докторант
Узбекистан
Кратким историческим экскурсом в графику геометрии многомерных пространств в начале стати, уточняется проблема – необходимость уменьшения количества геометрических действий, выполняемых при изображении многомерных объектов. В основу решения проблемы, ставятся свойства геометрических фигур, носящих название N-симплексы, количество вершин которых равно N + 1, где N выражает их размерность. Центр тяжести (центроид) N-симплекса находится в точке, делящей отрезок прямой линии, соединяющей центроид (N – 1)-симплекса, содержащегося в нем с противоположной вершиной на 1:N. Это свойство сохраняется в параллельной проекции (аксонометрии) симплекса на плоскости чертежа, что позволяет решение задачи на определение центроида симплекса в ее аксонометрии возложить на механизм, представляющий собой особую сборку из пантографов (изобретение автора) с коэффициентами подобия 1:1, 1:2, 1:3, 1:4, …, 1:N. Далее устанавливается, что пространственное место точки N-мерного пространства совпадает с центроидом симплекса, вершины которого расположены на ее N-кратных (барицентрических) координатах. В аксонометрии концы обоих звеньев первого пантографа и концы только длинных звеньев остальных вставляются в точки, указывающие на проекции ее барицентрических координат и узел механизма, служащий как детерминатор, графически отмечает аксонометрическое место точки, заданной своими координатами по осям х1, х2, х3, … хN. Поступательное движение стержней суппортов независимо друг от друга может приблизить или удалить барицентрические координаты точки по отношению начала координат, тем самым назначая соответствующие аксонометрические места центру тяжести симплекса, меняющего свою форму в зависимости от занимаемых мест его точек в координатных осях. А это есть аксонограф N-мерного пространства, управляемый числовой программой. Последнее положение указывает на возможность использования уравнений геометрических объектов многомерных пространств, даваемых в соответствующей литературе для автоматического вычерчивания чертежей — при составлении таких программ.
симплексы, центр тяжести (центроид), пантограф, центроидограф симплекса, N-мерное пространство, координатный параллелепипед, барицентрические координаты, суппорты, аксонограф многомерного пространства
1. Абдурахманов Ш. Прибор для определения центра тяжести n-мерного симплекса. Авторское свидетельство SU 1031794 // Бюллетень изобретений СССР - М., 1983. - № 28. - 4 с.
2. Абдурахманов Ш. Способы аксонометрического изображения точек объектов многомерных пространств [Текст] / Ш. Абдурахманов // Научная жизнь - 2010, № 6. - С. 50 - 54.
3. Александров П.С. Барицентрические координаты. Симплексы [Текст] / П.С. Александров, В.А. Пасынков // Введение в теорию размерности. - М.: Наука, 1973. - С. 196 - 199, С. 201-211.
4. Балк М.Б. Геометрические приложения понятия о центре тяжести [Текст] / М.Б. Балк. - М.: Физматгиз, 1959. - 230 с.
5. Балк М.Б. Барицентрические координаты [Текст] М.Б. Балк, В.Г. Болтянский // Геометрия масс. - М.: Наука, 1987. - Гл. 4. - С. 76-128.
6. Бойков А.А. О построении моделей объектов пространства четырех и более измерений в учебном процессе [Текст] /А.А. Бойков //Геометрия и графика. - 2018. - Т. 6. - № 4. - С. 54-71. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5c21f96dce5de8.36096061.
7. Вышнепольский В.И. Цели и методы обучения графическим дисциплинам [Текст] / В.И. Вышнепольский, Н.А. Сальков //Геометрия и графика. - 2013. - Т. 1. - № 2. - С. 8-9. - DOI:https://doi.org/10.12737/777.
8. Гордевский Д.З. Популярное введение в многомерную геометрию [Текст] / Д.З. Гордевский, А.С. Лейбин. - Харьков, Издательство Харьковского госуниверситета, 1964. - 192 с.
