Chelyabinsk, Chelyabinsk, Russian Federation
A beam of second order surfaces which are in a real or imaginary double-tap is considered. The analysis of all possible events related to bi-quadratic curve disintegration in two plane curves of second order has been performed. The synthetic proof of generalized Dandelin theorem has been presented.
bi-quadratic curve, beam of conic sections, imaginary touch, involution, generalized Dandelin theorem.
Введение
Теорема о двойном прикосновении поверхностей второго порядка (ПВП, квадрик), которая формулируется как геометрическое утверждение, имеет алгебраическое основание, поскольку речь идет об инцидентности фигур, задаваемых алгебраическими уравнениями. Комплексные («мнимые») решения алгебраических уравнений, не имеющие прямых аналогов в геометрии, тем не менее, переносятся в геометрическую формулировку теоремы о двойном прикосновении ПВП. Утверждается, что наряду с действительными фигурами имеются мнимые точки, линии, поверхности, соответствующие мнимым алгебраическим образам. Например, две непересекающиеся ПВП, вписанные в третью ПВП, пересекаются по мнимой пространственной кривой четвертого порядка, распавшейся на две мнимые плоские кривые второго порядка.
Действительные и мнимые элементы в пучке квадрик
Даны поверхности второго порядка Φ1, Φ2 с уравнениями F1(x, y, z) = 0, F2(x, y, z) = 0, пересекающиеся по биквадратной кривой f. Поверхность Φλ с уравнением λF1 + (1 – λ)F2 = 0 при любом значении параметра λ также проходит через f. Изменяя λ, получаем пучок (однопараметрическое множество) квадрик Ψ, включающий в себя исходные поверхности Φ1 (при λ = 1) и Φ2 (при λ = 0). Через любую точку пространства проходит единственная квадрика пучка Ψ.
Если две ПВП пучка Ψ соприкасаются в точках U, V, то и все остальные квадрики этого пучка также соприкасаются в тех же самых точках. При этом биквадратная кривая f распадается на две плоские кривые a, b. Возможны три случая распадения: обе коники a и b действительные; одна из коник a, b действительная, другая — мнимая; обе коники a, b — мнимые.
1. Glagolev N.A. Proektivnaya geometriya [Projective geometry]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 1963.
2. Girsh A.G. Naglyadnaya mnimaya geometriya [Visual imaginary geometry]. Moscow, Maska Publ., 2008.
3. Korotkiy V.A. Kvadratichnoe preobrazovanie ploskosti, ustanovlennoe puchkom konicheskikh secheniy [Quadratic transformation of the plane, set beam conic sections]. Omskiy nauchnyy vestnik [Omsk Scientific Gazette]. 2013. № 1, pp. 9-14.
4. Korotkiy V.A. Konstruirovanie ploskogo sopryazheniya fokal´nykh kvadrik [Construction of a flat interface focal quadrics]. Privolzhskiy nauchnyy zhurnal [Volga scientific journal]. 2014. № 1. pp. 19-26.
5. Programma dlya EVM «Postroenie krivoy vtorogo poryadka, prokhodyashchey cherez dannye tochki i kasayushcheysya dannykh pryamykh» [Computer program "Building a quadratic curve passing through the data points and data relating to direct"]. Svidetel´stvo o gosudarstvennoy registratsii № 2011611961 ot 04.03.2011 g. [Certificate of state registration number 2011611961 from 04.03.2011].
6. Korotkiy V.A. Proektivnoe postroenie koniki [Projective conic construction]. Chelyabinsk, South Ural State University Publ., 2010.
7. Korotkiy V.A. Proektivnoe postroenie koniki, zadannoy pyat´yu deystvitel´nymi elementami [Projective conic construction given five real elements]. Moscow, 2010. 44 p. Dep. v VINITI 19.01.10, № 13-V2010.
8. Girsh A.G. Kompleksnaya geometriya - evklidova i psevdoevklidova [Complex geometry - Euclidean and pseudo]. Moscow, Maska Publ., 2013.
