Введение. Изгибаемые железобетонные элементы зданий и сооружений подвергаются воздействию агрессивных несиловых нагрузок, что приводит к развитию коррозионных процессов в бетоне и арматуре, вызывая преждевременное наступление предельных состояний в конструкциях [1–4]. Коррозия железобетона – это сложный комплекс химических процессов, в результате развития которых существенно изменяются его прочностные и деформативные свойства [5–7].

Одной из ключевых проблем в строительстве является воздействие хлоридной среды, которое признано опасным и широко распространено на практике. Исследования, проведенные различными методами, включая опросы экспертов, анализ проектной документации и полевые наблюдения, показывают, что около 3/4 предприятий химической, металлургической и других отраслей промышленности, а также в сфере транспортного строительства и в прибрежных зонах подвержены влиянию агрессивных сред, содержащих хлориды [8–10].

На данный момент достаточно исследованы процессы определения НДС (напряженно-деформированного состояния) конструкций, поврежденных коррозией при совместном действии эксплуатационных и средовых нагрузок, этой теме исследования посвящены работы Бондаренко В.М., Римшина В.И., Розенталя Н.К., Попеско А.И., Овчинникова И.Г., Смоляго Г.А., Селяева В.П., Леоновича С.Н., Чиркова В.П., Mangat P.S., Gaal G.C., Ai-Hammoud R., Andrade C. и др. [11–14].

В модели коррозионного поражения бетона можно применить часть диссипативной теории сопротивления В.М. Бондаренко [5], согласно которой поперечное сечение элемента делится на три зоны. Первая зона представляет собой область полного разрушения материала толщиной z*. Вторая зона – это переходная зона частичного поражения бетона толщиной δ. Третья зона представляет собой область неповрежденного коррозией бетона толщиной p (рис. 1).

Влияние агрессивной среды на силовое сопротивление бетона учитывается функцией повреждения слоя K(z) :

σb,cor=σbt∙K(z) ,                (1)

Eb,corн=Ebнt∙K(z) ,                (2)

где σbt  – модель деформирования обычного бетона; Ebнt  – модель изменения интегрального модуля деформаций; K(z)  – функция повреждения для слоя толщиной z.

Рис. 1. Схема изменения прочностных характеристик бетона по поперечному сечению и зависимости глубины коррозии от напряжений

Коэффициент K  находится в пределах от 0 до 1 и в общем виде определяется зависимостью:

K(z) =i=0i=3ai∙zi , (3)

где z  – ордината, отсчитываемая от оси силовых напряжений поврежденного коррозией бетонного элемента; ai  – коэффициенты степенного ряда, которые находят при фиксированных значениях Ki .

Согласно модели, условия для определения параметров ai  выглядят таким образом:

при z=p  Kp=1  dk*dz|z=p=0 ,           (4)

при z>p  K*p+δ=K1 .               (5)

При условии что, z=p+σ→Кp+σ=0 , коэффициенты a0,a1,a2  равны:

a0=1-(pδ)2 ,                      (6)

a1=2pδ2 ,                          (7)

a2=-1δ2 .                        (8)

В качестве исходной модели поведения бетона при расчете прочности изгибаемых элементов принята диссипативная теория силового сопротивления В.М. Бондаренко [4, 5], в которой зависимость напряжения сжатия бетона описываются зависимостью:

σbt=kε t em(t)ε(t)1Em0(t)+C*t,t0- t0t στσt∂∂τC*t,τdτ ,   (9)

где k  – эмпирический параметр деформирования; m  – параметр нелинейности; Em0  – модуль мгновенной деформации; t0  – начало наблюдения; t  – окончание наблюдения; ε  ­ полные деформации бетона.

Для дальнейшего использования в уравнениях равновесия и определения изгибных жесткостей железобетонного сечения, используется функция для определения временного нелинейного модуля деформаций:

Ebнt,t0=Sm0tEm0t+Sn0t∙C*t,t0- t0tSn0(t) στσt∂∂τC*t,τdτ -1 .        (10)

В общем виде, функция напряжений для мгновенных и запаздывающих деформаций определяется по формуле:

S0=1+VσRm                     (11)

где m и V  – эмпирические константы деформирования для различных классов бетона по прочности в диапазоне от В15 до В60, которые представлены в табл. 1.

Коррозия арматуры в большей степени изменяет геометрические характеристики арматуры, нежели физико-механические характеристики стали. Расчетная площадь поперечного сечения поврежденной стальной арматуры представляется как [15]:

As*=As–Ascor ,                         (12)

где А_s – площадь поперечного сечения стальной арматуры до коррозии; А_s^cor– расчетная площадь коррозионных повреждений поперечного сечения стальной арматуры.

Таблица 1

Физико-механические характеристики применяемого бетона

Глубина коррозии стальной арматуры в работах Овчинникова И.Г. определяется
зависимостью [16]:

δs=0, t≤tincδs,0∙(t-tinc)T+(t-tinc),t>tinc ,                   (13)

где: δ_s,0, Т – константы развития повреждений, устанавливаемые из экспериментальных данных;
t_inc – время инициирования коррозии арматуры, определяемое из выражения (14), при значении глубины коррозионных повреждений бетона δ(t) = a_s – d/2, т.е. когда агрессивная среда достигнет поверхности стержня.