9. Глейзер Г.И. Развитие топологии. Обобщение понятия геометрического пространства [Текст] / Г.И. Глейзер. История математики в школе: IX-X кл. - М.: Просвещение, 1983. - Гл. 1. - С. 296-307.
10. Гумен Н.С. Зависимость между элементами аксонометрического проецирования в прямоугольной многомерной аксонометрии [Текст] / Н.С. Гумен, А.В. Павлов // Межведомственный республиканский научно-технический сборник «Прикладная геометрия и инженерная графика»: сб. статей / отв. редактор В.Е. Михайленко - Киев: Будiвильник, 1967. - Вып. 8. - С. 123-127.
11. Иванов Г.С. Предыстория и предпосылки трансформации начертательной геометрии в инженерную геометрию [Текст] / Г.С. Иванов // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - № 2. - С. 29-35. - DOI:https://doi.org/10.12737/19830.
12. Кадыкова Н.С. Реформирование оценок геометро-графических знаний [Текст] / Н.С. Кадыкова, Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2013. - Т.1. - № 1. - С. 52-53. - DOI: 10. 12737/475.
13. Козловский Ю.Г. Возникновение и развитие начертательной геометрии … [Текст] / Ю.Г. Козловский // Методика курса «Начертательная геометрия»: сб. статей / с предисловием проф. Н.Ф. Четверухина. - Минск: «Вышэйшая школа», 1971. - С. 22-42.
14. Котов И.И. Неполные чертежи с точки зрения многомерной геометрии [Текст] / И.И. Котов // Методы начертательной геометрии и ее приложения: сб. статей / под ред. Н.Ф. Четверухина. - Москва, Госиздат технико-теоретической литературы, 1955. - С. 178-182.
15. Куликов С.М. Введение в начертательную геометрию многомерных пространств [Текст] / С.М. Куликов. - М.: Машиностроение, 1970. - 84 с.
16. Левкин Ю.С. Получение четырехмерных номограмм на базе теоремы подобия [Текст] / Ю.С. Левкин // Геометрия и графика. - 2017. - Т. 5. - № 2. - С. 69-74. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5953f334279642.78930109.
17. Левкин Ю.С. Пятимерная двухоктантовая эпюрная номограмма [Текст] / Ю.С. Левкин // Геометрия и графика. - 2017. - Т. 5. - № 4. - С. 44-51. - DOI: 10.12737 /article_5a17fecf 2feac9.18123975.
18. Левкин Ю.С. Шестимерная эпюрная номограмма в четырехоктантовом измерении [Текст] / Ю.С. Левкин // Геометрия и графика. - 2018. - Т. 6. - № 1. - С. 39-47. - DOI: 10.12737 /article_5ad098b05fl559.36303938.
19. Ляшков А.А. Особенность отображения гиперповерхности четырехмерного пространства [Текст] / А.А. Ляшков, К.Л. Панчук, Л.Г. Варело // Геометрия и графика. - 2013. - Том 5. - № 3. - С. 3-10. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_59bfa3078 af4c1.45321238.
20. Маневич В. А. Точечные массы и векторы. Барицентрические координаты [Текст] / В.А. Маневич, И.И. Котов, А.Р. Зенгин // Аналитическая геометрия с теорией изображений. - М.: Высшая школа, 1969. - Гл. 1. - С. 7-20.
21. Мякишев А.Г. Барицентрические координаты [Текст] / А.Г. Мякишев // Элементы геометрии треугольника - М.: Центр непрерывного математического образования, 2002. - Гл. 1. - С.: 17-28.
22. Нарзуллаев С.А. Расчет n-мерного пространства. Отв. ред. В.Е. Михайленко [Текст] / С.А. Нарзуллаев. - Ташкент, «Фан» АН УзССР, 1991. -224 с.
23. Наумович Н.В. Применение многомерной начертательной геометрии к доказательству некоторых теорем планиметрии и стереометрии [Текст] / Н.В. Наумович // Методы начертательной геометрии и ее приложения: сб. статей / под редакцией Н.Ф. Четверухина. - Москва, Госиздат технико-теоретической литературы, 1955. - С. 183-193.
