докторант
Липецк, Липецкая область, Россия
сотрудник с 01.01.2000 по настоящее время
Липецк, Липецкая область, Россия
УДК 624.016 Конструкции из разнородных строительных материалов. Комбинированные конструкции
УДК 624.047.2 Стационарные конструкции
Комбинированные строительные конструкции обладают преимуществами с точки зрения эффективности использования высокопрочных материалов и снижения деформативности под нагрузкой. Для расширения области их практического применения требуется совершенствование методик расчета и проектирования. Объектом исследования в настоящей работе является комбинированная конструкция шпренгельного типа, верхний пояс которой образован прямолинейными балками, расположенными радиально и соединенными шарнирно в коньковом узле, а нижний пояс состоит из высокопрочных вантовых элементов и шарнирных стержней. Для статического анализа исследуемой конструкции принята её плоская модель. Раскрытие статической неопределимости выполнено при помощи метода сил, применимость которого обоснована ограничением деформативности конструкции требованиями второй группы предельных состояний. Предложены аналитические выражения для определения усилий и изгибающих моментов в основных элементах конструкции. Полученные выражения, за счет введения дополнительных параметров, унифицированы для выполнения расчета на предварительное напряжение и внешние нагрузки. Предложена усовершенствованная методика определения матрицы коэффициентов и вектора свободных членов канонической системы метода сил, позволяющая автоматизировать расчет. Разработана методика учета гибких вантовых элементов, способных воспринимать только растягивающие усилия. Методика заключается в последовательном выключении сжатых вант из расчетной схемы. Результаты работы вносят вклад в развитие комбинированных конструкций шпренгельного типа и могут быть использованы при поиске оптимальных проектных решений, а также, для выявления закономерностей напряженно-деформированного состояния комбинированных конструкций посредством численного моделирования.
комбинированная строительная конструкция, шпренгельная система, метод сил, гибкая ванта, предварительное напряжение
Введение. Комбинированные строительные конструкции представляют собой системы разнородных материалов и элементов, обладающих различными областями эффективного использования [1]. Объединение гибких вант с балками жесткости является действенной мерой снижения деформативности большепролетных конструкций и повышения эффективности применения высокопрочных сталей [2]. Вместе с тем, действие ветровой нагрузки на комбинированные системы с балками жесткости, подвешенными к несущим вантовым элементам, приводит к выключению гибких подвесок из работы [3].
Для смягчения негативного влияния знакопеременных нагрузок получили распространение шпренгельные системы, состоящие из жесткого элемента и вантовых предварительно напряженных поясов [4, 5]. В работе [6] предлагается конструкция покрытия повышенной жесткости, верхний пояс которой состоит из горизонтально расположенных полос листовой стали, поддерживаемых предварительно напряженной сетью нижнего пояса. Результаты экспериментальных исследований, подтверждающие эффективность применения комбинированных конструкций повышенной жесткости, приведены в работах [7, 8].
Важным шагом на пути развития шпренгельных систем стало появление конструкций, в которых натяжение вантового пояса создает в жестком элементе изгибающие моменты обратного знака, по сравнению с моментами, реализующимися от действия преобладающих внешних нагрузок [9]. Плоские арочные системы, предварительно напряженные затяжками, находят применение как в зданиях капитального назначения, так и во временных сооружениях [10].
Дальнейшим развитием шпренгельных конструкций можно считать пространственные купольные системы. Эффективность применения шпренгельных куполов подтверждена проведением численного моделирования и натурными испытаниями [11, 12, 13].
Одним из наиболее распространенных приемов статического анализа комбинированных конструкций является применение итерационных методик, позволяющих найти решение за конечное число шагов [14]. Параметрический итерационный анализ работы под нагрузкой подвесных мостов предложен в работе [15]. Смешанный алгоритм для нелинейного анализа комбинированных конструкций, состоящих из гибких вант и жестких на изгиб элементов, предложен в работе [16]. Достижение равновесного состояния обеспечивается применением итерационного метода секущих.
