сотрудник
Казань, Республика Татарстан, Россия
Исследование проводили с целью решения задачио замене оборудования и создания математической модели задачи управляемой оптимизации, как наиболее полного и приближенного к реальности описания производственного процесса. В исследовании использовали принцип оптимальности Беллмана, так как при решении задач динамического программированияэто обобщающийпринцип. Для решения в качестве исходной математической модели выбранофункциональное уравнение Беллмана: Достоинство такой математической модели заключается в возможности модификации задачи.На первом шаге предлагается продавать замененное оборудование по цене (R(tk)-Z(tk))p, 0
математическая модель, оборудование, динамическое программирование, оптимизация, замена оборудования, принцип оптимальности Беллмана
Введение. Одна из современных проблем производства – замена старого оборудования, которое изнашивается, теряя производительность и стоимость, морально устаревает. Необходимо составить план замены и ремонта оборудования на заданный период его работы. Такой план – управляемая, оптимальная стратегия за это время.
Постановка задачи управляемой оптимизации – наиболее полное и приближенное к реальности описание производственного процесса [1].
Принцип оптимальности Беллмана в задаче динамического программирования в наибольшей мереслужит обобщенным математическим описанием таких задач [2, 3, 4] При такой постановке достаточно просто вносить изменения в задачу: в целевую функцию, в структуру вектора управления, в ограничения задачи.
За основу математической модели исследованиявыбрана модель задачидинамического программирования и составлено функциональное уравнение.
Рассмотрим модельный пример классической задачи динамического программирования:
оборудование эксплуатируется 5 лет (этапы с k=1 по k=5);
состояние системы определяет параметр tk– возраст оборудования;
стоимость покупки и замены нового оборудования – 40 тыс. руб.;
годовой выпуск продукции R(tk) – в стоимостном выражении;
ежегодные затраты, связанные с содержанием и ремонтом оборудованияZ(tk);
замененное оборудование списывается.
Управление:u1 – решение о сохранении оборудования, u2 – оборудование заменяется новым.
Для решения применим функциональное уравнение Беллмана:
Такая постановка задачидает возможность вносить различные модификации.
На первом шаге предлагается продавать замененное оборудование по цене (R(tk)-Z(tk)), умноженной на процент (скидку). Например, 70% от (R(tk)-Z(tk)).
Величина (R(tk)-Z(tk)) – ориентир цены оборудования, возраст которого – tk, где k – номер года или номер этапа в многошаговом процессе.
Для покупки оборудованиянеобходимо сделать скидку – продать его по цене (R(tk)-Z(tk))p, 0<p<1, p – коэффициент уценки при продаже.
Размер процента скидки при продаже p – входная величина в реализуемой программе. Далее устанавливаемое оборудование может быть не новым и приобретенным по цене ((R(tk)-Z(tk))q, 0<q<1. Здесь q – коэффициент уценки при покупке и задается на входе. Оборудование, бывшее в употреблении, дешевле нового, продажа замененного оборудования так же вносит добавку в прибыль. В вектор управления необходимо добавить новые компоненты – возраст устанавливаемого оборудования (не нового). Структура управления становится более сложной и реалистичной. При многочисленных испытаниях программы эффект «проклятия размерности» не проявляется.
Цель исследования – расширение поставленной задачи динамического программирования с использованием набора различных модификаций
Условия, материал и методы. Рассмотрим функциональное уравнение Беллмана для задачи о замене оборудования:
где u1– оборудование не меняется, u2 – оборудование заменяется на новое, С – стоимость замены и покупки нового оборудования, Fk(tk) – функция Беллмана – суммарная прибыль, полученная начиная сk-го до последнего года эксплуатации оборудования, R(tk) – годовой выпуск продукции в стоимостном выражении, Z(tk) – ежегодные затраты, связанные с содержанием и ремонтом оборудования.
Возможны три модификации задачи о замене оборудования.
