Севастополь, Россия
Целью статьи является знакомство специалистов в области геометрического и компьютерного моделирования со специфическими инструментами точечного исчисления; демонстрация возможностей точечного исчисления, как математического аппарата для моделирования геометрических объектов многомерного пространства. В статье на конкретных примерах описаны основные конструктивные инструменты точечного исчисления, обладающие инвариантными свойствами относительно параллельного проецирования, которые используются для моделирования геометрических объектов, включая: простое отношение трёх точек прямой, пересечение двух прямых, пересечение прямой с плоскостью, параллельный перенос и касательная к кривой. Приведены теоретические основы точечных инструментов геометрического моделирования, инвариантных относительно параллельного проецирования. Например, вместо традиционного определения точки пересечения прямых с помощью составления и решения системы уравнений в координатной форме, используется обнуление площади подвижного треугольника. Такой подход позволяет определять геометрические объекты в многомерных пространствах сохраняя символьное представление точечного уравнений, а также выполнять его покоординатный расчёт на последнем этапе моделирования, что позволяет значительно сократить вычислительные ресурсы в процессе решения задач инженерной геометрии и компьютерной графики. Локальными результатами представленных в статье исследований, которые послужили примерами использования конструктивных инструментов точечного исчисления, являются: определение кубической кривой Безье как кривой одного отношения в точечной и координатной форме; определение избыточной параметризации плоскости и дуг обвода на её основе; определение касательной к пространственной кривой путём дифференцирования исходной кривой по текущему параметру с последующим параллельным переносом полученного отрезка в точку касания; получено общее точечное уравнение торсовой поверхности исходя из её определения в виде геометрического места касательных к своему ребру возврата и приведены примеры построения торсовых поверхностей на основе кубической кривой Безье и трансцендентной пространственной кривой.
геометрическое моделирование; точечное исчисление; инварианты параллельного проецирования; покоординатный расчёт; конструирование кривых; избыточная параметризация плоскости; торсовая поверхность
1. Абдурахманов Ш.А. Применение механизмов, отмечающих центры тяжестей симплексов в их 2-мерных проекциях как аксонографов многомерных пространств [Текст] / Ш. А. Абдурахманов // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8. - № 4. - С. 13-23. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-8-4-13-23.
2. Балюба И.Г. Конструктивная геометрия многообразий в точечном исчислении [Текст]: дис. … докт. техн. наук: 05.01.01 / И.Г. Балюба. - Макеевка: МИСИ, 1995. - 227 с.
3. Балюба И.Г. Точечное исчисление [Текст]: учебное пособие / И.Г. Балюба, В.М. Найдыш; под ред. В.М. Верещаги. - Мелитополь: МГПУ им. Б. Хмельницкого, 2015. - 236 с.
4. Балюба И.Г. Точечное исчисление [Текст]: учебно-методическое пособие / И.Г. Балюба, Е.В. Конопацкий, А.И. Бумага. - Макеевка: ДОННАСА, 2020. - 244 с.
5. Бездітний А.О. Варіативне дискретне геометричне моделювання на основі геометричних співвідношень у точковому численні Балюби-Найдиша [Текст]: дис. … канд. техн. наук: 05.01.01. / А.О. Бездітний. - Мелітополь, 2012. - 191 с.
6. Бездітний А.О. Геометричне моделювання конструктивних елементів дробарки на основі побудови поверхонь обертання у точковому численні [Текст] / А.О. Бездітний, В.М. Верещага // Науковий вісник ТДАТУ. - Мелітополь: ТДАТУ, 2011. - Вип.1. - С. 69-74.
7. Бумага А.И. Геометрическое моделирование физико-механических свойств композиционных строительных материалов в БН-исчислении [Текст]: дис. … канд. техн. наук: 05.23.05 и 05.01.01 / А.И. Бумага. - Макеевка, 2016. - 164 с.
8. Волошинов Д.В. Алгоритмический комплекс для решения задач с квадриками с применением мнимых геометрических образов [Текст] / Д.В. Волошинов // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8. - № 2. - С. 3-32. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-3-32.