Энергетический метод применен в работе [17] для нелинейного расчета комбинированного купола. Поиск минимума потенциальной энергии на стадии предварительного напряжения и при действии внешней нагрузки осуществляется итерационным методом решения системы нелинейных уравнений равновесия.
Несмотря на преимущества численных методов, их применение требует предварительного задания основных параметров конструкции. Аналитические подходы к статическому расчету, таким образом, сохраняют свою актуальность, позволяя оценить требуемые жесткостные характеристики элементов, а также, служа инструментом оценки правильности принятых расчетных схем и полученных результатов [18].
Инженерная методика расчета радиально-балочного купола разработана и подтверждена экспериментально в работах [19, 20]. Методика включает определение изгибающих моментов в наиболее опасном сечении ребер верхнего пояса, а также, учитывает влияние стальной мембраны покрытия на работу конструкции.
Методика определения требуемого натяжения гибких элементов купольной конструкции на стадии создания предварительного напряжения предложена в работе [21]. Данная методика может быть применена на этапе разработки проектного решения конструкции при определении ее основных параметров.
При действии внешней нагрузки, гибкие элементы комбинированных конструкций, подверженные «условному сжатию», выключаются из работы, а комбинированная система проявляет конструктивно нелинейное поведение [22].
Для решения проблемы поиска т.н. «рабочей схемы», получаемой из расчетной схемы конструкции путем удаления выключившихся элементов, в работах [23–26] предложено применение метода конечных элементов в форме смешанного метода и метода сил, без учета геометрической нелинейности. Совершенствование метода сил в части оптимизации расчетного алгоритма решения канонической системы большой размерности предложено в [27, 28]. Применение линейных методов, к числу которых относятся метод сил, метод перемещений и смешанный метод, для расчета комбинированных систем шпренгельного типа обосновано ограничением деформаций конструкции требованиями второй группы предельных состояний.
Из приведенного литературного обзора следует вывод о перспективности комбинированных строительных конструкций шпренгельного типа, обладающих преимуществами с точки зрения эффективности использования высокопрочных материалов и снижения деформативности под нагрузкой. Вместе с тем, для расширения области практического применения комбинированных систем требуется совершенствование методик статического расчета, используемых при разработке проектных решений и определении оптимальных параметров конструкции.
Целью работы является разработка усовершенствованной методики статического расчета комбинированной конструкции шпренгельного типа, предназначенной для применения на этапе вариантного проектирования при назначении основных параметров конструкции.
Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:
- предложены аналитические выражения для определения усилий и изгибающих моментов в элементах исследуемой конструкции;
- предложено введение параметров, позволяющих автоматизировать процесс расчета;
- предложены выражения для расчета матрицы коэффициентов и вектора свободных членов канонической системы метода сил;
- разработан алгоритм последовательного выключения гибких вантовых элементов из расчетной схемы при их сжатии;
- выполнено сопоставление результатов, полученных применением предложенной методики, с результатами специализированного программного комплекса.
Методика проведения исследований. Верхний пояс исследуемой конструкции образован прямолинейными балками, расположенными радиально и соединенными шарнирно в коньковом узле (рис. 1, а). Балки верхнего пояса объединены при помощи распорок с нижним поясом, состоящим из высокопрочных тросовых и вантовых элементов, с образованием ребер несущего каркаса. Кольцевой вантовый элемент и кольцо из шарнирных стержней объединяют радиальные ребра несущего каркаса между собой.
Для статического анализа исследуемой конструкции принята плоская модель с шарнирно подвижной правой опорой (рис. 1, б). В соответствие с работой [29], кольцевой вантовый элемент нижнего яруса и кольцо из шарнирных стержней верхнего яруса пространственной системы заменены на эквивалентные по деформативности затяжку и распорку.