1. Замененное можно не выбрасывать, а продать по цене (Rk(tk)-Zk(tk))p, где p – коэффициент уценки 0<p<1.
Функциональное уравнение Беллмана соответственно модифицируется:
Очевидно, что значение целевой функции увеличится.
2. Можно увеличить прибыль, если покупать не новое оборудование.
Например, однолетнее u3, двухлетнее u4, трехлетнее u5.Очень старое оборудование, в нашем примере возрастом более 3-х лет, наверное, покупать не стоит, хотя все зависит от значений функций Rk(tk), Zk(tk) – производительности и затрат на ремонт и обслуживания соответственно, tk– возраст оборудования к началу k-го года.
Уравнение Беллмана примет вид:
Следует учесть, что компонента C состоит из двух слагаемых:
первое (Rk(tk)-Zk(tk))q – стоимость покупки не нового оборудования возраста tk, или нового плюс продажа старого оборудования (Rk(tk)-Zk(tk))p, где p,q – коэффициенты оценки 0<q<1, q<p;
второе– стоимость установки оборудования.
Вектор управления (u1,u2,u3,u4,u5) – содержит пять компонент.
3. Возможно добавление еще одной компоненты в вектор управления u6 – «омолаживающий» ремонт оборудования. После такого ремонта возраст оборудования становится, например, на год меньше. Затраты на ремонт берутся из графика зависимости полученной прибыли от стоимости ремонта, построенного по результатам прогонов программы: Автоматизация расчета оптимального управления заменой, продажей и ремонтом оборудования [5].
Объединение рассмотренных модификаций в одно целое представляют собой математическую модель задачи о замене оборудования, которая положена в основу программыавтоматизации расчета оптимального управления заменой, продажей и ремонтом оборудования.
Исходные данные, представленныенарисунке 1, могут быть взяты, например, из обработанных статистических данных работы оборудования на предприятии. В нашей работе были взяты тестовые данные, наиболее полно раскрывающие специфику задачи, полученные в результате нескольких прогонов программы.
Рис. 1 – Исходные данные
Функции Z(t) и R(t)аппроксимированы из результатов наблюдений или из законов теории надежности, могут быть заданы в аналитическом виде.
Дополнительные данные, которые вводятся в таблице на рисунке 2, определяют расширение задачи, по сравнению с модельной.
Дополнительные данные определяют вариативность условий установки, продажи старого и покупки устанавливаемого оборудования.
Рис. 2 – Дополнительные данные
Период эксплуатации оборудования выбирается обычно в интервале 5…10 лет. При более длительной работе оно морально устаревает, сильно изнашивается, накапливаются усталостные эффекты [6].
Понижающий коэффициент продажи старого оборудования считается меньшим, чем для покупки не нового оборудования, что может быть связано, например, с предпродажной подготовкой(это не абсолютное утверждение). Программаавтоматизации расчета оптимального управления заменой, продажей и ремонтом оборудования отработает и другие варианты величинуказанных коэффициентов.Затраты на приобретение и установку оборудования могут быть разделены.
Результаты и обсуждение. Результатом работы программы служит построение сетевого графа, отражающего вариативность оптимальных планов управления.
В функциональном уравнении Беллмана управление выбирается путем расчета максимума целевой функции. Её одинаковые значения возможны при разных вариантах управлениях. В результате получаются разветвления в управляющей стратегии, приводящие к одинаковым значениям целевой функции. Такое разнообразие вариантов управления позволяет проанализировать его стратегию и осуществить выбор, учитывая, например, ранее не рассмотренные факторы [7-10].
Кроме того, для каждой итерации расчёта составляются таблицы условно оптимальных решений и системы функциональных уравнений Беллмана [11, 12]. Это позволяет контролировать реализацию и отладку вычислительного алгоритма в программе, а также изменять структуру входных данных.