9. Воронова О.С. Геометрическое моделирование параметров физического состояния воды и водяного пара [Текст] / О.С. Воронова, Е.В. Конопацкий // Вестник кибернетики. - Сургут: СурГУ, 2019. - №1(33) 2019. - С. 29-38.
10. Головнин А.А. Базовые алгоритмы компьютерной графики [Текст] / А.А. Головнин // Проблемы качества графической подготовки студентов в техническом вузе: традиции и инновации. - 2016. - Т. 1. - С. 13-30.
11. Давыденко И.П. Конструирование поверхностей пространственных форм методом подвижного симплекса [Текст]: дис. … канд. техн. наук: 05.01.01. / И.П. Давыденко. - Макеевка, 2012. - 186 с.
12. Е Вин Тун. Построение рецепторных геометрических моделей объектов сложных технических форм [Текст] / Вин Тун Е, Л.В. Маркин // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - № 4. - С. 44-56. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-44-56.
13. Конопацкий Е.В. Вычислительные алгоритмы моделирования одномерных обводов через k наперед заданных точек [Текст] / Е.В. Конопацкий, А.А. Крысько, А.И. Бумага // Геометрия и графика. - 2018. - Т. 6. № 3. - С. 20-32. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5bc457ece18491.72807735.
14. Конопацкий Е.В. Геометрический смысл метода наименьших квадратов [Текст] / Е.В. Конопацкий // Вестник компьютерных и информационных технологий. - 2019. - № 9. - С. 11-18. - DOI:https://doi.org/10.14489/vkit.2019.09.pp.011-018.
15. Конопацкий Е.В. Геометрическое моделирование и оптимизация физико-механических свойств дегтеполимербетона [Текст] / Е.В. Конопацкий [и др.]. // Информационные технологии в проектировании и производстве. - М.: НТЦ «Компас», 2019. - № 1 (173). - С. 20-24.
16. Конопацкий Е.В. Геометрическое моделирование многофакторных процессов на основе точечного исчисления [Текст]: дис. … д-ра техн. наук: 05.01.01 / Е.В. Конопацкий. - Нижний Новгород, 2020. - 307 с.
17. Конопацкий Е.В. Использование кривых одного отношения для конструирования профиля крыла летательного аппарата в БН-исчислении [Текст] / Е.В. Конопацкий // Вестник ПНИПУ. Аэрокосмическая техника. - Пермь: ПНИПУ, 2017. - № 50. - С. 90-100.
18. Конопацкий Е.В. Моделирование аппроксимирующего 16-точечного отсека поверхности отклика, применительно к решению неоднородного уравнения теплопроводности [Текст] / Е.В. Конопацкий // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - № 2. - С. 38-45. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5d2c1a551a22c5.12136357.
19. Конопацкий Е.В. Моделирование поверхности рельефа местности на основе спутниковых данных SRTM [Текст] / Е.В. Конопацкий, О.А. Чернышева, Я.А. Кокарева // Вестник компьютерных и информационных технологий. - 2019. - № 6. - С. 23-31. - DOI:https://doi.org/10.14489/vkit.2019.06.pp.023-031.
20. Конопацкий Е.В. Общий подход к полилинейным интерполяции и аппроксимации на основе линейчатых многообразий [Текст] / Е.В. Конопацкий, С.И. Ротков, А.А. Крысько // Строительство и техногенная безопасность. - Симферополь: ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского», 2019. - № 15(67). - С. 159-168.
21. Конопацький Є.В. Геометричне моделювання алгебраїчних кривих та їх використання при конструюванні поверхонь у точковому численні Балюби-Найдиша [Текст]: дис. … канд. техн. наук: 05.01.01 / Є.В. Конопацький. - Мелітополь, 2012. - 164 с.
22. Короткий В.А. Конструирование G2-гладкой составной кривой на основе кубических сегментов Безье [Текст] / В.А. Короткий // Геометрия и графика. - 2021. - Т. 9. - № 2. - С. 12-28. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2021-9-2-12-28.
