кандидат технических наук;доктор технических наук;
candidate of technical sciences;doctor of technical sciences;
кандидат технических наук;
candidate of technical sciences;
Целью статьи является знакомство специалистов в области геометрического и компьютерного моделирования со специфическими инструментами точечного исчисления; демонстрация возможностей точечного исчисления, как математического аппарата для моделирования геометрических объектов многомерного пространства. В статье на конкретных примерах описаны основные конструктивные инструменты точечного исчисления, обладающие инвариантными свойствами относительно параллельного проецирования, которые используются для моделирования геометрических объектов, включая: простое отношение трёх точек прямой, пересечение двух прямых, пересечение прямой с плоскостью, параллельный перенос и касательная к кривой. Приведены теоретические основы точечных инструментов геометрического моделирования, инвариантных относительно параллельного проецирования. Например, вместо традиционного определения точки пересечения прямых с помощью составления и решения системы уравнений в координатной форме, используется обнуление площади подвижного треугольника. Такой подход позволяет определять геометрические объекты в многомерных пространствах сохраняя символьное представление точечного уравнений, а также выполнять его покоординатный расчёт на последнем этапе моделирования, что позволяет значительно сократить вычислительные ресурсы в процессе решения задач инженерной геометрии и компьютерной графики. Локальными результатами представленных в статье исследований, которые послужили примерами использования конструктивных инструментов точечного исчисления, являются: определение кубической кривой Безье как кривой одного отношения в точечной и координатной форме; определение избыточной параметризации плоскости и дуг обвода на её основе; определение касательной к пространственной кривой путём дифференцирования исходной кривой по текущему параметру с последующим параллельным переносом полученного отрезка в точку касания; получено общее точечное уравнение торсовой поверхности исходя из её определения в виде геометрического места касательных к своему ребру возврата и приведены примеры построения торсовых поверхностей на основе кубической кривой Безье и трансцендентной пространственной кривой.
The purpose of this paper is to familiarize experts in geometric and computer modeling with specific tools for point calculus; demonstrate the possibilities of point calculus as a mathematical apparatus for modeling of multidimensional space’s geometric objects. In the paper with specific examples have been described the basic constructive tools for point calculus, having invariant properties relating to parallel projection. These tools are used to model geometric objects, including: affine ratio of three points of a straight line, intersection of two straight lines, intersection of a straight line with a plane, parallel translation and tangent to a curve. The theoretical foundations of point tools for geometric modeling, invariant relating to parallel projection, have been presented. For example, instead of traditional determination for straight lines intersection point by composing and solving a system of equations in coordinate form, zeroing of a moving triangle’s area is used. This approach allows to define geometric objects in multidimensional spaces keeping the symbolic representation of point equation, as well as to perform its coordinate-wise calculation at the last stage of modeling, which allows to significantly reduce computing resources in the process of solving the problems related to engineering geometry and computer graphics. The local results of the research presented in this paper, which served as examples for the use of point calculation constructive tools, are: definition of the cubic Bezier curve as a curve of one relation in point and coordinate form; determination of excessive parameterization of the plane and bypass arcs based on it; determination of the tangent to the spatial curve by differentiation the original curve with respect to a current parameter, followed by parallel transfer of the obtained segment to the tangency point; the general point equation for the torso surface has been obtained on account of its definition as a geometric place of tangents to its cusp edge, and examples for the construction of torso surfaces based on the cubic Bezier curve and a transcendental space curve have been presented.