employee from 01.10.2008 until now
Russian Federation
The surfaces of earthworks are mainly used as linear structures. The importance of linear surfaces in human economic activity cannot be overestimated. They are used everywhere: in mechanical engineering, in aircraft and automobile manufacturing, in agriculture, in construction, and in light industry. This paper discusses their use as earthworks in the mining industry and in the construction and reconstruction of highways. Geometric and mathematical models of embankment of slopes and recesses are presented. The proposed mathematical model is convenient to use for computer modeling of slopes, as well as for determining the line of intersection of slopes with the earth's surface.
surface modeling, linear surfaces, geometry, construction, mining
1. Введение
Земляные сооружения применяются довольно давно. Это плотины, каналы, дамбы (рис. 1), фортификационные сооружения; это – насыпи и выемки при строительстве и реконструкции автомобильных и железных дорог, насыпи и выемки в горнодобывающей промышленности (рис. 2, 3); откосы насыпей и выемок при возведении различных зданий и сооружений в промышленном и гражданском строительстве.
Поверхностями, служащими откосами выемок и насыпей, являются линейчатые поверхности. Это хорошо видно по рис. 1–3.
Линейчатые поверхности используются в технике [2; 3; 7], в строительстве [9; 14; 15], в дизайне, в сельском хозяйстве в горнообрабатывающей промышленности [11]. Любая линейчатая поверхность [22; 23] может быть задана тремя направляющими (линиями и / или поверхностями) и тремя геометрическими условиями, характеризующими отношение образующей к этим направляющим. К геометрическим условиям относятся: пересечение с направляющей линией, касание или пересечение под определенным острым углом с направляющей поверхностью.
В литературе по начертательной геометрии для строительных [1; 8; 10], транспортных, горных [6] и архитектурных вузов [4; 5; 18; 20] рассмотрение земляных сооружений находится в разделе проекций с числовыми отметками, однако там приводятся самые простые примеры [24].
В данной работе рассмотрим получение математической модели поверхности земляного сооружения на более высоком уровне: получим математическую модель линейчатой поверхности общего вида.
Имеется некоторая пространственная линия, которая принимается в качестве первой направляющей линейчатой поверхности земляного сооружения. Требуется создать математическую модель поверхности земляного сооружения.
2. Моделирование поверхности земляного сооружения
В [24] представлено моделирование поверхности откоса насыпи (выемки) при задании направляющей линии t в виде наклонной под углом ω прямой (рис. 4). В этом случае наклонную прямую t можно определить, как ∞1 вершин Тi конусов вращения Ωi с вертикальными осями. Огибающей поверхностью этого ∞1 конусов вращения Ωi будет плоскость Σ. Это ∞1 конусов можно заменить на ∞1 образующих прямых li, как показано на рис. 4. Для этого в некотором отдалении от вершины Т i проводим горизонтальную плоскость П, которая пересекает направляющую прямую t в точке К, а сам конус вращения – по окружности m. Касательная КМ к окружности m, проходящая через точку К, дает нам точку касания М i. Тогда прямая Т iM i с углом наклона φ будет являться искомой образующей li. Получающаяся в результате плоскость Σ является искомой плоскостью насыпи, а в случае, если вершина будет находиться ниже плоскости П, – выемки проектируемого земляного сооружения.
Если перейти от рис. 4 к более общей картине формирования геометрической модели поверхности откоса земляного сооружения, то вместо направляющей прямой t берется направляющая пространственная кривая k (рис. 5). Конфигурация – та же самая. Только вместо направляющей прямой линии имеем кривую k, а касательная к ней прямая ti в каждой точке Тi совместно с конусом вращения Ωi с вершиной в той же точке Тi, имеющим угол наклона φ образующих к горизонтальной плоскости П1 дает нам единственную образующую М iТ i. Эта образующая и будет искомой для получения поверхности земляного сооружения.
Как работает эта схема. Образующая li пересекает направляющую k, находится под углом φ ко второй направляющей – плоскости П1 и «касается» ∞1 направляющих плоскостей Σ. Три направляющих, три геометрических условия фиксируют у ∞4 прямых три параметра, оставляя ∞1 прямых, т.е. линейчатую поверхность, которая и будет искомой.
Поскольку поверхность откоса является огибающей ∞1 конусов вращения, возьмем в качестве образующей li одну из образующих конуса. Пусть высота конуса при этом для упрощения расчетов равняется единице (êSS1 ê=1). Образующая конуса выбирается следующим образом. Вершина Тi конуса вращения (рис. 2) принадлежит направляющей k. Через вершину Тi проводится прямая t, касательная к направляющей k в точке Тi, и из точки А пересечения прямой ti с плоскостью основания конуса П1 проводится прямая, касательная к его основанию m в точке Мi. Точка Тi и точка Мi определяют положение образующей откоса.
Вывод
В результате теоретических изысканий была предложена геометрическая модель поверхности земляного сооружения, и разработана ее математическая модель, удобная для использования на компьютере.
На рассмотренном примере еще раз можно убедиться в верности предложенного закона образования линейчатых поверхностей: линейчатая поверхность задается тремя направляющими и тремя геометрическими условиями, характеризующими отношение образующей к этим направляющим [22; 23]. При этом предложенный закон образования линейчатой поверхности не противоречит общепризнанной теории параметрической геометрии.
Можно также в очередной раз убедиться в верности того, что именно начертательная геометрия является основой для аналитических выкладок [16], которые впоследствии становятся основой компьютерных программ [17], а поэтому недаром до революции 1917 г. в реальных училищах изучали начертательную геометрию в полном объеме [13; 19]. Тем более, что начертательная геометрия является, и никто этого не опроверг, теорией изображений [12; 21].
