Челябинск, Челябинская область, Россия
Рассматриваются исторически первые (60-е гг. XX в.) вычислительные способы конструирования алгебраических кривых третьего порядка. Выполнен анализ уравнения кубической кривой общего вида r(t) = a3t3 + a2t2 + a1t + a0. В качестве примера рассмотрена простейшая кубическая кривая r(t) = it3 + jt2 + kt. На основе уравнения кубической кривой общего вида получены уравнения кубической кривой, проходящей через две наперед заданные точки и имеющей в этих точках наперед заданные касательные. Уравнения представлены как в форме Фергюсона, так и в форме Безье. Показано, что векторное уравнение кубической кривой (например, стандартное уравнение кривой Безье) может быть представлено в точечной форме. Рассмотрены примеры конструирования сегментов кубических кривых, удовлетворяющих заданным граничным условиям. Обобщенное уравнение кубической кривой, содержащее весовые коэффициенты, получено способом выхода в четырехмерное пространство. Рассмотрено векторное параметрическое уравнение конического сечения, проходящего через две данные точки и касающегося в этих точках наперед заданных прямых. Коническое сечение рассматривается как частный случай кубической кривой. В качестве дополнительного граничного условия может быть задана кривизна. Рассмотрена возможность построения кубической кривой, у которой в концевых точках зафиксированы положения соприкасающихся плоскостей и заданы радиусы кривизны. Предложен алгоритм построения плоской кубической кривой с заданной кривизной в конечных точках. Рассмотрены алгоритмы построения гладких составных кривых Фергюсона — Безье. На составную кривую накладываются условия гладкости: 1) в любой своей точке кривая должна иметь касательную (не допускаются изломы); 2) вектор кривизны должен изменяться непрерывно от точки к точке (не допускается скачкообразное изменение вектора кривизны ни по модулю, ни по направлению). Предложены примеры конструирования составных кривых Фергюсона — Безье. Выполнено сравнение полиномиального кубического сплайна с составными параметрически заданными кривыми. Даны примеры построения кубических сплайнов с защемленными и свободными концами. Статья имеет учебный характер и предназначена для углубленного изучения основ компьютерной графики.
кривая Фергюсона, кривая Безье, составная кривая, гладкость, кривизна, кубический сплайн
1. Бойков А.А. О построении моделей объектов пространства четырех и более измерений в учебном процессе / [Текст] А.А. Бойков // Геометрия и графика. - 2018. - Т. 6. - № 4. - С. 54-71. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5c21f96dce5de8.36096061.
2. Борисенко В.В. Построение оптимального сплайна Безье / [Текст] В.В. Борисенко // Фундаментальная и прикладная математика. - 2016. - Т. 21. - № 3. - С. 57-72.
3. Бронштейн И.Н. Справочник по математике / [Текст] И.Н. Бронштейн, Семендяев К.А. - М.: Наука, 1986. - 544 с.
4. Голованов Н.Н. Геометрическое моделирование / [Текст] Н.Н. Голованов. - М.: Изд-во физико-математической литературы, 2012. - 472 с.
5. Готовцев А.А. Аutodesk alias: с чего начать? [Текст] / А.А. Готовцев // CADMASTER - № 5 (66) / 2012. - С. 42-44.
6. Завьялов Ю.С. Сплайны в инженерной геометрии / [Текст] Ю.С. Завьялов, В.А. Леус, В.А. Скороспелов. - М.: Машиностроение, 1985. - 224 с.
7. Конопацкий Е.В. Вычислительные алгоритмы моделирования одномерных обводов через k наперед заданных точек / [Текст] Е.В. Конопацкий, А.А. Крысько, А.И. Бумага // Геометрия и графика. - 2018. - Т. 6. - № 3. - С. 20-32. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5bc457ece18491.72807735.
8. Любчинов Е. В. О гладкости стыковки линий и поверхностей при циклографическом моделировании поверхностных форм автомобильных дорог / [Текст] Е.В. Любчинов, К.Л. Панчук // Вестник ЮУрГУ. Серия “Строительство и архитектура”. - 2020. - Т. 20 - № 1. - С. 52-62. DOI:https://doi.org/10.14529/build200106.
9. Муфтеев В.Г. Моделирование кривых высокого качества // В.Г. Муфтеев // Электронный журнал «Прикладная геометрия». - 2007. - Вып. 9. - № 19. - www. mai.ru/~apg. - С. 25-74.
10. Назарова О.Н. Современные проблемы преподавания курса “Прикладная геометрия и инженерная графика” для эксплуатационных направлений авиационного вуза / [Текст] О.Н. Назарова // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8 - № 2. - С. 58-65. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-58-65.
11. Понтрягин Л.С. Кубическая парабола / [Текст] Л.С. Понтрягин // Научно-популярный физико-математический журнал «Квант». - 1984. - № 3. - С. 10-14, 32.
12. Препарата Ф. Вычислительная геометрия / [Текст] Ф. Препарата, М. Шеймос. - М.: Мир, 1989. - 478 с.
13. Савельев Ю.А. Вычислительная графика в решении нетрадиционных инженерных задач / [Текст] Ю.А. Савельев, Е.Ю. Черкасова // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8 - № 1. - С. 33-44. - DOI:https://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-33-44.
14. Сальков Н.А. Геометрическая составляющая технических инноваций / [Текст] Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2018. - Т. 6 - № 2. - С. 85-93. - DOIhttps://doi.org/10.12737/article_5b55a5163fa053.07622109.
15. Сухих Б.И. Вычислительная геометрия. Основные объекты и преобразования: учебное пособие / [Текст] Б.И. Сухих, Р.А. Вайсбурд. - Екатеринбург, изд-во УПИ, 1989. - 92 с.
16. Усатая Т.В. Современные подходы к проектированию изделий в процессе обучения студентов компьютерной графике / [Текст] Т.В. Усатая, Л.В. Дерябина, Е.С. Решетникова // Геометрия и графика. - 2019. -Т. 7 - № 1. - С. 74-82. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5c91fd2bde0ff7.07282102.
17. Федосеева М.А. Методика подготовки студентов технических вузов графическим дисциплинам / [Текст] М.А. Федосеева // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7 - № 1. - С. 68-73. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5c91fed8650bb7.79232969.
18. Фиников С.П. Курс дифференциальной геометрии / [Текст] С.П. Фиников. - М.: URSS, 2006. - 344 с.
19. Фокс А. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве / [Текст] А. Фокс, М. Пратт. - М.: Мир, 1982. - 304 с.
20. Шикин Е.В. Кривые и поверхности на экране компьютера / [Текст] Е.В. Шикин, Л.И. Плисс. - Диалог-МИФИ, 1996. - 240 с.