Рис. 1. Несущий каркас комбинированной конструкции: а) общий вид; б) плоская модель; 1 – балка верхнего пояса (изгибно-жесткий элемент); 2 – диагональный несущий трос (гибкая нить); 3 – стойка нижнего яруса (шарнирный стержень);
8 – соединительный элемент верхнего яруса (шарнирный стержень); 9 – коньковый шарнир;
10, 11 – шарнирно неподвижная и подвижная опоры, соответственно
Исследуемая конструкция является статически неопределимой системой. Для раскрытия статической неопределимости применен метод сил. За лишние неизвестные X1…X3 принято усилие в затяжке 4, N4, а также, усилия в оттяжках верхнего яруса 5, и
:
,
и
, (1)
где индексы и
относятся к левому и правому ребру, соответственно.
Элементы конструкции, а также, ребра в локальных системах координат, и
, показаны на рис. 1,б. Введем дополнительные параметры X4 и Y. Параметр Y определяет тип внешней нагрузки:
, при расчете на внешнюю (полезную) нагрузку и
при расчете на единичную нагрузку (для определения прогиба). Параметр X4 принимается равным единице,
, при учете внешней нагрузки, и нулю,
, при отсутствии внешней нагрузки (для расчета на предварительное напряжение).
Лишние неизвестные и параметр X4 объединим в расширенный вектор:
. (2)
Схема действия нагрузок приведена на рис. 1,б. С учетом радиального расположения ребер, нагрузки имеют треугольное распределение. Учитываются только вертикальные нагрузки. Полезные нагрузки, и
, приведены в локальных системах координат ребер.
Предполагается, что полезная нагрузка на правое ребро не превышает нагрузку на левое: , таким образом, максимальный прогиб купола реализуется на левом ребре. Единичная нагрузка для определения прогиба привязана в глобальной системе координат, связанной с левой опорой:
. Направление единичной нагрузки совпадает с глобальной осью Z.
Учитывая требования второй группы предельных состояний, а также применимость метода сил только для линейных систем, запишем ограничение на величину перемещений:
, (3)
где – относительный предельный прогиб, принятый по требованиям нормальной эксплуатации конструкции;
– вертикальное перемещение, вызванное предварительным напряжением, относительно исходного (ненапряженного) состояния конструкции;
– вертикальное перемещение, вызванное внешней нагрузкой, относительно преднапряженного состояния.
Вертикальные перемещения узлов верхнего пояса определяются методом Мора. Единичная вертикальная сила прикладывается в точке, где производится определение перемещения, с последующим численным интегрированием произведения эпюр от данной силы на эпюры от внешней нагрузки. Термин «эпюра» в настоящей работе означает функциональную зависимость внутреннего силового фактора (продольная сила и изгибающий момент) от координаты расчетного сечения. Численное интегрирование осуществляется методом трапеций при помощи программного комплекса MathCad.
Верификация предложенной расчетной методики выполнена путем сравнения с результатами расчета в специализированном программном комплексе MAV.Structure [30]. Данный программный комплекс позволяет выполнить статический расчет ните-стержневых систем с учетом геометрической нелинейности. Имеющиеся типы конечных элементов позволяют моделировать работу односторонних связей (гибких нитей), способных воспринимать только растягивающие воздействия.
Основная часть. Из предположения о вертикальном действии внешних нагрузок следует равенство нулю горизонтальной реакции опоры: . Запишем выражения для вертикальных опорных реакций
:
, (4,а)
. (4,б)
Запишем выражения для продольных сил в вантовых элементах и распорках:
- усилия в элементах нижнего яруса (маркировка элементов конструкции и обозначение углов a приведены на рис. 1):
, (5)
, (6)
где индекс означает, что усилие действует в элементе, принадлежащему левому
, либо правому
ребру конструкции;
- усилие в распорке верхнего яруса, моделирующей кольцо из шарнирных стержней:
, (7,а)
где
; (7,б)
- усилия в стержневых элементах верхнего яруса:
, (8)
. (9)
Ребро верхнего пояса представим в виде ряда прямолинейных балочных элементов, жестко соединенных между собой. Выразим усилия и изгибающий момент в сечении с абсциссой x, при , где
и
- абсциссы начального и конечного сечений балочного элемента i в локальной системе координат ребра (индексы
и
условно не показаны):
, (10,а)
, (10,б)
, (10,в)
где
, (11,а)
, (11,б)
где ,
,
- усилия и изгибающие моменты в начальном сечении рассматриваемого элемента; h - коэффициент:
при
для левого ребра (с индексом
),
при
для левого ребра и независимо от
для правого ребра (с индексом
).
