УДК 517.968 Интегральные уравнения
Несмотря на существенные достигнутые результаты при изучении операторных уравнений (включая уравнения Вольтерра) в нормированных банаховых пространствах, фундаментальные исследования в этой области математики привлекают внимание огромного количества математиков во всем мире. Решения уравнения Вольтерра описывают многие важные процессы в различных областях науки и техники. Исследования различных обратных задач, задачи обработки данных эксперимента или опыта, связанных с изучением сферических или осесимметричных плазменных образований, многочисленные математические модели сосуществования различных биологических систем приводят к рассмотрению и решению такого типа интегральных уравнений. Большой вклад в развитие этой теории внесли Н.А. Магницкий, Л.И. Панов, А.Н. Тихонов, М.М. Лаврентьев и другие. Были получены фундаментальные результаты при исследовании многочисленных операторных уравнений с особенностями в различных функциональных пространствах. Для вышеуказанных уравнений строились решения, зависящие от многих параметров. В настоящее время рассматриваются такие задачи в пространствах произвольной размерности и с коэффициентами, имеющими производную конечного порядка. В настоящей статье для интегрального уравнения первого рода строится конечное множество решений в некотором функциональном пространстве. Ядро интегрального оператора имеет конечный порядок и достаточно дифференцируемо вблизи нуля. Рассматриваемое интегральное уравнение сводится к интегро-дифференциальному уравнению, представляющему собой два слагаемых. Для первого слагаемого удается решить соответствующее неоднородное уравнение и получить множество решений в некотором функциональном нормированном пространстве. Для второго слагаемого получаем уравнение с оператором, норма которого в некотором пространстве операторов сколь угодно мала вблизи нуля. Такое расщепление интегрального оператора позволяет в виде сходящихся рядов строить частное и общее решение соответствующего интегро-дифференциального уравнения. Применяя современные методы функционального анализа, удается, изучая два отдельных уравнения, построить многопараметрическое семейство решений со значениями в некотором банахавом пространстве с весом для исходного рассматриваемого уравнения.
Разрешающий оператор, спектр оператора, норма, ядро, банахово пространство
1. Магницкий, Н.А. О существовании многопараметрических семейств решений интегрального уравнения Вольтерра I-го рода / Н.А. Магницкий // ДАН СССР. - 1977. - T. 235, № 4. - C. 772-774.
2. Магницкий, Н.А. Многопараметрические семейства решений интегральных уравнений Вольтерра / Н.А. Магницкий // ДАН СССР. - 1978. - T. 240, № 2. - C. 268-271.
3. Магницкий, Н.А. Линейные интегральные уравнения Вольтерра I и III рода / Н.А. Магницкий // Журнал выч. мат. и мат. физ. - 1979. - T. 19, № 4. - C. 970-988.
4. Крейн, С.Г. О полноте системы решений интегрального уравнения Вольтерра с особенностью / С.Г. Крейн, И.В. Сапронов //Докл. РАН. - 1997. - T. 355, № 4. - C. 450-452.
5. Крейн, С.Г. Об интегральных уравнениях Вольтерра с особенностями / С.Г. Крейн, И.В. Сапронов // УМН. - 1995. - T. 50, № 4. - C. 140.
6. Krein, S.G. Singular integral Volterra equations / S.G. Krein // Abstracts. International Congress of Mathematics. - 1994. - № 3-11. - P. 125.
7. Krein, S.G. One class of solutions of Volterra equation with regular singularity / S.G. Krein, I.V. Sapronov // Укр. мат. ж. - 1997. - T. 49, № 3. - С. 424-432.
8. Сапронов, И.В. Об одном классе решений уравнения Вольтерра II рода с регулярной особенностью в банаховом пространстве / И.В. Сапронов // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2004. - № 6. - С. 48-58.
9. Сапронов, И.В. Многопараметрическое семейство решений интегрального уравнения Вольтерра с особенностью в банаховом пространстве / И.В. Сапронов // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2005. - № 2. - С. 81-83.
10. Сапронов, И.В. Уравнение Вольтерра с особенностью в банаховом пространстве / И.В. Сапронов // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2007. - № 11. - С. 45-55.
11. Сапронов, И.В. Многопараметрическое семейство решений интегрального уравнения Вольтерра с особенностью в банаховом пространстве / И.В. Сапронов // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2011. - № 1. - С. 59-71.
12. Глушко, В.П. Линейные вырождающиеся дифференциальные уравнения / В.П. Глушко. - Воронеж, ВГУ. - 1972.
13. Сапронов, И.В. Линейное интегральное уравнение Вольтерра I рода / И.В. Сапронов // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. - 2022. - № 1. - С. 87-96.
14. Панов, Л.И. Об интегральных уравнениях с ядрами, имеющими неинтегрируемую особенность произвольного порядка / Л.И. Панов // ДАН Таджикской ССР. - 1967. - Т. 10, № 6. - С. 3-7.
