from 01.10.2008 until now
Russian Federation
Quadratic programming problems are one of special cases of mathematical programming problems. Mathematical programming problems solution is of great importance, because these problems are those of optimizing of solution related to presented issues from multitude of possible ones. The mathematical programming problems are linear, nonlinear, dynamic and others. It is suggested to consider a graph-analytic solution of quadratic programming’s special problems, which, taken together, constitute the quadratic programming problems for two and three variables. A total of eight special problems have been considered.
quadratic programming, mathematical programming, analytical geometry, quadratic forms, matrices, problems’ graphanalytic solution.
Исследование различных процессов начинается с составления их математических моделей: составляются уравнения и неравенства, которые связывают между собой постоянные и переменные показатели. Эта система математических зависимостей является системой ограничений, в которых, меняя переменные, можно получить экстремальные варианты решений. Среди математического программирования выделяются задачи линейного программирования, где все составляющие представляют собой линейные зависимости, и квадратичного программирования, в котором составляющие могут быть составлены из квадратичных целевых функций и линейных ограничений. Квадратичное программирование относится к нелинейному программированию.
Задача квадратичного программирования в матричной записи формулируется следующим образом:
min{G(Х)|AХ ≤ b, x ≥ 0}, (1)
где А — прямоугольная m × n матрица коэффициентов при n независимых переменных;
Х — матрица-столбец из n независимых переменных;
b — матрица-столбец из m постоянных величин;
G(Х) — квадратичная целевая функция.
При графо-аналитическом решении задач квадратичного программирования возникает ряд частных геометрических задач, составляющих основную. Так, задачи с двумя независимыми переменными Х1 и Х2 [6, 7] решаются при помощи трех частных задач:
- определение точки пересечения N двух заданных прямых;
- прохождение преобразованной в гомотетии коники через имеющуюся точку N с известными координатами Х1N, X2N;
- касание преобразованной в гомотетии коники с заданной прямой.
Задачи с тремя независимыми переменными Х1, Х2, Х3 предполагают решение следующих частных задач:
- определение точки пересечения N трех заданных плоскостей;
- определение прямой LM — линии пересечения двух заданных плоскостей;
- прохождение преобразованной в гомотетии квадрики через известную точку N с координатами Х1N, Х2N, Х3N;
- касание преобразованной в гомотетии квадрики с имеющейся прямой LM;
- касание преобразованной в гомотетии квадрики с заданной плоскостью.
1. Byushgens S. Differentsial´naya geometriya [Differential geometry]. Moscow-Leningrad: State publishing house of technical and theoretical literature Publ., 1948.
2. Delone B.N., Raikov D.A. Analiticheskaja geometrija. T. 1 [Analytic geometry. Volume 1]. Moscow-Leningrad: State publishing house of technical and theoretical literature Publ., 1948.
3. Delone B.N., Raikov D.A. Analiticheskaja geometrija. T. 2 [Analytic geometry. Volume 2]. Moscow-Leningrad: State publishing house of technical and theoretical literature Publ., 1949.
4. Efimov N.V. Kvadratichnye formy i matricy [Quadratic forms, and the matrix]. Moscow: Fizmatgiz Publ., 1963.
5. Efimov N.V. Kratkij kurs analiticheskoj geometrii [Shortcourse of analytical geometry]. Moscow: Nauka Publ., 1972.
6. Kuznetsov YU.N., Kuzubov V.I., Voloschenko A.B. Matematicheskoe programmirovanie [Mathematical programming]. Moscow: Vysshaya SHKOLA Publ., 1980.
7. Kyuntsi G.P., Krelle V. Nelinejnoe programmirovanie [Century Nonlinear programming]. Moscow: Sovetskoe radio Publ., 1965.
8. Salkov N.A. Ob odnom graficheskom postroenii giperboly [About one graphical building hyperbola]. Prikladnaja geometrija i inzhenernaja grafika [Applied geometry and engineering graphics]. Kiev.: Budivel’nik Publ., 1982. Issue 34. Р. 95. (in Russian)
9. Salkov N.A. Device to plot the curves of the second order. Krivoy Rog, 1986. Deputies in UkrNIINTI, № 1162Ук-86. (in Russian)
10. Salkov N.A. About the same build, Konik. Sbornik trudov 3-oj Mezhdunarodnoj nauchno-metodicheskoj konferencii po inzhenernoj geometrii i komp´juternoj grafike [Proceedings of the 3rd International scientific and methodological conference on engineering geometry and computer graphics]. Moscow: MITHT Publ., 2010. Р. 28-32. (in Russian)
11. Salkov N.A. Ellipse: the tangent and normal. Geometrija i grafika: Nauchno-metodicheskij zhurnal [Geometry and graphics: Scientific and methodical magazine]. Moscow: INFRA-M Publ., 2013. Vol. 1. Issue 1. Р. 35-37. (in Russian)
