Москва, г. Москва и Московская область, Россия
Фракталы образуются итеративным повторением алгоритма построения на разных уровнях масштаба. Использование такого алгоритма, повышающего прочностные свойства при создании конструкции, будет усиливать эти свойства с каждой итерацией. В статье применён принцип кривой Коха. Замена сжимаемой пластины четырьмя новыми, соединёнными под углами, повышает устойчивость конструкции. В данной статье теоретически подтверждается повышение устойчивости пластины Коха как на уровне отдельных пластин, так и на уровне сегментов фрактала и конструкции в целом (общая устойчивость). Установлены закономерности изменения устойчивости на разных уровнях масштаба с ростом числа итераций. Также проведено сравнение вариантов пластин Коха с разными коэффициентами подобия. Теоретические результаты подтверждены при помощи симуляций в CAE-системе SolidWorks – проведён конечно-элементный анализ устойчивости компьютерных моделей пластин Коха. Построенные по полученным данным графики соответствуют теоретическим прогнозам зависимости устойчивости от геометрических параметров пластины Коха. В качестве иллюстрации применимости такого рода фрактальных структур в конструировании деталей самолётов разработана фрактальная модификация типовой детали – рельса предкрылка. Предложенная модификация рельса также была исследована при помощи компьютерных симуляций. Сравнение прочностных свойств детали стандартной формы и её аналога с включённой фрактальной структурой показало преимущество последней: при определённых значениях массы и схеме нагружения фрактальная модификация показала в два раза большую устойчивость. Это позволяет снизить массу стандартного рельса предкрылка на 5% без потери прочностных свойств. Проведённое в статье исследование и полученные результаты иллюстрируют практическую значимость дальнейших исследований пространственных геометрических фракталов и их применение в модификации геометрии деталей и конструкций.
фракталы, кривая Коха, сжимающая нагрузка, потеря устойчивости
1. Алямовский А.А. Инженерный анализ методом конечных элементов [Текст] / А.А. Алямовский // SolidWorks/COSMOSWorks. Litres. - 2022. - 216 с.
2. Астахов М.Ф. Справочная книга по расчету самолета на прочность [Текст] / М.Ф. Астахов, А.В. Караваев, С.Я. Макаров, Я.Я. Суздальцев // М.: Оборонгиз. - 1954. - С. 411-412.
3. Варданян Г.С. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности [Текст] / Г.С. Варданян // М.: Издательство АСВ. - 2011. - 566 с.
4. Вышнепольский В.И. Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. Часть 5: геометрические места точек, равноудаленных от сферы и плоскости [Текст] / В.И. Вышнепольский, Е.В. Заварихина, К.Т. Егиазарян // Геометрия и графика. - 2022. - № 4. - С. 22-34. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2022-9-4-22-34.
5. Ендогур А.И. Сотовые конструкции: Выбор параметров и проектирование [Текст] / А.И. Ендогур, М.В. Вайнберг, К.М. Иерусалимский. // М.: Машиностроение. - 1986. - 198 с.
6. Ефремов А.В. Пространственные геометрические ячейки - квазимногогранники [Текст] / А.В. Ефремов, Т.А. Верещагина, Н.С. Кадыкова, В.В. Рустамян // Геометрия и графика. - 2021. - № 3. - С. 30-38. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-9-3-30-38.
7. Жихарев Л.А. Обзор геометрических способов повышения удельной прочности конструкций: топологическая оптимизация и фрактальные структуры [Текст] / Л.А. Жихарев // Геометрия и графика. - 2021. - Т. 9. - № 4. - С. 46-62. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2022-9-4-46-62.
8. Жихарев Л.А. Фрактальные графики эффективности оптимизации топологии в решении проблемы зависимости прочности от сетки [Текст] / Л.А. Жихарев // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8. - № 3. - С. 25-35. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-25-35.
9. Жихарев Л.А. Фрактальные размерности [Текст] / Л.А. Жихарев // Геометрия и графика. - 2018. - Т. 6. - № 3. - С. 33-48. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5bc45918192362.77856682.
10. Завьялова О.Б. Оценка влияния плотности сетки конечных элементов на точность расчета конструкций здания в программном комплексе «Мономах-САПР» [Текст] / О.Б. Завьялова, В.В. Куликов // Материалы VII Международного научного форума молодых ученых, инноваторов, студентов. Под общ. ред. Д. П. Ануфриева. - 2018. - С. 73-79.
11. Калинин А.В. Применение метода конечных элементов в современных системах автоматизированного проектирования [Текст] / А.В. Калинин, А.Л. Хвалин // Гетеромагнитная микроэлектроника. - 2019. - № 26. - С. 41-51.
12. Колпаков А.М. Исследование трехслойных несущих поверхностей авиационных конструкций с возможностью управления пограничным слоем [Текст]: дис. … канд. техн. наук: 05.07.02 / А.М. Колпаков. Москва. - 2020. - 166 с.
13. Лепаров М.Н. О геометрии, еще один раз [Текст] / М.Н. Лепаров // Геометрия и графика. - 2022. - Т. 10. - № 1. - С. 3-13. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2022-10-1-3-13.
14. Ляхов Л.Н. Вычисление фрактальной размерности типа кривая Коха [Текст] / Ляхов Л. Н. // «Современные проблемы математики и физики», материалы международной научной конференции. Стерлитамак. ББК 22.161. - 2021. - С. 193-196.
15. Орешко Е.И. Особенности расчетов устойчивости стержней и пластин [Текст] / Е.И. Орешко, В.С. Ерасов, А.Н. Луценко //Авиационные материалы и технологии. - 2016. - № 4. - С. 74-79. - DOI:https://doi.org/10.18577/2071-9140-2016-0-4-74-79
16. Орлов П. И. Основы конструирования: справ.-метод. пособие [Текст]. В 2 кн. / П.И. Орлов; /под ред. П.Н. Учаева. М.: Машиностроение. - 1988. - 623 с.