Абсциссы начального и конечного сечений для участков АВ, ВС и СD верхнего пояса составляют: ,
,
и
. Усилия в начальных сечениях элементов верхнего пояса:
, (12)
, (13)
, (14)
, (15)
, (16)
. (17)
где индекс означает усилие в конечном сечении, найденное по (10) при
.
Учитывая, что на конструкцию не действуют внешние сосредоточенные моменты, запишем соотношения для изгибающих моментов в начальных и конечных сечениях верхнего пояса: ,
и
. Приведенные выражения позволяют определить усилия и изгибающие моменты в элементах конструкции при заданном векторе W (2) и параметре Y.
Неизвестные усилия ,
и
определяются из решения системы канонических уравнений метода сил:
, (18)
где - вектор искомых усилий в лишних связях;
- квадратная матрица коэффициентов
,
,
;
- число лишних неизвестных;
- вектор свободных членов:
, (19)
где и
- вектор перемещений в основной системе от заданной нагрузки и вектор заданных натяжений элементов для обеспечения преднапряжения конструкции.
Заданное натяжение элемента, (при растяжении
,
), равно разности начальной длины элемента (т.н. длина заготовки),
, и геометрической длины элемента (расстояние между начальным и конечным сечениями),
:
. (20)
Объединим матрицу и вектор
в расширенную матрицу
:
. (21)
Элемент матрицы
(при
,
) определяется интегрированием произведения эпюр внутренних силовых факторов в элементах конструкции:
, (22)
где и
– коэффициенты для элементов, объединяющих ребра конструкции; jl и jr - коэффициенты для левого и правого ребра:
, (23)
где (индексы и
условно не показаны):
, (24)
, (25)
где – коэффициент для стержневого элемента q:
, (26)
где ,
- длина и продольная жесткость элемента.
Коэффициенты для изгибно-жесткого верхнего пояса, состоящего из ряда участков i, , определяются численным интегрированием при помощи метода трапеций:
, (27)
, (28)
где и
– продольная жесткость и жесткость на изгиб элемента верхнего пояса.
Продольные усилия и изгибающие моменты, используемые для расчета коэффициентов j по (26-28), находятся из выражений (1), (5–10). При этом, нижний индекс в квадратных скобках, например [k], означает, что для вычисления данного силового фактора применяется расширенный вектор W (2), равный столбцу k единичной матрицы размером . Таким образом, при
, продольные силы и изгибающие моменты в элементах конструкции определяются от действия единичных усилий в лишних связях
, а при
– от действия внешней нагрузки на основную систему метода сил.
Решение (18) содержит усилия в вантовом элементе нижнего яруса 4 и оттяжках верхнего яруса 5. Данные элементы способны работать только на растяжение, таким образом, все компоненты вектора Х должны быть неотрицательны:
, (29)
где – индекс,
.
Предлагается итерационная методика поиска допустимого решения (рис. 2). Методика заключается в последовательном выключении из расчетной схемы элементов, нарушающих условие (29): . На каждой итерации производится выключение т.н. «наиболее сжатого» элемента j, имеющего
. При этом, элементы, выключенные на предыдущих итерациях, имеющие
, выключаются автоматически. Методика применяется только при расчете на внешнюю нагрузку, при
. При расчете на единичную нагрузку (
, для определения деформаций) все элементы конструкции условно считаются способными воспринимать усилия обоих знаков.