15. Тихонов, А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации / А.Н. Тихонов // ДАН СССР. - 1963. - Т. 151, № 3. - С. 501-504.
16. Тихонов, А.Н. О регуляризации некорректно поставленных / А.Н. Тихонов // ДАН СССР. - 1963. -Т. 153, № 1. - С. 49-52.
17. Лаврентьев, М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики / М.М. Лаврентьев. - Новосибирск, СО АН СССР, 1962.
18. Лаврентьев, М.М. Обратные задачи. В трудах всесоюзной школы молодых ученых по некорректным задачам / М.М. Лаврентьев. - М. % Из-во МГУ, 1974.
19. Иванов, В.К. Об интегральных уравнениях Фредгольма первого рода / В.К. Иванов // Дифференц. Уравнения. - 1967. - Т. 3, № 3. - С. 410-421.
20. Арсенин, В.Я. О решении некоторых интегральных уравнений I-го рода типа свертки методом регуляризации / В.Я. Арсенин, В.В. Иванов // ЖВМ и МФ. - 1968. - Т. 8, № 2. - С. 310-321.
21. Коркина, Л.Ф. О регуляризации интегральных уравнений первого рода с ядром Грина / Л.Ф. Коркина // Изв. высш. учебных заведений. Математика. - 1968. - № 5. - С. 44-49.
22. Вольтерра, В. Математическая теория борьбы за существование / В. Вольтерра. - М.: «Наука», 1976.
23. Денисов, А.М. Об аппроксимации квазирешений интегрального уравнения Фредгольма I рода специального вида / А.М. Денисов // ЖВМ и МФ. - 1972. - Т. 12, № 8. - С. 1565-1568.
24. Денисов, А.М. О приближенном решении уравнения Вольтерра I рода / А.М. Денисов // ЖВМ и МФ. - 1975. - Т. 15, № 4. - С. 1053-1056.
25. Сергеев, В.О. Регуляризация уравнения Вольтерра I-го рода / В.О. Сергеев // ДАН СССР. - 1971. - Т. 197, № 3. - С. 531-534.
26. Апарцин, А.С. Приближенное решение интегральных уравнений Вольтерра I рода методом квадратных сумм / А.С. Апарцин, А.Б. Бакушинский // Дифференциальные и интегральные уравнения : сборник научных трудов. - Иркутск, 1972.
27. Калитвин, А.С. Приложения линейных уравнений Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами / А.С. Калитвин // Cовременные методы теории краевых задач : сборник материалов Международной конференции Воронежская весенняя математическая школа Понтрягинские чтения - XXX. - Воронеж, 2019. - С. 150-153.
28. Асхабов, С.Н. Интегральное уравнение Вольтерра со степенной нелинейностью / С.Н. Асхабов // Чебышевский сборник. - 2022. - Т. 23, № 5 (86). - С. 6-19.
29. Андреев, А.С. Метод функционалов Ляпунова в задаче об устойчивости интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра с бесконечным запаздыванием / А.С. Андреев, О.А. Перегудова // Прикладная математика и механика. - 2021. - Т. 85, № 4. - С. 469-493.
30. Коваленко, В.О. Операторы Вольтерра и Гельфонда-Леонтьева на весовых банаховых пространствах / В.О. Коваленко // Математический форум (Итоги науки. Юг России). - 2020. - Т. 13. - С. 286-287.
31. Ботороева, М.Н. Исследование устойчивости неклассических разностных схем для нелинейных интегральных уравнений Вольтерра II рода / М.Н. Ботороева, М.В. Булатов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2023. - Т. 63, № 6. - С. 881-890.
32. Илолов, М.И. Дробные линейные интегро-дифференциальные уравнения Вольтерра в банаховых пространствах. Итоги науки и техники / М.И. Илолов // Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. - 2019. - Т. 173. - С. 58-64.
33. lomovoy, V.I. Identification nonlinear dynamic systems based on Volterra polynomials with using polyharmonic test signals / V.I. lomovoy, V.D. Pavlenko // Вестник Национального технического университета Харьковский политехнический институт. Серия: Информатика и моделирование. - 2019. - № 13 (1338). - С. 74-84.
34. Unhaley, S. On existence and uniqueness results for iterative fractional integrodifferential equation with deviating arguments / S. Unhaley, S. Kendre // Applied Mathematics E-Notes. - 2019. - Т. 19. - С. 116-127.
35. Hamoud, A. Existence and uniqueness of solutions for fractional neutral Volterra-Fredholm integro-differential equations / A. Hamoud // Advances in the Theory of Nonlinear Analysis and its Application. - 2020. - Т. 4, no.4. - С. 321-331.
36. Hamoud, A. Some new existence, uniqueness and convergence results for fractional Volterra-Fredholm integro-differential equations / A. Hamoud, K. Ghadle // J. Appl. Comput. Mech. - 2019. - Т. 5, no. 1. - С. 58-69.