1. Vinickiy I.G. Nachertatel'naya geometriya [Tekst] / I.G. Vinickiy. - M.: Vysshaya shkola, 1975. - 280 s.
2. Kalashnikov S.N. Zubchatye kolesa i ih izgotovlenie [Tekst] / S.N. Kalashnikov, A.S. Kalashnikov. - M.: Mashinostroenie, 1983. - 264 s.
3. Kamalov A. Konstruirovanie lineychatyh poverhnostey karkasno-parametricheskim metodom i ih primenenie [Tekst]: avtoref. dis. … kand. tehn. nauk. - Samarkand, 1980.
4. Klimuhin A.G. Nachertatel'naya geometriya [Tekst] / A.G. Klimuhin. - M.: Stroyizdat, 1978. - 334 s.
5. Koroev Yu.I. Nachertatel'naya geometriya [Tekst] / Yu.I. Koroev. - M.: KNORUS, 2011. - 432 s.
6. Lomonosov G.G. Inzhenernaya grafika [Tekst] / G.G Lomonosov. - M.: Nedra, 1984. - 287 s.
7. Miloserdov E.P. Raschet parametrov konstrukcii i razrabotka algoritmov realizacii analemmaticheskih solnechnyh chasov [Tekst] / E.P. Miloserdov, M.A. Glebov // Geometriya i grafika. - 2014. - T. 2. - № 3. - S. 14-16. - DOI:https://doi.org/10.12737/2076.
8. Peklich V.A. Nachertatel'naya geometriya [Tekst] / V.A. Peklich. - M.: Izdatel'stvo associacii stroitel'nyh vuzov, 2007. - 272 s.
9. Podgornyy A.L. Konstruirovanie poverhnostey obolochek po zadannym usloviyam na osnove vydeleniya ih iz kongruenciy pryamyh [Tekst] / A.L. Podgornyy // Prikladnaya geometriya i inzhenernaya grafika. - 1969. - Vyp. 8. - S. 17-28.
10. Russkevich N.L. Nachertatel'naya geometriya [Tekst] / N.L. Russkevich. - Kiev: Vischa shkola, 1978. - 312 s.
11. Sal'kov N.A. Geometricheskaya sostavlyayuschaya tehnicheskih innovaciy [Tekst] / N.A. Sal'kov // Geometriya i grafika. - 2018. - T. 6. - № 2. - S. 85-94. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5b55a5163fa053.07622109.
12. Sal'kov N.A. Iskusstvo i nachertatel'naya geometriya [Tekst] / N.A. Sal'kov // Geometriya i grafika. - 2013. - T. 1. - № 3-4. - S. 3-7. - OI:https://doi.org/10.12737/2123.
13. Sal'kov N.A. Kurs nachertatel'noy geometrii Gaspara Monzha [Tekst] / N.A. Sal'kov // Geometriya i grafika. - 2013. - T. 1. - № 3-4. - S. 52-57. - OI:https://doi.org/10.12373/2135.
14. Sal'kov N.A. Modelirovanie avtomobil'nyh dorog [Elektronnyy resurs] / N. A. Sal'kov. - M.: INFRA-M, 2012. - 120 s.
15. Sal'kov N.A. Modelirovanie geometricheskih form avtomobil'nyh dorog: monografiya [Tekst] / N.A. Sal'kov. - M.: INFRA-M, 2019. - 162 s.
16. Sal'kov N.A. Nachertatel'naya geometriya - baza dlya geometrii analiticheskoy [Tekst] / N.A. Sal'kov // Geometriya i grafika. - 2016. - T. 4. - № 1. - S. 44-54. - DOI:https://doi.org/10.12737/18057.
17. Sal'kov N.A. Nachertatel'naya geometriya - baza dlya komp'yuternoy grafiki [Tekst] / N.A. Sal'kov // Geometriya i grafika. - 2016. - T. 4. - № 2. - S. 37-47. - DOI:https://doi.org/10.12737/19832.
18. Sal'kov N.A. Nachertatel'naya geometriya. Bazovyy kurs [Tekst]: ucheb. posobie / N.A. Sal'kov. - M.: INFRA-M, 2013. - 184 s.
19. Sal'kov N.A. Nachertatel'naya geometriya do 1917 goda [Tekst] / N.A. Sal'kov // Geometriya i grafika. - 2013. - T. 1. - № 2. - S. 18-20. - DOI:https://doi.org/10.12737/780.
20. Sal'kov N.A. Nachertatel'naya geometriya. Osnovnoy kurs [Tekst] / N.A. Sal'kov. - M.: INFRA-M, 2014. - 235 s.
21. Sal'kov N.A. Nachertatel'naya geometriya - teoriya izobrazheniy [Tekst] / N.A. Sal'kov // Geometriya i grafika. - 2016. - T. 4. - № 4. - S. 41-47. - DOI:https://doi.org/10.12737/22842.
22. Sal'kov N.A. Obschie principy zadaniya lineychatyh poverhnostey. Chast' 1 [Tekst] / N.A. Sal'kov // Geometriya i grafika. - 2018. - T. 6. - № 4. - S. 20-31. DOI:https://doi.org/10.12737/article_5c21f4a06dbb74.56415078.
23. Sal'kov N.A. Obschie principy zadaniya lineychatyh poverhnostey. Chast' 2 [Tekst] / N.A. Sal'kov // Geometriya i grafika. - 2019. - T. 7. - № 1. - S. 14-27. DOI:https://doi.org/10.12737/article_5c9201eb1c5f06.47425839.
24. Sal'kov N.A. Formirovanie poverhnostey otkosov nasypey i vyemok [Tekst] / N.A. Sal'kov // Geometriya i grafika. - 2016. - T. 4. - № 1. - S. 55-63. - DOI:https://doi.org/10.12737/18058.