Рис. 2. Алгоритм поиска допустимого решения системы канонических уравнений (18)
Перемещение, вызванное внешней нагрузкой, относительно преднапряженного состояния:
, (30)
где - результат интегрирования произведения эпюр (22), где индекс
соответствует единичной нагрузке, а индекс
соответствует заданной нагрузке на конструкцию.
Изгибающие моменты и усилия в элементах, необходимые для вычисления , определяются по (1), (5-10) при
и найденных усилиях
и
, где
- номер лишней связи метода сил. В расчете на единичную нагрузку (индекс
в квадратных скобках) применяется параметр
, а усилия
определяются решением системы линейных уравнений (18) за один шаг. При расчете на внешнюю нагрузку (индекс
в квадратных скобках), применяется параметр
, а для определения усилий
применяется итерационная методика (рис. 2).
Вертикальное перемещение от предварительного напряжения конструкции найдем по [31]:
, (31)
где – натяжение вантового элемента нижнего яруса 4;
и
– натяжения оттяжек верхнего яруса 5, расположенных на левом и правом ребре, соответственно.
В качестве примера рассмотрена плоская модель комбинированной конструкции, имеющая пролет м, высоту в коньке
м, высоту нижнего яруса
м, горизонтальные размеры
м,
м,
м, и
м. Углы наклона элементов к горизонту составляют:
,
,
,
,
и
.
Вантовые элементы исследуемой конструкции приняты из высокопрочных стальных тросов с расчетным сопротивлением при растяжении кН/см2 и модулем деформации
кН/см2. Диагональный несущий трос и затяжка плоской модели (элементы 2 и 4, обозначенные на рис. 1) приняты диаметром
см2. Оттяжки верхнего яруса (элементы 5) приняты диаметром
см2.
Стойки, а также, шарнирные стержни верхнего яруса (элементы 3, 6 и 7) приняты из стальной трубы 102×4. Соединительный элемент верхнего яруса (элемент 8) принят из стальной трубы 70×4. Верхний пояс принят из прокатного двутавра I40. Материал верхнего пояса, а также, стоек, шарнирных стержней и соединительных элементов – сталь класса С245 с расчетным сопротивлением кН/см2 и модулем упругости
кН/см2.
Предварительное напряжение конструкции создается за счет натяжения затяжки 4, моделирующей кольцевой вантовый элемент. Предполагается, что оттяжки 5 изначально не напряжены. Величины заданных натяжений элементов содержатся в векторе м, в котором первый элемент соответствует затяжке 4, а оставшиеся элементы – оттяжкам 5, расположенным на левом и правом ребре конструкции, соответственно. Максимальное значение внешней нагрузки на опоре принято
кН/м. Предполагается, что данная нагрузка включает снеговое воздействие и собственный вес элементов покрытия. Из условия нормальной эксплуатации конструкции, принят относительный предельный прогиб:
(3).
Сравнение усилий и изгибающих моментов, полученных по предложенной расчетной методике, с результатами расчета в специализированном программном комплексе MAV.Structure, приведено в таблице 1.