17. Сливинский В. И. Эффективность применения сотовых конструкций в летательных аппаратах [Текст] / В.И. Сливинский, Г.В. Ткаченко, М.В. Сливинский // Сибирский аэрокосмический журнал. - 2005. - № 3. - С. 169-173.
18. Сунцов О. С. Исследование отражения от криволинейных зеркал на плоскости в программе Wolfram Mathematica [Текст] / О.С. Сунцов, Л.А. Жихарев // Геометрия и графика. - 2021. - Т. 9. - № 2. - С. 29-45. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-9-2-29-45.
19. Чернышов Д. Н. Использование метода конечных элементов для физических расчетов в САПР [Текст] / Д.Н. Чернышов, О.С. Грищенко, А.В. Григорьев. // Современные информационные технологии в образовании и научных исследованиях (СИТОНИ-2019). - 2019. - С. 347-352.
20. Шаболин М. Л. Применение расчётов методом конечных элементов и топологической оптимизации при проектировании автомобиля класса «Формула студент» [Текст] / М.Л. Шаболин // Сборник трудов 4-го Всероссийского форума «Студенческие инженерные проекты». М.: МАДИ. - 2016. - С. 64-71.
21. Aage N., Erik A., Boyan S. L., Ole S. Giga-voxel computational morphogenesis for structural design // Nature. - 2017. - Vol. 550. - I. 7674. - pp. 84-86. DOIhttps://doi.org/10.1038/nature23911
22. Beglov I. A. Computer geometric modeling of quasi-rotation surfaces //Journal of Physics: Conference Series. - IOP Publishing. - 2021. - V. 1901. - I. 1. - pp. 12-57.
23. Beglov I. A. Nn-digit interrelations between the sets within the R 2 plane generated by quasi-rotation of R 3 space //Journal of Physics: Conference Series. - IOP Publishing, - 2020. - V. 1546. - I. 1. - pp. 12-33.
24. Branch B., Ionita A., Patterson B.M., Schmalzer A., Clements B., Mueller A., Dattelbaum D. M. A comparison of shockwave dynamics in stochastic and periodic porous polymer architectures // Polymer. - 2019. - V. 160. - pp. 325-337. - DOI:https://doi.org/10.1016/j.polmer.2018.10.074.
25. Dattelbaum D. M. et al. Shockwave dissipation by interface-dominated porous structures //AIP Advances. - 2020. - V. 10. - I. 7. - pp. 075016 1-6. - DOI:https://doi.org/10.1063/5.0015179.
26. Rayneau-Kirkhope D. et al. Hierarchical space frames for high mechanical efficiency: Fabrication and mechanical testing //Mechanics Research Communications. - 2012. - V. 46. - pp. 41-46. - DOI:https://doi.org/10.1016/j.mechrescom.2012.06.011.
27. Rayneau-Kirkhope D., Mao Y., Farr R. Ultralight fractal structures from hollow tubes //Physical review letters. - 2012. - V. 109. - I. 20. - pp. 204-301. - DOIhttps://doi.org/10.1103/PhysRevLett.109.204301.
28. Rian I. M. FracShell: From Fractal Surface to a Lattice Shell Structure //Digital Wood Design. - Springer, Cham. - 2019. - pp. 1459-1479. - DOIhttps://doi.org/10.1007/978-3-030-03676-8_59.
29. Sajadi S. M, Woellner C.F., Ramesh P., Eichmann S.L., Sun Q., Boul P.J., Thaemlitz C.J., Rahman M.M., Baughman R.H., Galvão D.S., Tiwary C.S., Ajayan P.M. 3D printed tubulanes as lightweight hypervelocity impact resistant structures //Small. - 2019. - V. 15. - I. 52. - pp. 19-47. - DOI:https://doi.org/10.1002/smll.201904747.
30. Viccica M., Galati M., Calignano F., Iuliano L. Design, additive manufacturing, and characterisation of a three-dimensional cross-based fractal structure for shock absorption // Thin-Walled Structures. - 2022. - V. 181. - pp. 106-110.
31. Wang J. et al. Crashworthiness behavior of Koch fractal structures //Materials & Design. - 2018. - V. 144. - pp. 229-244. - DOIhttps://doi.org/10.1016/j.matdes.2018.02.035.
32. Xia L., Xia Q., Huang X., Xie Y. Bi-directional evolutionary structural optimization on advanced structures and materials: a comprehensive review //Archives of Computational Methods in Engineering. - 2018. - V. 25. - I. 2. - pp. 437-478. - DOIhttps://doi.org/10.1007/s11831-016-9203-2.
33. Zhikharev L. A. A Sierpiński 3D-Fractals in Construction. An Alternative to Topological Optimization? //Proceedings of the 5th International Conference on Construction, Architecture and Technosphere Safety: ICCATS 2021. - Cham: Springer International Publishing, - 2022. - pp. 273-284.
34. Zhikharev L. A. A Sierpiński triangle geometric algorithm for generating stronger structures //Journal of Physics: Conference Series. - IOP Publishing. - 2021. - V. 1901. - I. 1. - pp. 1-10. - DOI:https://doi.org/10.1088/1742-6596/1901/1/012066
35. Zhikharev L. A. Grid Based on the Sierpinski fractal and an fssessment of the prospects for its application in aircraft parts // Proceedings of the 31st International Conference on Computer Graphics and Vision (GraphiCon 2021). - 2021. - pp. 745-753.
