Рассматривается инволюция проективных рядов с общим носителем, ее геометрическая интерпретация. Приняв частный случай геометрической интерпретации инволюции, решается задача построения гармонически сопряженных точек при заданных начальных условиях, когда даны одна окружность и радикальная ось этой окружности с пучком соответствующих окружностей с общей радикальной осью. Дано предложение о существовании единственной окружности в пучке, диаметральные точки которой на линии центров составляют гармоническую четверку с соответствующими диаметральными точками заданной окружности. Приводится способ построения искомой окружности в эллиптической инволюции с использованием частного случая теоремы Паскаля о шестиугольнике и другие алгоритмы. Даны пояснения относительно гармонических отношений в гиперболической и параболической инволюциях, которая позволяет осуществлять взаимный переход от одной инволюции к другой. Показано, что используя диаметральные точки заданной окружности и точек РQ радикальной оси в эллиптической инволюции можно построить двойные точки X,Y гиперболической инволюции для неразделенных точек А, А’ ⸚ В, В’, а также радикальную ось pq окружностей в гиперболической инволюций. А если из вертикально-диаметральной точки окружности пучка w1 провести касательную к окружности, проходящей через двойные точки гиперболической инволюции, то точка касания - есть точка Р (Q) радикальной оси эллиптической инволюции. Установлено, что диагонали четырехугольников, полученных при пересечении всех окружностей пучка, ортогонального к двум заданным в эллиптической инволюции пересекаются в точке на пересечении радикальной оси и линии центров заданных окружностей гиперболической инволюции, а диагонали четырехугольников всех окружностей пучка в гиперболической инволюции пересекаются в точке на пересечении радикальной оси и линии центров заданных окружностей эллиптической инволюции. Построено геометрическое место каждой точки гармонической четверки. При этом ГМ пары гармонической четверки в эллиптической инволюции получается эллипс, которая имеет в точках Р, Q общую касательную с окружностью двойных точек гиперболической инволюции. А ГМ пары гармонической четверки для гиперболической инволюции – две ветви гиперболы, которые проходят через центры окружностей, задающих эллиптическую инволюцию.
Геометрические преобразования; гармонически сопряженные точки; радикальная ось; радикальный центр; эллиптическая инволюция; гиперболическая инволюция
1. Аргунов Б.И. Геометрические построения на плоскости. Пособие для студентов педагогических институтов. [Текст] / Б.И. Аргунов, М.Б. Балк. - 2 е изд., - М., Учпедгиз, 1957. - 268 с.
2. Артисевич А.Е. Нестандартное решение одной геометрической задачи с помощью радикальных осей окружностей. [Текст] / А.Е. Артисевич, Н.А. Лобода, С.И. Калашникова, Н.Н. Куприенко // Педагогические науки: Вопросы теории и практики: Сб. статей Международной научно-практической конференции. - Пенза. 2020. - С. 143-145.
3. Бернхардт А. Проективная геометрия. Курс, основанный на геометрических построениях и наблюдениях. Учебник, предназначенный для преподавания и самостоятельного изучения. [Текст]: / А. Бернхардт; пер. с нем. О.И. Чибисовой - М.: «Парсифаль». 2003. - 184 с.
4. Боровиков И.Ф. О применении преобразований при решении задач начертательной геометрии [Текст] / И.Ф. Боровиков, Г.С. Иванов, Н.Г. Суркова // Геометрия и графика. - 2018. - Т. 6. - № 2. - С. 78-84. - DOI: 10.12737/ article_5b55a35d683a33.30813949.
5. Волошинов Д.В. Визуально-графическое проектирование единой конструктивной модели для решения аналогов задачи Аполлония с учетом мнимых геометрических образов [Текст] / Д.В. Волошинов // Геометрия и графика. - 2018. - Т. 6. - № 2. - С. 23-46. - DOI: 10.12737/ article_5b559c70becf44.21848537.
6. Волошинов Д.В. Об уточнении некоторых понятий конструктивной геометрии. [Текст] / Д.В. Волошинов // Геометрическое моделирование. Компьютерная графика в образовании. - Томск, 2018 г. - С. 350-353.
7. Волошинов Д.В. Единый конструктивный алгоритм построения фокусов кривых второго порядка [Текст] / Д.В. Волошинов // Геометрия и графика. - 2018. - Т. 6. - № 2. - С. 47-54. - DOI: 10.12737/ article_5b559dc3551f95.26045830.
8. Волошинов Д.В. Алгоритм решения задачи Аполлония на основе построения ортогональных окружностей. [Текст] / Д.В. Волошинов // 26-я Международная конференция (GraphiCon2016), - Нижний Новгород. - 2016. - С. 284-288.
9. Волошинов Д.В. Конструктивное геометрическое моделирование. Теория, практика, автоматизация: монография [Текст] / Д.В.Волошинов. // Saarbrücken: Lambert Academic Publishing. - 2010. - 355 c.
