сотрудник с 01.10.2008 по настоящее время
Россия
Поверхности земляных сооружений используются, в основном, как линейчатые. Значение линейчатых поверхностей в хозяйственной деятельности человека нельзя переоценить. Они используются повсеместно: в машиностроении, в самолето- и автомобилестроении, в сельском хозяйстве, в строительстве, в легкой промышленности. В данной работе рассматривается их использование в качестве земляных сооружений в горной промышленности и при строительстве и реконструкции автомобильных дорог. Приводятся геометрическая и математическая модели откосов насыпей и выемок. Предложенную математическую модель удобно использовать для компьютерного моделирования откосов, а также для определения линии пересечения откосов с поверхностью земли.
моделирование поверхностей, линейчатые поверхности, геометрия, строительство, горное производство
1. Введение
Земляные сооружения применяются довольно давно. Это плотины, каналы, дамбы (рис. 1), фортификационные сооружения; это – насыпи и выемки при строительстве и реконструкции автомобильных и железных дорог, насыпи и выемки в горнодобывающей промышленности (рис. 2, 3); откосы насыпей и выемок при возведении различных зданий и сооружений в промышленном и гражданском строительстве.
Поверхностями, служащими откосами выемок и насыпей, являются линейчатые поверхности. Это хорошо видно по рис. 1–3.
Линейчатые поверхности используются в технике [2; 3; 7], в строительстве [9; 14; 15], в дизайне, в сельском хозяйстве в горнообрабатывающей промышленности [11]. Любая линейчатая поверхность [22; 23] может быть задана тремя направляющими (линиями и / или поверхностями) и тремя геометрическими условиями, характеризующими отношение образующей к этим направляющим. К геометрическим условиям относятся: пересечение с направляющей линией, касание или пересечение под определенным острым углом с направляющей поверхностью.
В литературе по начертательной геометрии для строительных [1; 8; 10], транспортных, горных [6] и архитектурных вузов [4; 5; 18; 20] рассмотрение земляных сооружений находится в разделе проекций с числовыми отметками, однако там приводятся самые простые примеры [24].
В данной работе рассмотрим получение математической модели поверхности земляного сооружения на более высоком уровне: получим математическую модель линейчатой поверхности общего вида.
Имеется некоторая пространственная линия, которая принимается в качестве первой направляющей линейчатой поверхности земляного сооружения. Требуется создать математическую модель поверхности земляного сооружения.
2. Моделирование поверхности земляного сооружения
В [24] представлено моделирование поверхности откоса насыпи (выемки) при задании направляющей линии t в виде наклонной под углом ω прямой (рис. 4). В этом случае наклонную прямую t можно определить, как ∞1 вершин Тi конусов вращения Ωi с вертикальными осями. Огибающей поверхностью этого ∞1 конусов вращения Ωi будет плоскость Σ. Это ∞1 конусов можно заменить на ∞1 образующих прямых li, как показано на рис. 4. Для этого в некотором отдалении от вершины Т i проводим горизонтальную плоскость П, которая пересекает направляющую прямую t в точке К, а сам конус вращения – по окружности m. Касательная КМ к окружности m, проходящая через точку К, дает нам точку касания М i. Тогда прямая Т iM i с углом наклона φ будет являться искомой образующей li. Получающаяся в результате плоскость Σ является искомой плоскостью насыпи, а в случае, если вершина будет находиться ниже плоскости П, – выемки проектируемого земляного сооружения.
Если перейти от рис. 4 к более общей картине формирования геометрической модели поверхности откоса земляного сооружения, то вместо направляющей прямой t берется направляющая пространственная кривая k (рис. 5). Конфигурация – та же самая. Только вместо направляющей прямой линии имеем кривую k, а касательная к ней прямая ti в каждой точке Тi совместно с конусом вращения Ωi с вершиной в той же точке Тi, имеющим угол наклона φ образующих к горизонтальной плоскости П1 дает нам единственную образующую М iТ i. Эта образующая и будет искомой для получения поверхности земляного сооружения.
Как работает эта схема. Образующая li пересекает направляющую k, находится под углом φ ко второй направляющей – плоскости П1 и «касается» ∞1 направляющих плоскостей Σ. Три направляющих, три геометрических условия фиксируют у ∞4 прямых три параметра, оставляя ∞1 прямых, т.е. линейчатую поверхность, которая и будет искомой.
Поскольку поверхность откоса является огибающей ∞1 конусов вращения, возьмем в качестве образующей li одну из образующих конуса. Пусть высота конуса при этом для упрощения расчетов равняется единице (êSS1 ê=1). Образующая конуса выбирается следующим образом. Вершина Тi конуса вращения (рис. 2) принадлежит направляющей k. Через вершину Тi проводится прямая t, касательная к направляющей k в точке Тi, и из точки А пересечения прямой ti с плоскостью основания конуса П1 проводится прямая, касательная к его основанию m в точке Мi. Точка Тi и точка Мi определяют положение образующей откоса.
Вывод
В результате теоретических изысканий была предложена геометрическая модель поверхности земляного сооружения, и разработана ее математическая модель, удобная для использования на компьютере.
