Челябинск, Челябинская область, Россия
Рассматривается пучок поверхностей второго порядка, находящихся в действительном или мнимом двойном прикосновении. Выполнен анализ всех возможных случаев распадения биквадратной кривой на две плоские кривые второго порядка. Дано синтетическое доказательство обобщенной теоремы Данделена.
биквадратная кривая, пучок конических сечений, мнимое прикосновение, инволюция, обобщенная теорема Данделена.
Введение
Теорема о двойном прикосновении поверхностей второго порядка (ПВП, квадрик), которая формулируется как геометрическое утверждение, имеет алгебраическое основание, поскольку речь идет об инцидентности фигур, задаваемых алгебраическими уравнениями. Комплексные («мнимые») решения алгебраических уравнений, не имеющие прямых аналогов в геометрии, тем не менее, переносятся в геометрическую формулировку теоремы о двойном прикосновении ПВП. Утверждается, что наряду с действительными фигурами имеются мнимые точки, линии, поверхности, соответствующие мнимым алгебраическим образам. Например, две непересекающиеся ПВП, вписанные в третью ПВП, пересекаются по мнимой пространственной кривой четвертого порядка, распавшейся на две мнимые плоские кривые второго порядка.
Действительные и мнимые элементы в пучке квадрик
Даны поверхности второго порядка Φ1, Φ2 с уравнениями F1(x, y, z) = 0, F2(x, y, z) = 0, пересекающиеся по биквадратной кривой f. Поверхность Φλ с уравнением λF1 + (1 – λ)F2 = 0 при любом значении параметра λ также проходит через f. Изменяя λ, получаем пучок (однопараметрическое множество) квадрик Ψ, включающий в себя исходные поверхности Φ1 (при λ = 1) и Φ2 (при λ = 0). Через любую точку пространства проходит единственная квадрика пучка Ψ.
Если две ПВП пучка Ψ соприкасаются в точках U, V, то и все остальные квадрики этого пучка также соприкасаются в тех же самых точках. При этом биквадратная кривая f распадается на две плоские кривые a, b. Возможны три случая распадения: обе коники a и b действительные; одна из коник a, b действительная, другая — мнимая; обе коники a, b — мнимые.
1. Глаголев Н.А. Проективная геометрия: Учебник. М.: Высшая школа, 1963.
2. Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия: Монография. М.: Маска, 2008.
3. Короткий В.А. Квадратичное преобразование плоскости, установленное пучком конических сечений // Омский научный вестник. 2013. № 1. С. 9-14.
4. Короткий В.А. Конструирование плоского сопряжения фокальных квадрик // Приволжский научный журнал. 2014. № 1. С. 19-26.
5. Программа для ЭВМ «Построение кривой второго порядка, проходящей через данные точки и касающейся данных прямых» / В.А. Короткий // Свидетельство о государственной регистрации № 2011611961 от 04.03.2011.
6. Короткий В.А. Проективное построение коники: Учеб. пособие. Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2010.
7. Короткий В.А. Проективное построение коники, заданной пятью действительными элементами. М., 2010. Деп. в ВИНИТИ 19.01.10, № 13-В2010.
8. Гирш А.Г. Комплексная геометрия - евклидова и псевдоевклидова: Монография. М.: Маска, 2013.
