параметрическая геометрия в геометрическом моделировании [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2014. - Т. 2 - № 3. - С. 7-13. - DOI:https://doi.org/10.12737/6519.
22. Серегин В.И. Геометрические преобразования в начертательной геометрии и инженерной графике [Текст] / В.И. Серегин, Г.С. Иванов, Л.С. Сенченкова, И.Ф. Боровиков // Геометрия и графика. - 2015. - Т. 3. - № 2. - С. 23-28. - DOI:https://doi.org/10.12737/12165.
23. Четверухин Н.Ф. Курс начертательной геометрии [Текст] / Н.Ф. Четверухин, В.С. Левицкий, З.И. Прянишникова, А.М. Тевлин, Г.И. Федотов. - М.: Изд-во ГИТТЛ, 1956. - 435 с.
24. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия [Текст] / Н.Ф. Четверухин. - М.: Просвещение, 1969. - 368 с.
25. Hudson Hilda P. Cremona Transformatios in plane and space [Текст] / Hilda P. Hudson. Cambridge, 1927. 455 p.
