Кассель, Германия
Комплексная геометрия является синтезом евклидовой Е-геометрии (геометрия окружности) и псевдоевклидовой М-геометрии (геометрии гиперболы). Каждая из них в отдельности определяет незамкнутую систему, в которой корректно поставленная задача может не дать решения. Аналитическая геометрия представляет собой замкнутую систему. В ней корректно поставленная задача всегда дает решения в виде комплексных чисел, для каждого из которых, одна из частей может оказаться равной нулю. Нахождение мнимых решений и мнимых фигур, образованных множеством таких решений, есть новая задача начертательной геометрии. Вырожденные коники и квадрики или кривые и поверхности более высоких порядков, составляют новый класс фигур и новый класс задач начертательной геометрии. Например, нуль-окружность, нуль-сфера, нуль-цилиндр, нуль-тор. В данной статье ставятся задача исследования формы фигур второго порядка (коники, квадрики) и формы фигур третьего (коноид) и четвёртого (тор) порядков. Последние предполагают встречу с новыми геометрическими свойствами фигур. Геометрические операции по-прежнему погружены в комплексное пространство Е+М или действительное - мнимое. Рассматриваемые примеры продолжают ряд вырожденных фигур, в которых нуль-окружность распадается на изотропные прямые. Изотропные прямые принимаются за образующие поверхностей. Из них формируются конус вращения и гиперболический параболоид (косая плоскость).
аналитическая фигура; нуль-окружность; мнимое дополнение; левая изотропа; правая изотропа; круговой нуль-цилиндр; распадение нуль-цилиндра; изотропные плоскости; изотропный конус
1. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии [Текст] / П.С. Александров - М.: Наука, 1968. - 382 с.
2. Балк М.Б. Реальные применения мнимых чисел. [Текст] / М.Б. Балк, Г.Д. Балк, А.А. Полухин - Киев: Радянська школа, 1988. - 255 с. - ISBN 5-330-00379-2.
3. Волошинов Д.В. Алгоритмический комплекс для решения задач с квадриками с применением мнимых геометрических образов [Текст] / Д.В. Волошинов // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8. - № 2. С. 3-32. DOIhttps://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-3-32.
4. Гирш А.Г. Мнимости в геометрии [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. - 2014. - Т. 2. - № 2. - C. 3-8. - DOI:https://doi.org/10.12737/5583.
5. Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия [Текст] /А.Г. Гирш. - М.: Маска, 2008. - 216 с.
6. Гирш А.Г. Новые задачи начертательной геометрии [Текст] / А.Г. Гирш. // Геометрия и графика. 2019. - Т. 7. - №. 4. - C. 3-8. - DOI:https://doi.org/10.12737/5583.
7. Гирш А.Г. О пользе мнимостей в геометрии [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8. - № 2. - С. 33-40. - DOIhttps://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-33-40.
8. Гирш А.Г. Мнимые точки в декартовой системе координат [Текст] / А.Г. Гирш, В.А. Короткий // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - №. 3. - C. 28-35. - DOIhttps://doi.org/10.12737/article_5dce651d80b827.49830821.
9. Графский О.А. Введение мнимых элементов в начертательную геометрию: монография [Текст] / О.А. Графский // Рос. Федерация, М-во путей сообщ., ГОУ ВПО "Дальневост. гос. ун-т путей сообщ. МПС России". Хабаровск. - 2004. - 168 с.
10. Графский О.А. Моделирование мнимых элементов на плоскости [Текст]: монография / О.А. Графский - Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2004. - 161 с.
11. Графский О.А. О взаимном пересечении квадрик с мнимым продолжением [Текст] / О.А. Графский, В.Г. Ли // Известия ТРТУ. 2004. - № 8 (43). - С. 249-253.
12. Иванов Г.С. О задачах начертательной геометрии с мнимыми решениями [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика. - 2015. - Т. 3. - № 2. - C. 3-8. DOI:https://doi.org/10.12737/12163.
