г. Москва и Московская область, Россия
Рассматривается геометрическая интерпретация кватернионов, сложность визуализации которых обусловлена тем, что эти объекты имеют четыре независимых параметра. Анализ литературы показывает, что проблема геометрической интерпретации кватернионов до настоящего времени полностью не решена. В первом разделе приводятся общие положения о кватернионах и необходимые обозначения. Во втором разделе описывается классическая геометрическая интерпретация кватернионов дугами на сфере. В третьем разделе приводится описание новой геометрической интерпретации и ее приложение к задаче конечного поворота вектора. Представлена геометрическая интерпретация кватерниона как поверхности прямого кругового конуса позволяет наглядно продемонстрировать его как целостный объект в котором скалярная и векторная части взаимосвязаны с учетом их модулей и знаков. Для рассмотренных примеров нормированного кватерниона наглядным становится образ важной сущности - верзора кватерниона: в общем случае – это конус, который в предельном случае скаляр-кватерниона переходит в сферу, а в предельном случае вектора-кватерниона переходит в обычный вектор. Эта отличительная особенность предлагаемой геометрической интерпретации позволяет даже при проецировании на плоскость четко отличать образы кватернионов с ненулевой скалярной частью от векторов-кватернионов, что затруднительно сделать в случае дуговой интерпретации. Представление кватернионов конусами наглядно продемонстрировать необходимость двойного кватернионного произведения, при повороте вектора вокруг произвольной оси. Образы кватернионов как конусов, сфер и векторов могут быть полезными при изучении алгебры кватернионов, которая в настоящее время находит все большее применение в технике.
геометрия, кватернионы, геометрическая интерпретация, произведение кватернионов, обучение
1. Александрова Н.В. Из истории векторного исчисления [Текст] / Н.В. Александрова. - М.: URSS, 2022. - 272 с.
2. Арнольд В.И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов. Учебное пособие [Текст] / В.И. Арнольд. - М.: МЦНМО, 2013. - 40 с.
3. Безменов В.М. Применение кватернионов в фотограмметрии [Текст] / В.М. Безменов // Известия высших учебных заведений. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2014. - № 5. - С. 22-27.
4. Бойков А.А. О построении моделей объектов пространства четырех и более измерений в учебном процессе [Текст] / А.А. Бойков // Геометрия и графика. - 2018. - Т. 6. - № 4. - С. 54-71. DOI: 0.12737/article_5c21f96dce5de8.36096061.
5. Бранец В.Н. Записки инженера [Текст] / В.Н. Бранец. - М.: Издательство «РТСофт»-«Космоскоп», 2018. - 592 с.
6. Бранец В.Н. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела [Текст] / В.Н. Бранец, И.П. Шмыглевский. - M.: Наука, 1973. - 320 с.
7. Волошинов Д.В. Алгоритмический комплекс для решения задач с квадриками с применением мнимых геометрических образов [Текст] / Д.В. Волошинов // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8. - № 2. - С. 3-32. DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-3-32.
8. Голубев Ю.Ф. Алгебра кватернионов в кинематике твердого тела [Текст] / Ю.Ф. Голубев // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. - 2013. - № 39. - 23 с.
9. Гордеев В.Н. Кватернионы и бикватернионы с приложениями в геометрии и механике [Текст] / В.Н. Гордеев. - Киев: Сталь, 2016. - 316 с.
10. Диментберг Ф.М. Теория винтов и ее приложения [Текст] / Ф.М. Диментберг. - М.: Наука, 1978. - 328 с.
11. Игнатьев С.А. Повышение наглядности представления изучаемых в начертательной геометрии объектов [Текст] / С.А. Игнатьев, Э.Х. Муратбакеев, М.В. Воронина // Геометрия и графика. - 2022. - Т. 10. - № 1. - С. 44-53. DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2022-10-1-44-53.
12. Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа [Текст] / И.Л. Кантор, А.С. Солодовников. - М.: Наука, 1973. - 144 с.
13. Конвей Дж. Х. О кватернионах и октавах, об их геометрии, арифметике и симметриях [Текст] / Дж. Х. Конвей, Д. А. Смит. - М.: Изд-во МЦНМО, 2009. - 183 с.
14. Короткий В.А. Геометрическое моделирование поверхности посредством ее отображения на четырехмерное пространство [Текст] / В.А. Короткий // Омский научный вестник. - 2015. - № 137. - С. 8-12.
15. Левкин Ю.С. Шестимерная эпюрная номограмма в четырёхоктантовом измерении [Текст] / Ю.С. Левкин // Геометрия и графика. - 2018. - Т. 6. - № 1. - С. 39-47. DOI:https://doi.org/10.12737/article_5ad098b05f1559.36303938.
16. Ляшков А.А. Особенность отображения гиперповерхности четырехмерного пространства [Текст] / А.А. Ляшков, К.Л. Панчук, Л.Г. Варепо // Геометрия и графика. - 2017. - Т. 5. - № 3. - С. 3-10. DOI:https://doi.org/10.12737/article_59bfa3078af4c1.45321238.
