Кассель, Германия
Евклидовы пространства различных размерностей не содержат мнимых образов и объектов по определению, но неразрывно связаны с ними через частные случаи и это ведет к необходимости расширения поля в геометрии в область мнимых значений [1, 19, 26]. Такое расширение, т.е. добавление к полю вещественных координат пространств различной размерности, поля мнимых координат приводит к разным вариантам пространств различной размерности, в зависимости от выбранной аксиоматики. Ранее в ряде статей были показаны примеры решения некоторых актуальных задач геометрии с использованием мнимых геометрических образов и объектов [4, 5, 6, 13, 21, 22, 29]. В статье приводятся конструкции построения сферы по наперёд заданным четырём точкам, из которых одна пара или обе пары точек могут быть мнимыми комплексно сопряжёнными. Построение проводится на совмещённых эпюрах методами начертательной геометрии по аналогии с известной задачей построения сферы по четырём действительным точкам. Построение сферы опираются на семь вспомогательных конструкций по построению окружности по точкам, которые могут быть мнимыми сопряжёнными. Рассмотрены как 3D задачи построения сфер для заданных точек, так и методы 2D задач построения для определения требуемых мнимых точек. Описана методика вычисления параметров полученной сферы. Рассмотрено применение метода к иным задачам начертательной геометрии, например, к задачам поиска геометрических мест точек. равноудаленных от двух заданных поверхностей. В последнее время этот вопрос интенсивно исследуется, например, в работах [5, 6].
мнимые сопряжённые точки; носитель мнимых точек; касательные прямые; изотропные прямые; скрещивающиеся прямые; действительная окружность; мнимая окружность; круг Фалеса (опирается на диаметр); линия центров; радикальная ось; параллельные плоскости; действительная сфера; мнимая сфера; нуль-сфера
1. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии [Текст] / П.С. Александров - М.: Наука, 1968. - 382 с.
2. Аргунов Б.И., Балк М.Б. Геометрические построения на плоскости. / [Текст] Б.И. Аргунов, М.Б. Балк - М.: Просвещение, 1957. - 267 с.
3. Балк М.Б. Реальные применения мнимых чисел [Текст] / М.Б. Балк, Г.Д. Балк, А.А. Полухин - Киев: Радянська школа, 1988. - 255 с.
4. Волошинов Д.В. Алгоритмический комплекс для решения задач с квадриками с применением мнимых геометрических образов [Текст] / Д.В. Волошинов // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8. - № 2. С. 3-32. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-3-32.
5. Вышнепольский В.И. Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. Часть 4: геометрические места точек, равноудаленных от двух сфер [Текст] / В.И. Вышнепольский, Е.В. Заварихина, Д.С. Пех // Геометрия и графика. - 2021. -Т. 9. - № 3. - С. 12-29. -DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-9-3-12-29.
6. Вышнепольский В.И. Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. Часть 5: геометрические места точек, равноудаленных от сферы и плоскости [Текст] / В.И. Вышнепольский, Е.В. Заварихина, К.Т. Егиазарян // Геометрия и графика. - 2021. - Т. 9. - № 4. - С. 22-34. - DOIhttps://doi.org/10.12737/2308-4898-2022-9-4-22-34.
7. Гирш А.Г. Комплексная геометрия - евклидова и псевдоевклидова: ООО «ИПЦ "Маска"», 2013. - 216 с.
8. Гирш А.Г. Мнимости в геометрии [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. - 2014. - Т. 2. - № 2. - C. 3-8. - DOI:https://doi.org/10.12737/5583.
9. Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия [Текст] / А.Г. Гирш. - М.: Маска, 2008. - 216 с.
10. Гирш А.Г. Новые задачи начертательной геометрии. Продолжение [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. - 2021. - Т. 9. - № 4. - С. 3-10. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2022-9-4-3-10.
11. Гирш А.Г. Окружности на комплексной плоскости [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8. - № 4. - С. 3-12. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-8-4-3-12.
12. Гирш А.Г. О пользе мнимостей в геометрии [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8. - № 2. - С. 33-40. - DOIhttps://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-33-40.
13. Гирш А.Г., Короткий В.А. Мнимые точки в декартовой системе координат [Текст] / А.Г. Гирш, В.А. Короткий // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - № 3. - C. 28-35. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5dce651d80b827.49830821.
14. Графский О.А. Введение мнимых элементов в начертательную геометрию: монография [Текст] / О.А. Графский. - Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2004. - 168 с.
15. Графский О.А. Моделирование мнимых элементов на плоскости [Текст]: монография / О.А. Графский. - Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2004. - 161 с.