24. Первикова В.Н. Обобщение основной теоремы центральной аксонометрии на пространство n измерений [Текст] / В.Н. Первикова // Методы начертательной геометрии и ее приложения: сб. статей / под редакцией Н.Ф. Четверухина. - Москва, Госиздат технико-теоретической литературы, 1955. - С. 141-155.
25. Прянишникова З.И. Обобщение проекций Е.С. Федорова [Текст] / З.И. Прянишникова //Методы начертательной геометрии и ее приложения: сб. статей / под редакцией Н.Ф. Четверухина. - Москва, Госиздат технико-теоретической литературы, 1955. - С. 156-174.
26. Пухначев Ю.В. Путешествие по всем пространствам [Текст] / Ю.В. Пухначев, Ю.П. Попов // Юный техник. - 1967. - № 12. - С. 42-45.
27. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства [Текст] / Б.А. Розенфельд. - М.: Наука, 1966. - 648 с.
28. Селиверстов А.В. Прикладная многомерная начертательная геометрия сегодня и вчера // А.В. Селиверстов // Международная интернет-конференция «Качество графической подготовки: Проблемы, традиции, инновации», Пермь, 2019, - URL: http://dgng.pstu.ru/conf2019/papers/68/
29. Сальков Н.А. Отображение проблем геометрического образования в журнале «Геометрия и графика» [Текст] / Н.А. Сальков //Геометрия и графика. - 2020. - Том 8. - №3. - С. 87 - 119. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-87-119.
30. Соколова Л.С. Абстрактные многомерные пространства в инженерном образовании // Л.С. Соколова // Международная интернет-конференция «Качество графической подготовки: Проблемы, традиции, инновации», Пермь, 2019, - URL: http://dgng. pstu.ru/.conf2019/papers/68/
31. Соколова Л.С. Многомерное пространство и наглядная геометрия в учебной программе по геометрической подготовке для бакалавриата [Текст] / Л.С. Соколова // Геометрия и графика. - 2015. - Том 3. - № 1. - С. 40-46. - DOI:https://doi.org/10.12737/10457.
32. Филиппов П.В. Начертательная геометрия многомерного пространства и ее приложения [Текст] / П.В. Филиппов - Ленинград: издательство ЛГУ, 1979. - 280 с.
33. Четверухин Н.Ф. Многомерная аксонометрия [Текст] / Е.А. Глазунов, Н.Ф. Четверухин // Аксонометрия. - М.: Госиздат технико-теоретической литературы, 1953. - Гл. 3 - С. 72-87.
34. Четверухин Н.Ф. О некоторых вопросах многомерной геометрии [Текст] / Н.Ф. Четверухин // Межведомственный республиканский научно-технический сборник «Прикладная геометрия и инженерная графика»: сб. статей / отв. редактор В.Е. Михайленко - Киев: Будiвильник, 1970. - Вып. 10. - с. 10-12.
35. Четверухин Н.Ф. Формы высших ступеней в многомерном расширенном евклидовом пространстве [Текст] / Н.Ф. Четверухин // Межведомственный республиканский научно-технический сборник «Прикладная геометрия и инженерная графика»: сб. статей / отв. редактор В.Е. Михайленко - Киев: Будiвильник, 1971. - Вып. 12. - с. 3-4.
36. Шитов В.М. Механизация чертежно-конструкторских работ [Текст] / В.М. Шитов - М.: Машиностроение, 1966. - 72 с.
37. Юрков В.Ю. Формальное представление условий инцидентности в многомерных проективных пространствах [Текст] / В.Ю. Юрков // Геометрия и графика. - 2016. - Том 4. - № 4. - С. 3 - 13. - DOI:https://doi.org/10.12737/22838.
38. Möbius August Ferdinand. Der baricentrishe Calcul. - Leipzig, 1827. - 460 p.