На рассмотренном примере еще раз можно убедиться в верности предложенного закона образования линейчатых поверхностей: линейчатая поверхность задается тремя направляющими и тремя геометрическими условиями, характеризующими отношение образующей к этим направляющим [22; 23]. При этом предложенный закон образования линейчатой поверхности не противоречит общепризнанной теории параметрической геометрии.
Можно также в очередной раз убедиться в верности того, что именно начертательная геометрия является основой для аналитических выкладок [16], которые впоследствии становятся основой компьютерных программ [17], а поэтому недаром до революции 1917 г. в реальных училищах изучали начертательную геометрию в полном объеме [13; 19]. Тем более, что начертательная геометрия является, и никто этого не опроверг, теорией изображений [12; 21].
1. Виницкий И.Г. Начертательная геометрия [Текст] / И.Г. Виницкий. - М.: Высшая школа, 1975. - 280 с.
2. Калашников С.Н. Зубчатые колеса и их изготовление [Текст] / С.Н. Калашников, А.С. Калашников. - М.: Машиностроение, 1983. - 264 с.
3. Камалов А. Конструирование линейчатых поверхностей каркасно-параметрическим методом и их применение [Текст]: автореф. дис. … канд. техн. наук. - Самарканд, 1980.
4. Климухин А.Г. Начертательная геометрия [Текст] / А.Г. Климухин. - М.: Стройиздат, 1978. - 334 с.
5. Короев Ю.И. Начертательная геометрия [Текст] / Ю.И. Короев. - М.: КНОРУС, 2011. - 432 с.
6. Ломоносов Г.Г. Инженерная графика [Текст] / Г.Г Ломоносов. - М.: Недра, 1984. - 287 с.
7. Милосердов Е.П. Расчет параметров конструкции и разработка алгоритмов реализации аналемматических солнечных часов [Текст] / Е.П. Милосердов, М.А. Глебов // Геометрия и графика. - 2014. - Т. 2. - № 3. - С. 14-16. - DOI:https://doi.org/10.12737/2076.
8. Пеклич В.А. Начертательная геометрия [Текст] / В.А. Пеклич. - М.: Издательство ассоциации строительных вузов, 2007. - 272 с.
9. Подгорный А.Л. Конструирование поверхностей оболочек по заданным условиям на основе выделения их из конгруэнций прямых [Текст] / А.Л. Подгорный // Прикладная геометрия и инженерная графика. - 1969. - Вып. 8. - С. 17-28.
10. Русскевич Н.Л. Начертательная геометрия [Текст] / Н.Л. Русскевич. - Киев: Вища школа, 1978. - 312 с.
11. Сальков Н.А. Геометрическая составляющая технических инноваций [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2018. - Т. 6. - № 2. - С. 85-94. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5b55a5163fa053.07622109.
12. Сальков Н.А. Искусство и начертательная геометрия [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2013. - Т. 1. - № 3-4. - С. 3-7. - OI:https://doi.org/10.12737/2123.
13. Сальков Н.А. Курс начертательной геометрии Гаспара Монжа [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2013. - Т. 1. - № 3-4. - С. 52-57. - OI:https://doi.org/10.12373/2135.
14. Сальков Н.А. Моделирование автомобильных дорог [Электронный ресурс] / Н. А. Сальков. - М.: ИНФРА-М, 2012. - 120 с.
15. Сальков Н.А. Моделирование геометрических форм автомобильных дорог: монография [Текст] / Н.А. Сальков. - М.: ИНФРА-М, 2019. - 162 с.
16. Сальков Н.А. Начертательная геометрия - база для геометрии аналитической [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - № 1. - С. 44-54. - DOI:https://doi.org/10.12737/18057.
17. Сальков Н.А. Начертательная геометрия - база для компьютерной графики [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - № 2. - С. 37-47. - DOI:https://doi.org/10.12737/19832.
18. Сальков Н.А. Начертательная геометрия. Базовый курс [Текст]: учеб. пособие / Н.А. Сальков. - М.: ИНФРА-М, 2013. - 184 с.
19. Сальков Н.А. Начертательная геометрия до 1917 года [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2013. - Т. 1. - № 2. - С. 18-20. - DOI:https://doi.org/10.12737/780.
20. Сальков Н.А. Начертательная геометрия. Основной курс [Текст] / Н.А. Сальков. - М.: ИНФРА-М, 2014. - 235 с.
21. Сальков Н.А. Начертательная геометрия - теория изображений [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - № 4. - С. 41-47. - DOI:https://doi.org/10.12737/22842.
22. Сальков Н.А. Общие принципы задания линейчатых поверхностей. Часть 1 [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2018. - Т. 6. - № 4. - С. 20-31. DOI:https://doi.org/10.12737/article_5c21f4a06dbb74.56415078.
23. Сальков Н.А. Общие принципы задания линейчатых поверхностей. Часть 2 [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - № 1. - С. 14-27. DOI:https://doi.org/10.12737/article_5c9201eb1c5f06.47425839.
24. Сальков Н.А. Формирование поверхностей откосов насыпей и выемок [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - № 1. - С. 55-63. - DOI:https://doi.org/10.12737/18058.