23. Короткий В.А. Кубические кривые в инженерной геометрии [Текст] / В.А. Короткий // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8. - № 3. - С. 3-24. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-3-24.
24. Кривошапко С.Н. Торсовые поверхности и оболочки: Справочник / С.Н. Кривошапко // М.: Изд-во УДН, 1991. - 287 с.
25. Крысько А.А. Геометрическое и компьютерное моделирование эксплуатируемых конструкций тонкостенных оболочек инженерных сооружений с учётом несовершенств геометрической формы [Текст]: дис. … канд. техн. наук: 05.23.01 и 05.01.01 / А.А. Крысько. - Макеевка, 2016. - 191 с.
26. Кучеренко В.В. Формалізовані геометричні моделі нерегулярної поверхні для гіперкількісної дискретної скінченої множини точок [Текст]: дис. … канд. техн. наук: 05.01.01 / В.В. Кучеренко. - Мелітополь, 2013. - 234 с.
27. Найдыш А.В. Теоретические основы геометрического моделирования физико-механических свойств асфальтобетонов методами БН-исчисления [Текст] / А.В. Найдыш, Е.В. Конопацкий, А.И. Бумага // Математика. Геометрія. Інформатика. - Мелітополь: МДПУ ім. Б. Хмельницького, 2014. - Т.1. - С. 111-117.
28. Панчук К.Л. Геометрическая модель генерации семейства контурно-параллельных линий для автоматизированного расчета траектории режущего инструмента [Текст] / К.Л. Панчук, Т.М. Мясоедова, И.В. Крысова // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - № 1. - С. 3-13. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5c92012c51bba1.17153893.
29. Плаксин А.М. Геометрическое моделирование тепловых характеристик объектов функционально-воксельным методом / А.М. Плаксин, С.А. Пушкарев // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8. - № 1. - С. 25-32. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-25-32.
30. Пушкарев С.А. Геометрическое моделирование средств визуализации напряжения на основе функционально-воксельного метода [Текст] / С.А. Пушкарев, А.М. Плаксин, А.А. Сычева, П.М. Харланова // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8. - № 3. - С. 36-43. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-36-43.
31. Рязанов С.А. Аналитические зависимости кинематического формообразования начальных поверхностей элементов червячной передачи [Текст] / С.А. Рязанов, М.К. Решетников // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - № 2. - С. 65-75. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5d2c2dda42fda7.79858292.
32. Савельев Ю.А. Вычислительная графика в решении нетрадиционных инженерных задач [Текст] / Ю.А. Савельев, Е.Ю. Черкасова // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8. - № 1. - С. 33-44. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-33-44.
33. Чернышева О.А. Вычислительные алгоритмы и компьютерные средства моделирования нерегулярной топографической поверхности [Текст]: дис. … канд. техн. наук: 05.13.18 / О.А. Чернышева. - Донецк, 2019. - 150 с.
34. Cantón A. Curvature of planar aesthetic curves [Text] / A. Cantón, L. Fernández-Jambrina, M.J. Vázquez-Gallo // Journal of Computational and Applied Mathematics, 2021. - Vol. 381. - DOI:https://doi.org/10.1016/j.cam.2020.113042.
35. Kucukoglu I. Multidimensional Bernstein polynomials and Bezier curves: Analysis of machine learning algorithm for facial expression recognition based on curvature [Text] / I. Kucukoglu, B. Simsek, Y. Simsek // Applied Mathematics and Computation, 2019. - Vol. 344-345. - pp. 150-162. - DOI:https://doi.org/10.1016/j.amc.2018.10.012.
36. Li X. Aperture illumination designs for microwave wireless power transmission with constraints on edge tapers using Bezier curves [Text] / X. Li, K.M. Luk, B. Duan // IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 2019. - Vol. 67. - No. 2. - pp. 1380-1385. - DOI:https://doi.org/10.1109/TAP.2018.2884850.