Таблица 1
Сравнение усилий и изгибающих моментов
|
№ п.п. |
Силовой фактор |
Ед. изм. |
Предложенная методика |
Результаты MAV.Structure |
Расхождение, % |
№ п.п. |
Силовой фактор |
Ед. изм. |
Предложенная методика |
Результаты MAV.Structure |
Расхождение, % |
|
Верхний пояс |
Верхний пояс |
||||||||||
|
1. |
NAA’,A |
кН |
-105,45 |
-106,41 |
0,9 |
17. |
MС |
кН´м |
-37,32 |
-37,18 |
0,4 |
|
2. |
QAA’,A |
кН |
19,65 |
19,34 |
1,6 |
18. |
NCC’,C |
кН |
-93,59 |
-93,97 |
0,4 |
|
3. |
MA |
кН´м |
0,00 |
0,00 |
0,0 |
19. |
QCC’,C |
кН |
15,68 |
15,40 |
1,8 |
|
4. |
NAA’,A’ |
кН |
-95,91 |
-96,81 |
0,9 |
20. |
NCC’,C’ |
кН |
-91,42 |
-92,02 |
0,7 |
|
5. |
QAA’,A’ |
кН |
-5,91 |
-6,01 |
1,7 |
21. |
QCC’,C’ |
кН |
-9,35 |
-9,84 |
5,1 |
|
6. |
MA’ |
кН´м |
11,51 |
11,49 |
0,2 |
22. |
MС’ |
кН´м |
-15,27 |
-15,63 |
2,3 |
|
7. |
NA’B,B |
кН |
-87,74 |
-88,58 |
1,0 |
23. |
NC’D,D |
кН |
-90,70 |
-91,05 |
0,4 |
|
8. |
QA’B,B |
кН |
-27,35 |
-27,66 |
1,1 |
24. |
QC’D,D |
кН |
8,01 |
7,87 |
1,8 |
|
9. |
MB |
кН´м |
-17,46 |
-17,52 |
0,4 |
Нижний пояс |
|||||
|
10. |
NBB’,B |
кН |
-102,01 |
-102,41 |
0,4 |
25. |
N2 |
кН |
105,67 |
106,32 |
0,6 |
|
11. |
QBB’,B |
кН |
23,30 |
22,91 |
1,7 |
26. |
N3 |
кН |
-52,62 |
-52,43 |
0,4 |
|
12. |
NBB’,B’ |
кН |
-91,29 |
-91,85 |
0,6 |
27. |
N4 |
кН |
87,24 |
87,61 |
0,4 |
|
13. |
QBB’,B’ |
кН |
-3,25 |
-3,40 |
4,5 |
28. |
N5 |
кН |
0,00 |
0,00 |
0,0 |
|
14. |
MB’ |
кН´м |
6,51 |
6,17 |
5,4 |
29. |
N6 |
кН |
-39,81 |
-39,83 |
0,1 |
|
15. |
NB’C,C |
кН |
-84,53 |
-84,83 |
0,4 |
30. |
N7 |
кН |
-38,33 |
-38,31 |
0,1 |
|
16. |
QB’C,C |
кН |
-23,09 |
-23,37 |
1,2 |
31. |
N8 |
кН |
51,54 |
51,55 |
0,1 |
|
Примечания: 1. Для нижнего пояса обозначение продольной силы N включает номер элемента по рис. 1,б. 2. Для изгибающих моментов M в верхнем поясе указаны узлы по рис. 1,б. 3. Для продольных N и поперечных сил Q в верхнем поясе указаны узлы, а также, участки верхнего пояса, которым принадлежит элемент (рис. 1,б), например: NAA’,A’ – усилие на участке АA’ в узле А’ |
|||||||||||
Вертикальные перемещения конькового узла D от предварительного напряжения конструкции, DZpr, найденные по (31) и при помощи программного комплекса MAV.Structure, составляющие
Из приведенного сравнения видно хорошее соответствие результатов предложенной методики статического анализа исследуемой конструкции и результатов, полученных при помощи специализированного программного комплекса MAV.Structure. Основная часть расхождений усилий и изгибающих моментов находится в диапазоне от 1 до 2 % (таблица 1). Наибольшее расхождение, составляющее 5,4 %, объясняется малыми абсолютными значениями сравниваемых величин (6.51 и 6.17 кН´м). Расхождения вертикальных перемещений конькового узла от предварительного напряжения и внешней нагрузки находятся в пределах 7 %.
Выводы
- Разработана усовершенствованная методика статического расчета комбинированной конструкции шпренгельного типа, включающая аналитические выражения для определения усилий и изгибающих моментов в основных элементах. Предложенные выражения унифицированы для выполнения статического расчета на предварительное напряжение, а также, на действие внешней полезной и единичной нагрузки.
- Предложена усовершенствованная методика определения матрицы коэффициентов и вектора свободных членов канонической системы метода сил, позволяющая автоматизировать расчет.