В качестве дополнительного функционала впрограмме,возможно,строить график зависимости полученной прибыли от стоимости ремонта оборудования, выраженной в условных единицах. На основе его анализа можно определить, при какой стоимости ремонтрационален, а при какой нет. Такой анализ позволяет определиться с вводом значения входного параметра «стоимость ремонта», исходя из ранее полученных результатов работы программы [13, 14, 15].
Пример результатов работы программы с тестовыми параметрами
В начале работы программы вводятся исходные и дополнительные данные (интерфейс ввода данных представлен на рис. 1,2)
В результате работы программы на экран выводится сетевой взвешенный граф – сетевая модель оптимальной стратегии замены оборудования (рис.3).Каждая дуга графаобозначает переходсистемы в следующее временное состояние (в следующий год). При этом весадуг (подписи снизу) указывают на компоненту вектора управления:
u1 – оставить оборудование;
u2 – заменить на новое оборудование;
b1 – заменить на 1 – летнее оборудование;
b2 – заменить на 2 – летнее оборудование;
b3 – заменить на 3 – летнее оборудование;
b4 – заменить на 4 – летнее оборудование;
r1 – отремонтировать старое оборудование
Верхняя надпись – это прибыль от работы оборудования, накопленная к соответствующему году (целевая функция).
Рис.3 – Интерфейс вывода в виде сетевой модели.
В результате прогона программы на экран так же выводится график зависимостиприбыли от стоимости ремонта (рис. 4). Анализируя полученный график можно определить целесообразность «омолаживающего» ремонта. Это актуально только в том случае, если цена «омолаживающего» ремонта (оборудование становится моложе на 1 год) не превосходит стоимости покупки и установки аналогичного по возрасту оборудования.Эта диаграмма интерактивна. При наведении курсора мыши на точку на карте появляется информация о возможной прибыли, связанной с ремонтом оборудования за такую цену.
Рис.4 – Зависимость полученной прибыли от стоимости ремонта.
Программа выводит на экран так же и математическую запись функционального уравнения Беллмана, что дает возможность следить за логикой вычислительного процесса [16, 17].
Математическое представление задачи в виде функционального уравнения Беллмана облегчает программную реализацию алгоритма.
Рассмотренная модель позволяет проводить ряд модификаций и осуществлять их программную реализацию.
Модификации расширяют модель, делая ее более реалистичной.
1. Мезенцев Ю. А.,Короткова Ю. Л., Эстрайх И. В. Эффективный алгоритм решения прикладной задачи оптимизации расписаний параллельно-последовательной системы // Информационные технологии. 2021. Т. 27. № 12. С. 642-650. doi:https://doi.org/10.17587/it.27.642-650.
2. Xinyu L.,Liang G. An effective hybrid genetic algorithm and tabu search for flexible job shop scheduling problem // International Journal of Production Economics. 2016. No. 174. P. 93-110.
3. Jie H., Qingguo L., Dehua X. Scheduling two parallel machines with machine-dependent availabilities // Computers & Operations Research. 2016. No. 72. P. 31-42.
4. A multi objective optimization approach for flexible job shop scheduling problem under random machine breakdown by evolutionary algorithms / A. Ehsan, Z. Mostafa, F. Mojtaba, et al. // Computers & Operations Research. 2016. No. 73. P. 56-66.
5. Филиппов Е.Г., Челмакин А.Н., Назметдинов Р.Л. Автоматизация расчета оптимального управления заменой, продажей и ремонтом оборудования. СвидетельствоорегистрациипрограммыдляЭВМ RU 2019614241, 01.04.2019. Заявка № 2019613015 от 26.03.2019.
6. Баранков В.В., Королева В.В., Филиппов Е.Г. Варианты постановки задачи оперативно - календарного планирования // Математическое и программное обеспечение систем в промышленной и социальной сферах. 2015. № 2. С. 41-49.
7. Федосеев А.С.,Вожаков А.В., Гитман М.Б. Модель оптимального планирования производства на тактическом уровне с нечёткими ограничениями и критериями // Вестник МГТУ им. Носова. 2009. № 4. С. 57-64.