Время продолжительности инкубационного периода определяется на основе закона Фика при известном значении критической концентрации хлоридов в бетоне C_кр [16]:

tinc=112Da1-(C_крCs)0.52 ,                   (14)

где D – коэффициент диффузии хлорида, а – толщина защитного слоя бетона, C_s – концентрация хлоридов на расстоянии x от поверхности бетона в момент времени.

В исследовании [22] зависимость деформирования стали представлена в виде диаграммы Прандтля:

σ =Eε, 0<ε≤εупрσm,  ε>εупр .                  (15)

Актуальным вопросом при длительной эксплуатации зданий и сооружений является продление остаточного срока службы их поврежденных железобетонных элементов. В практике строительства процесс обследования технического состояния железобетонных конструкций происходит одновременно с целью увеличить несущую способность элементов для восприятия больших значений нагрузок.

Наряду с существующими методами усиления конструкций, такими как наращивание поперечного сечения и армирования, применение стальных обойм, используется метод внешнего полимеркомпозитного усиления [17-20]. Развитие и применение методов усиления неповрежденных железобетонных конструкций внешним композитным армированием стало возможным благодаря теоретическим и экспериментальным работам Римшина В.И., Маиляна Д.Р., Морозова В.И., Меркулова С.И., Польского П.П., Bonacci J.F., Tamer E.M., Al-Saidy A.H., Elghazy M. и др.

Особенностью работы композитных материалов на растяжение является их упругое вплоть до разрушения деформирование. Композитные волокна отличаются от стали тем, что они не обладают пластичностью, а их разрушение происходит хрупко [21–23]. Напряжение композитных материалов зависит от их деформации согласно уравнению Гука:

σf=Efεf ,                             (16)

где: E_f – модуль упругости композитного материала; ε_f – деформация волокон в определенный момент времени.

Это влияет на проектирование усиления железобетонных конструкций внешним армированием из композитов, так как накладываются ограничения на величину упругих деформаций бетона и стали.

Методика расчета прочности изгибаемых железобетонных элементов, усиленных полимеркомпозитным армированием, основана на ряде предположений и гипотез, включая предположение о постоянстве внешней нагрузки на элемент и концентрации агрессивной среды вокруг сечения на протяжении всего периода наблюдений. Также учитывается коррозия арматуры посредством уменьшения сечения, полиномиальная связь между напряжением и деформацией бетона, прочность системы усиления и характеристики материала усиления, такие как толщина, модули упругости, коэффициенты Пуассона и др.

Методы. В данной работе для получения искомых величин используется математический итерационный метод, который сводится к последовательному применению метода Пикара.

Метод Пикара как инструмент для разбиения поперечного сечения железобетонного элемента является итерационным подходом, используемым для анализа и моделирования поврежденных конструкций. Он предполагает последовательное уточнение характеристик сечения путем деления его на подэлементы и итерационного расчета их свойств. В общем виде формула итерационного метода Пикара определяется зависимостью:

yt=y0+t0tfx,yxdx .          (17)

Ниже представлен пошаговый алгоритм для решения:

– задаются начальные условия, такие как конфигурации поперечного сечения железобетонного элемента, включая размеры, форму, расположение и количество арматуры, геометрические параметры повреждений, такие как глубина и протяженность трещин;

– разбивается поперечное сечение на несколько зон (подэлементов), учитывая как поврежденные, так и неповрежденные области

– выбирается начальное приближение приблизительное значение y (принимаемое сначала за константу) подставляется в правую часть дифференциального уравнения:

dydx=f (x,y) .                    (18)

– уравнение интегрируется относительно x, давая y в терминах x во втором приближении, в которое подставляются заданные числовые значения, а результат округляется до заданного количества знаков после запятой или значащих цифр. Первоначально оцениваются механические свойства каждого подэлемента. Итерационный расчет напряженно-деформированного состояния проводится для каждого подэлемента, учитывая взаимодействие между ними. Обновляются характеристики подэлементов на основе результатов расчетов, постепенно уточняя модель.

– итерационный процесс повторяется до достижения сходимости, когда изменения характеристик становятся незначительными. Проводится проверка полученных результатов, чтобы убедиться в адекватности модели и правильности расчетов

– на основе итерационных расчетов определяются интегральные характеристики всего сечения, такие как момент инерции, статический момент, жесткость и несущая способность.

Метод Пикара в данном контексте обеспечивает точное моделирование и анализ, что необходимо для оценки состояния конструкции и принятия решений о её ремонте или усилении.