- Разработана методика учета гибких элементов конструкции, способных воспринимать только растягивающие усилия. Методика заключается в последовательном выключении сжатых гибких элементов из расчетной схемы, что позволило применить метод сил для расчета исследуемой конструкции.
- Результаты работы вносят вклад в развитие комбинированных конструкций шпренгельного типа. Предложенная методика расчета предназначена для реализации в математических программных комплексах общего назначения, позволяющих выполнять поиск оптимальных проектных решений, а также, выявлять закономерности напряженно-деформированного состояния комбинированных конструкций посредством численного моделирования.
1. Еремеев П.Г. Металлические комбинированные конструкции покрытий // Вестник НИЦ Строительство. 2019. № 2 (21). С. 30–40.
2. Al-Rousan R. The impact of cable spacing on the behavior of cable-stayed bridges // Magazine of Civil Engineering. 2019. № 91(7). Pp. 49–59. DOI:https://doi.org/10.18720/MCE.91.5
3. Mushchanov V., Protopopov I., Korsun O., Garifullin M. Definition of the rational geometry of the cable-beam cover over stadium tribunes // Procedia Engineering. 2015. № 117. Pp. 1001–1012. DOI:https://doi.org/10.1016/j.proeng.2015.08.209
4. Егоров В.В. Комбинированные системы шпренгельного типа // VII международная научно-практическая интернет-конференция. Инновационные технологии в строительстве и геоэкологии. Сборник научных трудов. 2020. С. 13-16.
5. Башаров Ф.Ф., Низамеев В.Г. Методика оптимизации конструктивных параметров плит покрытия из профнастила, подкрепленного шпренгельной системой // Перспективы науки. 2018. № 7 (106). С. 81–87.
6. Ding M., Shen Y., Wei Y., Luo B., Wang L., Zhang N. Preliminary design and experimental study of a steel-batten ribbed cable dome // Symmetry. 2021. Vol. 13, Iss. 11. Article 2136. DOI:https://doi.org/10.3390/sym13112136
7. Xue S., Wang Z., Li X., Liu R., Lu Z., Jing H., Fan Q., Liu T., Dezhkam M. Model test study on static performance of rib-patterned small rise-span ratio suspend-dome structure // Structures. 2022. Vol. 43. Pp. 1615–1628. DOI:https://doi.org/10.1016/j.istruc.2022.07.070
8. Zhang A., Shangguan G., Zhang Y., Zou M., Wang J. Experimental study on static performance of fully assembled ridge-tube threading cable with annular-struts cable dome // Engineering Structures. 2023. Vol. 288. Article 116194. DOI:https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2023.116194
9. Ибрагимов А.М., Гнедина Л.Ю., Долгушева В.В. Проблемы применения и проектирования арочных комбинированных систем // Вестник Поволжского государственного технологического университета. Серия: Материалы. Конструкции. Технологии. 2021. № 2. С. 25–-35.
10. Xia Z., Jiang T., Yu T. Innovating arch structures with fiber-reinforced polymer composites: a review // Advances in Structural Engineering. 2023. Vol. 26, issue 13. Pp. 2341–2358. DOI:https://doi.org/10.1177/13694332231180373
11. Ундалов А.М., Клюев С.В., Сабитов Л.С., Клюев А.В. Экспериментальное исследование напряженно-деформированного состояния радиально-балочных куполов // Инженерный вестник Дона. 2022. № 12 (96). С. 521–530.
12. Sabitov L., Klyuev S., Undalov A., Mailyan L., Klyuev A., Fediuk R., Kashapov N., Akhtyamova L., Khezhev T., Zagidullin R. Comparison of the results of numerical and experimental studies of the design of a radial-beam dome with triangular membrane core-shells // Structures. 2023. Vol. 48. Pp. 1118–1127. DOI:https://doi.org/10.1016/j.istruc.2023.01.037
13. Ундалов А.М. Исследование напряженно-деформированного состояния радиально-балочного купола с мембранной кровлей // Известия Казанского государственного архитектурно-строительного университета. 2015. № 3 (33). С. 70–77.
