сотрудник с 01.10.2008 по настоящее время
Россия
Задачи квадратичного программирования являются одним из случаев задач математического программирования. Решение задач математического программирования имеет большое значение, так как это — задачи на оптимизацию решения поставленных проблем из множества возможных. Различают линейное, нелинейное, динамическое и др. виды задач математического программирования. К рассмотрению предлагается графо-аналитическое решение частных задач квадратичного программирования, составляющих в своей совокупности собственно задачи квадратичного программирования для двух и трех независимых переменных. Всего рассмотрено восемь частных задач.
квадратичное программирование, математическое программирование, аналитическая геометрия, квадратичные формы, матрицы, графо-аналитическое решение задач.
Исследование различных процессов начинается с составления их математических моделей: составляются уравнения и неравенства, которые связывают между собой постоянные и переменные показатели. Эта система математических зависимостей является системой ограничений, в которых, меняя переменные, можно получить экстремальные варианты решений. Среди математического программирования выделяются задачи линейного программирования, где все составляющие представляют собой линейные зависимости, и квадратичного программирования, в котором составляющие могут быть составлены из квадратичных целевых функций и линейных ограничений. Квадратичное программирование относится к нелинейному программированию.
Задача квадратичного программирования в матричной записи формулируется следующим образом:
min{G(Х)|AХ ≤ b, x ≥ 0}, (1)
где А — прямоугольная m × n матрица коэффициентов при n независимых переменных;
Х — матрица-столбец из n независимых переменных;
b — матрица-столбец из m постоянных величин;
G(Х) — квадратичная целевая функция.
При графо-аналитическом решении задач квадратичного программирования возникает ряд частных геометрических задач, составляющих основную. Так, задачи с двумя независимыми переменными Х1 и Х2 [6, 7] решаются при помощи трех частных задач:
- определение точки пересечения N двух заданных прямых;
- прохождение преобразованной в гомотетии коники через имеющуюся точку N с известными координатами Х1N, X2N;
- касание преобразованной в гомотетии коники с заданной прямой.
Задачи с тремя независимыми переменными Х1, Х2, Х3 предполагают решение следующих частных задач:
- определение точки пересечения N трех заданных плоскостей;
- определение прямой LM — линии пересечения двух заданных плоскостей;
- прохождение преобразованной в гомотетии квадрики через известную точку N с координатами Х1N, Х2N, Х3N;
- касание преобразованной в гомотетии квадрики с имеющейся прямой LM;
- касание преобразованной в гомотетии квадрики с заданной плоскостью.
1. Бюшгенс С.С. Дифференциальная геометрия. М.-Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948.
2. Делоне Б.Н., Райков Д.А. Аналитическая геометрия. Т. 1. М.-Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948.
3. Делоне Б.Н., Райков Д.А. Аналитическая геометрия. Т. 2. М.-Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1949.
4. Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы. М.: Физматгиз, 1963.
5. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М.: Наука, 1972.
6. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. М.: Высшая школа, 1980.
7. Кюнци Г.П., Крелле В. Нелинейное программирование. М.: Советское радио, 1965.
8. Сальков Н.А. Об одном графическом построении гиперболы // Прикладная геометрия и инженерная графика. Киев: Будiвельник, 1982. Вып. 34. C. 95-95.
9. Сальков Н.А. Прибор для вычерчивания кривых второго порядка. - Кривой Рог, 1986. Деп в УкрНИИНТИ, № 1162Ук-86.
10. Сальков Н.А. Об одном построении коник // Сборник трудов 3-й Международной научно-методической конференции по инженерной геометрии и компьютерной графике. М.: МИТХТ, 2010. С. 28-32.
11. Сальков Н.А. Эллипс: касательная и нормаль // Геометрия и графика: Научно-методический журнал. М.: ИНФРА-М, 2013. Т. 1. Вып. 1. С. 35-37.