10. Вышнепольский В.И. Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. Часть 3 [Текст] / В.И. Вышнепольский, К.А. Киршанов, К.Т. Егиазарян // Геометрия и графика. - 2018. - Т. 6. - № 4. - С. 3-19. - DOI: 10.12737/ article_5c21f207bfd6e4.78537377.
11. Гирш А.Г. Новые задачи начертательной геометрии. Продолжение [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. - 2022. - Т. 9. - № 4. - С. 3-10. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2022-9-4-3-10.
12. Гирш А.Г. Окружности на комплексной плоскости [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. - 2021. - Т. 8. - № 4. - С. 3-12. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-8-4-3-12.
13. Гирш А.Г. Взаимные задачи с кониками [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8. - № 1. - С. 15-24. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-8-1-15-24.
14. Гирш А.Г. Фокусы алгебраических кривых [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. - 2015. - Т. 3. - № 3. - С. 4-17. - DOI:https://doi.org/10.12737/14415.
15. Гирш А.Г. Мнимости в геометрии. [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. - 2014. Т. 2. № 2. - С. 3-8.
16. Гирш А.Г. «Наглядная мнимая геометрия» [Текст] / А.Г. Гирш - М.: ООО «ИПЦ "Маска"», 2008 - 200 с., 150 рис.
17. Глаголев Н.А. Проективная геометрия. [Текст] / Н.А. Глаголев 2 е. изд. - М.: Высшая школа, 1963. - 352 с.
18. Горшкова Л.С. Проективная геометрия [Текст]: Учебное пособие для студентов и преподавателей педагогических вузов / Л.С. Горшкова, В.И. Паньженский, Е.В. Марина - Пенза, Пензенский гос. пед. ун-т им. В.Г. Белинского. - 2003. - 164с.
19. Иванов Г.С. Конструирование одномерных обводов, принадлежащих поверхностям, путем их отображения на плоскость [Текст] / Г.С. Иванов // Геометрия и графика. - 2018. - Т. 6. - № 1. - С. 3-9. - DOI: 10.12737/ article_5ad07ed61bc114.52669586.
20. Иванов Г.С. Нелинейные формы в инженерной графике [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика - 2017. - Т. 5. - № 2. - С. 4-12. - DOI: 10.12737/ article_5953f295744f77.58727642.
21. Иванов Г.С. Принцип двойственности - теоретическая база взаимосвязи синтетических и аналитических способов решения геометрических задач [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика - 2016. - Т. 4. - № 3. - С. 3-10. - DOI: 10.12737/ 21528.
22. Иванов Г.С. О задачах начертательной геометрии с мнимыми решениями [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика - 2015. - Т. 3. - № 2. - С. 3-8. - DOI: 10.12737/ 12163.
23. Короткий В.А. Аппроксимация физического сплайна с большими прогибами [Текст] / В.А. Короткий, И.Г. Витовтов // Геометрия и графика. - 2021. - Т. 9. - № 1. - С. 3-19. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-9-1-3-19.
24. Короткий В.А. Реконструкция квадратичного кремонова преобразования [Текст] / В.А. Короткий // Геометрия и графика. - 2017. - Т. 5. - № 2. - С. 59-68. - DOI: 10.12737/ article_5953f3002a72d8.28689872.
25. Короткий В.А. Графические алгоритмы реконструкции кривой второго порядка, заданной мнимыми элементами [Текст] / В.А. Короткий, А.Г. Гирш // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - № 4. - С. 59-68. - DOI: 10.12737/ 22840.
26. Короткий В.А. Квадратичное преобразование плоскости, установленное пучком конических сечений. [Текст] / В.А. Короткий // Журнал «Омский научный вестник. Инженерная геометрия и компьютерная графика». №1 (117). 2013. С. 9-14.
27. Понарин Я.П. Элементарная геометрия [Текст]. в 2 т. Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости / Я.П. Понарин - М.: МЦНМО, 2008. - 312 с.
28. Сальков Н.А. Циклида Дюпена и кривые второго порядка. Част 1 [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика - 2016. - Т. 4. - № 2. - С. 19-28. - DOI: 10.12737/ 19829.
29. Селиверстов А.В. О поиске особых точек алгебраической кривой [Текст] / А.В. Селиверстов // Геометрия и графика. - 2017. - Т. 5. - № 1. - С. 36-42. - DOI: 10.12737/ 25118.
30. Скопец З.А. Преобразование двух кривых второго порядка в две окружности посредством гомологии. [Текст] / З.А. Скопец - Изв. вузов. Матем. - 1964. - № 2. - С. 139-143.
31. Хейфец А.Л. Коники как сечения квадрик плоскостью (обобщенная теорема Данделена) [Текст] / А.Л. Хейфец // Геометрия и графика - 2017. - Т. 5. - № 2. - С. 45-58. - DOI: 10.12737/ article_5953f32172a8d8.94863595.
32. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия. [Текст]: 8 е изд. Учебник для пед. ин-тов. / Четверухин Н.Ф. - М., Просвещение, 1969. - 368 с.