16. Иванов Г.С. О задачах начертательной геометрии с мнимыми решениями [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика. - 2015. - Т. 3. - № 2. - C. 3-8. - DOI:https://doi.org/10.12737/12163.
17. Игнатьев С.А. Повышение наглядности представления изучаемых в начертательной геометрии объектов [Текст] / С.А. Игнатьев, Э.Х. Муратбакеев, М.В. Воронина // Геометрия и графика. - 2022. - Т. 10. - № 1. - С. 44-53. DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2022-10-1-44-53.
18. Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа [Текст] / И.Л. Кантор, А.С. Солодовников. - М.: Наука, 1973. - 144 с.
19. Кириллов А.А. Что такое число? [Текст] / А.А. Кириллов - М.: Изд-во Физматлит, 1993. - 80 с.
20. Комплексная геометрия и др. // Антон Георгиевич Гирш URL: http://www.anhirsch.de (дата обращения: 11.09.2022).
21. Короткий В.А. Мнимые линейные элементы в алгебре, геометрии и компьютерной графике [Текст] / В.А. Короткий // Прикладная математика и фундаментальная информатика. - 2019. - Т. 6. - № 2. - С. 34-48. - DOI:https://doi.org/10.25206/2311-4908-2019-6-2-34-48.
22. Короткий В.А. Мнимые прямые в декартовой системе координат [Текст] / В.А. Короткий // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - № 4. - C. 5-17. DOI: https://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-5-17.
23. Международная интернет-конференция «Проблемы качества графической подготовки студентов в техническом вузе: проблемы, традиции и инновации», Пермь, 2015. - URL: http://dgng.pstu.ru/conf2015/.
24. Пеклич В.А. Мнимая начертательная геометрия: учеб. пособие [Текст] / В.А. Пеклич. - М.: Изд-во ассоциации строительных вузов, 2007. - 104 с.
25. Сальков Н.А. Место начертательной геометрии в системе геометрического образования технических вузов / Н. А. Сальков // Геометрия и графика. 2016, Т.4, №3, с.53-61. DOI:https://doi.org/10.12737/21534.
26. Сальков Н.А. Об изображениях / Н. А. Сальков // Геометрия и графика. 2022, Т.10, №2, с. 3-10. DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2022-10-2-3-10.
27. Суворов Ф.М. Об изображении воображаемых точек и воображаемых прямых на плоскости и о построении кривых линий второй степени, определяемых с помощью воображаемых точек и касательных [Текст] / Ф.М. Суворов. - Казань: Типография императорского Университета, 1884. - 130 с.
28. Умбетов Н.С. Демонстрация общих элементов инволюции на простом примере [Текст] / Н.С. Умбетов // Геометрия и графика. - 2022. - Т. 10. - № 2. - С. 27-34. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2022-10-2-27-34.
29. Флоренский П.А. Мнимости в геометрии: расширенные области двухмерных образов геометрии (опыт нового истолкования мнимостей) [Текст]. - 2-е изд. / П.А. Флоренский. - М.: Едиториал УРСС, 2004. - 72 с.
30. Четверухин Н.Ф. Начертательной геометрии. [Текст] / Н.Ф. Четверухин, В.С. Левицкий, З.И. Прянишникова, А.М. Тевлин, Г.И. Федоров - М.: «Высшая школа», 1963. - 420 с.
31. Яглом И.М. Комплексные числа и их применение в геометрии [Текст] / И.М. Яглом. - М.: Едиториал УРСС, 2004. - 192 с.
32. Duden Rechnen und Mathematik. Mannheim, Wien, Zürich: Dudenverlag, 2000. 720 p.
33. Girsch А. Ехtеnsion оf thе 'Villarceau-Sektion' tо Surfaces of Revolution with а Generating Соniс // Jurnal for Сеоmetrу and Graphics, 6(2000/2), р. 121-132.
34. Imaginary Numbers are Real 13 Videos. (https://www.youtube.com/ watch?v=T647CGsuOVU&list=PLiaHhY2iBX9g6KIvZ_703G3KJXapKkNaF.
35. Hirsch A. Extension of the 'Villarceau-Sektion' to Surfaces of Revolution with a Generating Conic // Jurnal for Geometriy and Graphics, V. 6 (2000), I. 2, pp. 121-132.
36. Huybrechts, D. Complex Geometry, Springer Verlag 2005.
37. Reye Th. Geometrie der Lage. 1. Abteilung. Leipzig, 1882. 215 р.
38. Stachel H. Remarks on A. Hirsch's Paper conserning Villatceau-Sections. Jurnal for Geometry and Graphics. 2002. V. 6, pp. 133-139.