13. Кириллов А.А. Что такое число? [Текст] / А.А. Кириллов - М.: Изд-во Физматлит, 1993. - 80 с. - ISBN 5-02-014942-3.
14. Клейн Ф. Высшая геометрия [Текст] / Ф. Клейн. - М.: УРСС, 2004. - 400 с.
15. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей [Текст]. В 2 т. Т. 2: Геометрия / Ф. Клейн. - М.: Наука, 1987. - 416 с.
16. Короткий В.А. Графические алгоритмы построения квадрики, заданной девятью точками [Текст] / В.А. Короткий // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - № 2. - C. 3-12. DOI:https://doi.org/10.12737/article_5d2c1502670779.58031440.
17. Короткий В.А. Компьютерная визуализация кривой второго порядка, проходящей через мнимые точки и касающейся мнимых прямых [Текст] / В.А. Короткий // Научная визуализация. - 2018. - Т. 10. - № 1. - С. 56-68. DOI:https://doi.org/10.26583/sv.10.1.04.
18. Короткий В.А. Конические сечения в компьютерной графике [Текст] / В.А. Короткий // Наука ЮУрГУ материалы 70-й научной конференции. Южно-Уральский государственный университет. - 2018. - С. 105-109.
19. Короткий В.А. Мнимые линейные элементы в алгебре, геометрии и компьютерной графике [Текст] / В.А. Короткий //Прикладная математика и фундаментальная информатика. - 2019. - Т. 6. - № 2. - С. 34-48. DOI:https://doi.org/10.25206/2311-4908-2019-6-2-34-48.
20. Короткий В.А. Мнимые прямые в декартовой системе координат [Текст] / В.А. Короткий // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - № 4. - C. 5-17. DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-5-17.
21. Короткий В.А. Соприкосновение конических сечений [Текст] / В.А. Короткий // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - № 3. - C. 36-45. DOI:https://doi.org/10.12737/21532.
22. Пеклич В.А. Мнимая начертательная геометрия: учеб. пособие [Текст] / В.А. Пеклич. - М.: Издательство ассоциации строительных вузов, 2007. - 104 с.
23. Сахарова Н.А. Сравнительный конструктивный и аналитический анализ трансформации квадрик [Текст] / Н.А. Сахарова, Ю.В. Пономарчук, О.А. Графский // Современная наука: новые подходы и актуальные исследования Материалы Международной (заочной) научно-практической конференции: под ред. А.И. Вострецова. - 2018. - С. 41-45.
24. Суворов Ф.М. Об изображении воображаемых точек и воображаемых прямых на плоскости и о построении кривых линий второй степени, определяемых с помощью воображаемых точек и касательных [Текст] / Ф.М. Суворов - Казань: Типография императорского Университета, 1884. - 130 с.
25. Флоренский П.А. Мнимости в геометрии: расширенные области двухмерных образов геометрии (опыт нового истолкования мнимостей). Изд. 2-е. [Текст] / П.А. Флоренский. - М.: Едиториал УРСС, 2004. - 72 с. - ISBN 5-354-00714-3/.
26. Яглом И.М. Комплексные числа и их применение в геометрии. [Текст] / И.М. Яглом - М.: Едиториал УРСС, 2004. - 192 с.
27. Duden Rechnen und Mathematik: - Mannheim, Wien, Zürich: Dudenverlag, 2000. 720 p.
28. Girsch А. Ехtеnsion оf thе 'Villarceau-Sektion' tо Surfaces of Revolution with а Generating Соniс // Jurnal for Сеоmetrу and Graphics, 6(2000/2), р. 121-132.
29. Hirsch A. Extension of the 'Villarceau-Sektion' to Surfaces of Revolution with a Generating Conic // Jurnal for Geometriy and Graphics, V. 6 (2000), I. 2, pp. 121-132.
30. Stachel H.: Remarks on A. Hirsch's Paper conserning Villatceau-Sections. Jurnal for Geometriy and Graphics V. 6, (2002), pp.133-139
31. Reye Th. Geometrie der Lage. 1. Abteilung. - Leipzig, 1882, 215 S.