17. Мисюра Н.Е. Кватернионные модели в кинематике и динамике твердого тела. Учебное пособие [Текст] / Н.Е. Мисюра, Е.А. Митюшов. - Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2020. - 120 с.
18. Назарова О.Н. Анализ некоторых задач курса теоретической механики, решаемых методами начертательной геометрии [Текст] / О.Н. Назарова // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - № 4. - С. 76-83. DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-76-83.
19. Полякова Н.С. Кватернионы и их применение: метод. указания [Текст] / Н.С. Полякова, Г.С. Дерябина. - М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2003. - 54 с.
20. Савельев Ю.А. Черкасова Вычислительная графика в решении нетрадиционных инженерных задач [Текст] / Ю.А. Савельев, Е.Ю. Черкасова // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8. - № 1. - С. 33-44. DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-33-44.
21. Садбери Э. Кватернионный анализ [Текст] / Э. Садбери // Гиперкомплексные числа в геометрии и физике. - 2004. - Т. 1. - № 2-2. - С. 130-157.
22. Серегин В.И. Междисциплинарные связи начертательной геометрии и смежных разделов высшей математики [Текст] / В.И. Серегин, Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева, К.А. Муравьев // Геометрия и графика. - 2013. - Т. 1. - № 3-4. - С. 8-12. DOI:https://doi.org/10.12737/2124.
23. Челноков Ю.Н. Кватернионные и бикватернионные модели и методы механики твердого тела и их приложения. Геометрия и кинематика движения [Текст] / Ю.Н. Челноков. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 512 с.
24. Baek J., Jean H., Kim G., Han S. Visualizing quaternion multiplication. IEEE Access, 2017. V. 5, pp. 8948-8955. DOI:https://doi.org/10.1109/ACCESS.2017.2705196
25. Bolker E.D. The Spinor Spanner. The American Mathematical Monthly. 1973, V. 80, I. 9, pp. 977-984. DOIhttps://doi.org/10.2307/2318771.
26. Boykov A.A. Development and application of the geometry constructions language to building computer geometric models // Journal of Physics: Conference Series. 2021, Volume 1901 (012058), pp. 1-8. DOI:https://doi.org/10.1088/1742-6596/1901/1/012058.
27. Demirci B.B., Aghayev N. On geometric applications of quaternions. Turkish Journal of Mathematics, 2020, V. 44. I. 4, Article 15, 16 p. DOIhttps://doi.org/10.3906/mat-1907-120.
28. Goldman R. An Integrated Introduction to Computer Graphics and Geometric Modeling. CRC Press, 2009, 574 p.
29. Goldman R. Understanding quaternions. Graph. Models, 2011, V. 73, I. 2, pp. 21-49. DOIhttps://doi.org/10.1016/j.gmod.2010.10.004.
30. Hamilton W.R. Elements of quaternions. London, Longmans Green, 1866, 762 p.
31. Hanson, A.J. Visualizing Quaternions. Elsevier: Morgan Kaufmann, 2006, 536 p.
32. Hart J.C., Francis G.K., Kauffman L.H. Visualizing quaternion rotation. ACM Trans. Graph., 1994, V. 13, I. 3, pp. 256-276. DOIhttps://doi.org/10.1145/195784.197480.
33. Hitzer E. The orthogonal planes split of quaternions and its relation to quaternion geometry of rotations. Journal of Physics: Conference Series, 2015, I. 597, PaperID 012042, 11 p. DOIhttps://doi.org/10.1088/1742-6596/597/1/012042.
34. Kuipers J.B. Quaternions and Rotation Sequences: A Primer with Applications to Orbits, Aerospace and Virtual Reality. Princeton University Press, 2002, 400 p.
35. Malonek H.R. Quaternions in Applied Sciences. Bauhaus-Universität Weimar. Internationales Kolloquium über Anwendungen der Informatik und Mathematik in Architektur und Bauwesen, IKM, Weimar, 16. 2003, 20 p. Available at: https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:gbv:wim2-20111215-136 (Accessed 04 August 2022).
36. Meister L., SchaebenH. A concise quaternion geometry of rotations. Math. Meth. Appl. Sci., 2005, V. 28, pp. 101-126. DOI:https://doi.org/10.1002/mma.560.
37. Minguzzi E. A geometrical introduction to screw theory. Eur. J. Phys., 2013, V. 34, pp. 613-632. DOIhttps://doi.org/10.1088/0143-0807/34/3/613.
38. Peng Du, Haibao Hu, Dong Ding, Zhuoyue Li Understanding quaternions. NOVA Publ. 2020, 197 p.
39. Staley M. Understanding quaternions and the Dirac belt trick. Eur. J. Phys. 2010, V. 31, pp. 467-478. DOIhttps://doi.org/10.1088/0143-0807/31/3/004.
40. Tait P.G. An Elementary Treatise on Quaternions. Clarendon Press, 1867, 320 p.