14. Зиганшин А.Д., Ахтямова Л.Ш., Сабитов Л.С., Радайкин О.В., Киямов И.К. Численное моделирование конструкций сооружений башенного типа в программных комплексах ANSYS и Лира-Сапр // Научно-технический вестник Поволжья. 2021. № 2. С. 65–67.
15. Arellano H., Gomez R., Tolentino D. Parametric analysis of multi-span cable-stayed bridges under alternate loads // The Baltic Journal of Road and Bridge Engineering. 2019. № 14(4). Pp. 543–567. DOI:https://doi.org/10.7250/bjrbe.2019-14.457
16. Coarita E., Flores L. Nonlinear analysis of structures cable – truss // International Journal of Engineering and Technology. 2015. № 7(3). Pp. 160–169. DOI:https://doi.org/10.7763/IJET.2015.V7.786
17. Xue Y., Luo Y, Wang Y., Xu X., Wan H.P., Shen Y., Fu W. A new configuration of Geiger-type cable domes with sliding ridge cables: Computational framework and structural feasibility investigation // Engineering Structures. 2023. Vol. 286. Article 116028. DOI:https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2023.116028
18. Wagner R. Bauen mit seilen und membranen. Berlin: Beuth Verlag GmbH, 2016. 517 p.
19. Лапшин А.А., Ундалов А.М. Инженерная методика расчета конического радиально-балочного купола с мембранной кровлей // Приволжский научный журнал. 2016. № 3 (39). С. 9–16.
20. Клюев С.В., Ундалов А.М., Сабитов Л.С., Клюев А.В. Исследование напряженно-деформированного состояния элементов купола с мембранной кровлей // Научные труды КубГТУ. 2022. № 6. С. 1–8.
21. Guo J., Zhao Y., Mangalathu S., Liu G., Zhou G., Chen W. Control equation of feasible pre-stresses and feasibility of new types of rotating surface cable domes // Engineering Structures. 2021. Vol. 246. Article 113000. DOI:https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2021.113000
22. Городецкий А.С., Городецкий А.В., Пикуль А.В. Конструктивная нелинейность. Односторонние связи. Проблемы реализации // International journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2016. Т. 12, вып. 3. С. 35–39. DOI:https://doi.org/10.22337/1524-5845-2016-12-3-35-39
23. Аверин А.Н., Пузаков А.Ю. Расчет систем с односторонними связями // Строительная механика и конструкции. 2015. №10. С. 15–32.
24. Игнатьев А.В., Бочков М.И. Алгоритм расчета систем с односторонними связями с заменой реакций опор на силовые неизвестные // Инженерный вестник Дона. 2019. № 5 (56). 7 с.
25. Игнатьев А.В., Игнатьев В.А., Бочков М.И. Применение метода конечных элементов в форме классического смешанного метода к расчету систем с односторонними связями // Строительная механика и расчет сооружений. 2017. №2 (271). С. 52–61.
26. Игнатьев А.В., Бочков М.И., Курочкина И.В. Сравнительный анализ эффективности некоторых алгоритмов расчета систем с односторонними связями // Известия высших учебных заведений. Строительство. 2019. № 11 (731). С. 87–98.
27. Кичеев В.Е. Рациональный способ решения канонических уравнений метода сил // Качество и жизнь. 2019. № 2 (22). С. 113–117.
28. Кичеев В.Е. Малозатратный способ решения канонических уравнений методом сил большой размерности // Качество и жизнь. 2020. № 3 (27). С. 33–38.
29. Krishnan S. Structural design and behavior of prestressed cable domes // Engineering Structures. 2020. Vol. 209. Article 110294. DOI:https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2020.110294
30. MAV.Structure. Расчет конструкций методом конечных элементов. [Электронный ресурс]. URL: http://www.bridgeart.ru/cad/59-cad/519-mavstructure.html (дата обращения: 06.05.2024)
31. Дарков А.В., Шапошников Н.Н. Строительная механика. М.: Высшая школа. 1986. 608 с.