8. Вожаков А.В., Гитман М.Б., Федосеев С.А. Комплексное оценивание при выборе оптимального плана производства на тактическом уровне с учетом нечетких критериев и ограничений//Управление большими системами. 2012. № 30.С. 164-179.
9. Ибятов Р. И., Зиганшин Б.Г. О моделировании случайных процессов в агропромышленном комплексе // Вестник Казанского государственного аграрного университета. 2022. Т. 17. № 1(65). С. 50-55. - DOIhttps://doi.org/10.12737/2073-0462-2022-50-55.
10. Mathematical modeling of the grain trajectory in the workspace of the sheller with rotating decks / R. I. Ibyatov, A. V. Dmitriev, B. G. Ziganshin [et al.] // International Scientific-Practical Conference “Agriculture and Food Security: Technology, Innovation, Markets, Human Resources” (FIES 2019): International Scientific-Practical Conference “Agriculture and Food Security: Technology, Innovation, Markets, Human Resources” (FIES 2019), Kazan, 13-14 ноября 2019 года. Vol. 17. - Kazan: EDP Sciences, 2020. - P. 00093. - DOIhttps://doi.org/10.1051/bioconf/20201700093. - EDN KYZZLO.
11. Иванов Б.Л., Зиганшин Б.Г., Рудаков А.И., Лушнов М.А. Оценка распределения капель дезинфицирующей жидкости по обрабатываемой поверхности // Вестник Казанского государственного аграрного университета. 2019. Т. 14. № 3(54). С. 103-107.
12. Рудаков А.И., Нафиков И.Р., Иванов Б.Л. Повышение энергетической эффективности сублимационной сушки сельскохозяйственных материалов // Вестник Казанского государственного аграрного университета. 2007. Т. 2. № 2(6). С. 101-105.
13. К определению параметров, влияющих на гибкий рабочий элемент ботвоизмельчителя / М. Н. Калимуллин, Р. К. Абдрахманов, Д. М. Исмагилов, И. И. Валиев // Вестник Казанского государственного аграрного университета. - 2019. - Т. 14. - № 4-2(56). - С. 54-58. - DOIhttps://doi.org/10.12737/2073-0462-2020-54-58. - EDN SFYYEB.
14. Ибятов, Р. И. Численный расчет фильтрования суспензии неньютоновского поведения в намывных фильтрах / Р. И. Ибятов // Вестник Казанского государственного аграрного университета. - 2022. - Т. 17. - № S2(66). - С. 68-73. - DOIhttps://doi.org/10.12737/2073-0462-2022-68-73. - EDN OYOFEM.
15. Optimization of plow adjustment / D. T. Khaliullin, A. Belinsky, A. R. Valiev [et al.] // International Scientific-Practical Conference “Agriculture and Food Security: Technology, Innovation, Markets, Human Resources” (FIES 2020) : International Scientific-Practical Conference “Agriculture and Food Security: Technology, Innovation, Markets, Human Resources” (FIES 2020), Kazan, 28-30 мая 2020 года. - Kazan: EDP Sciences, 2020. - P. 000103. - DOIhttps://doi.org/10.1051/bioconf/20202700103.
16. Theoretical fundamentals for determining soil erosion potential (energy concept) part 1 / I. I. Maksimov, N. R. Adigamov, A. A. Mustafin [et al.] // PeriodicoTcheQuimica. - 2019. - Vol. 16. - No 31. - P. 540-557.
17. Theoretical justification of design and technological parameters of hulling machine main working bodies / D. Khaliullin, I. Badretdinov, I. Naficov, R. Lukmanov // Engineering for Rural Development: 20, Virtual, Jelgava, 26-28 мая 2021 года. - Virtual, Jelgava, 2021. - P. 1501-1506. - DOIhttps://doi.org/10.22616/ERDev.2021.20.TF321.