Основная часть. Методика расчета прочности изгибаемых элементов предполагает первоначальное определение несущей способности M неповрежденной конструкции решением аналитических зависимостей:

N+σs'As'+σsAs+b-h/2z0σpdz+bz0h/2σcdz=0 ,     (19)

M+σs'As'zc+σsAszp+b-h/2z0σpzdz+bz0h/2σczdz=0 ,  (20)

Далее, для расчета прочности нормальных сечений, поврежденных коррозией, элементов с трещинами, предлагается частный случай диахронной модели деформирования В.В. Белова и С.Е. Никитина [24, 25]. Данная модель учитывает:

– изменение прочностных и деформационных характеристик сжатого и растянутого бетона;

– развитие коррозии арматурных стержней;

В рамках методики рассматривается напряженно-деформированное состояние изгибаемого железобетонного элемента с симметричным поперечным сечением в плоскости изгиба и габаритными размерами h×b, площадью S и двойным армированием As, cor,As,cor' . В случае поперечного изгиба предполагается превалирующая роль изгибающего момента Mcor  и продольного усилия Ncor  при незначительном влиянии перерезывающих сил.

Для сечения с трещиной разрешающие системы уравнений диахронной модели деформирования коррозионно-поврежденных железобетонных элементов составляют условия статической эквивалентности ΣNcor=0  и ΣMcor=0 , а также кинематические зависимости:

Ncor = b ∙h/2δ1σb,corydy+2∙δ2 ∙ δ1xbσb,corydy +b-2∙δ2∙δ1xbσbydy+ As, cor'∙Es`∙εb-As,cor∙Es∙εs , (21)

Mcor = b ∙h/2δ1σb,cory∙y∙dy+2∙δ2 ∙ δ1xbσb,cory∙y∙dy +b-2∙δ2∙δ1xbσby∙y∙dy+ As, cor'∙Es`∙εb∙h2-a`-

-As,cor∙Es∙εs∙(h2-a) ,                                                                   (22)

εbεs=xh-x-a ,                        (23)

где ε_s – относительная деформация растянутой арматуры, в среднем сечении; E_s – модуль упругости арматуры; a  – расстояние от равнодействующей усилий в растянутой арматуре до ближайшей грани сечения; ε_b– относительная деформация бетона, в среднем сечении; σb,cor,σb  – напряжение в бетоне поврежденной и неповрежденной зоны соответственно; δ1,δ2  – глубина повреждения бетонного сечения в сжатой зоне и боковых гранях.

Роль внешне-композитного усиления изгибаемого элемента определяется добавлением в уравнения равновесия усилий в композитном армировании на расстоянии a  (защитного слоя) от месторасположения растянутой арматуры (рис. 2).

Рис. 2. Схема изменения прочностных характеристик бетона по поперечному сечению
и зависимости глубины коррозии от напряжений

В результате получаем зависимости:

Nstr = b ∙h/2δ1σb,corydy+2∙δ2 ∙ δ1xbσb,corydy + b-2∙δ2∙δ1xbσbydy+ As, cor'∙Es`∙εb-As,cor∙Es∙εs-
- Af∙Ef∙εf ,                                                                           (24)

Mstr = b ∙h/2δ1σb,cory∙y∙dy+2∙δ2 ∙ δ1xbσb,cory∙y∙dy +b-2∙δ2∙δ1xbσby∙y∙dy+ As, cor'∙Es`∙εb∙h2-a`-

-As,cor∙Es∙εs∙(h2-a)- Af∙Ef∙εf∙h2 ,                                                       (25)

εbεbts=xbh-xb ,                                                                    (26)

где h – высота прямоугольного сечения; b – ширина прямоугольного сечения; E_s – модуль упругости арматуры; a – расстояние от равнодействующей усилий в растянутой арматуре до ближайшей грани сечения; ε_b – относительная деформация сжатия бетона, в среднем сечении; σb,cor,σb  – напряжение в бетоне поврежденной и неповрежденной зоны соответственно; δ1,δ2  – глубина повреждения бетонного сечения в сжатой зоне и боковых гранях; Af  – площадь поперечного сечения композитного материала; Ef  – модуль упругости композитного материала; ε_bts – общая относительная деформация растяжения бетона усиленного элемента:

εbts=εf+εbt ,                             (27)

где ε_bt – относительная деформация растяжения бетона, до применения композитного усиления сечения; ε_f – относительная деформация композитного материала.

Для проведения итерационного счета запишем уравнения (24) и (25), определяющие продольную силу Nstr  и изгибающий момент Mx, str , через изгибные жесткости D, кривизну 1rx  и относительной деформации волокна в начальной точке ε0 :

Nstr =D131rx+D33ε0 ,                (28)

Mx,str =D111rx+D13ε0 .            (29)

С учетом усилий полимеркомпозитного материала изгибные жесткости равны:

D11=b ∙h/2δ1Eb,corнy∙y2∙dy + 2∙δ2 ∙ δ1xEb,corнy∙y2∙dy + b-2∙δ2∙δ1xEbнy∙y2∙dy+

+As, cor'∙Es`∙h2-a`2-As,cor∙Es∙h2-a2- Af∙Ef∙(h2)2 ,                                  (30)