Белгород, Белгородская область, Россия
ВАК 05.17.00 Химическая технология
ВАК 05.23.00 Строительство и архитектура
УДК 62 Инженерное дело. Техника в целом. Транспорт
Рассмотрены вопросы нестационарной теплопроводности в многослойных объектах. Предложено решение краевой однородной задачи с нестационарными граничными условиями третьего рода. В основу решения положены: метод разделения переменных Фурье по собственным функциям задачи и интеграл Дюамеля. Предложенная форма решения имеет явный вид и благодаря рекуррентной форме записи основных соотношений может быть полезной при численных расчетах и анализе кинетики нестационарного нагрева (охлаждения) многослойных объектов.
краевая задача, уравнение теплопроводности Фурье, многослойный объект, нестационарные граничные условия третьего рода, явная рекуррентная форма решения
Многие важные практические задачи расчета температурных полей в многослойных объектах могут рассматриваться как одномерные. Ранее автором было предложено аналитическое решение однородной задачи нестационарной теплопроводности в многослойных объектах при стационарных граничных условиях третьего рода [1].
Ниже приведено решение такой задачи при нестационарных граничных условиях третьего рода.
В общем случае математическая постановка одномерной задачи теплопроводности для многослойных объектов определяется следующей системой дифференциальных уравнений:
, xi-1 ≤ r ≤ xi , i = 1, 2,…n (1)
где аi,– соответственно коэффициенты температуропроводности i-го слоя; Ti(r,t) – температурное поле i -го слоя; x0, xn – соответственно координаты нижней и верхней геометрической (свободной) поверхности объекта;
Будем полагать также, что объект является изотропным, т.е. теплофизические параметры в каждом слое постоянны и однородны по всему занимаемому ими объему.
Граничные условия на свободных поверхностях r = xo ,r = xn определим как граничные условия третьего рода, полагая, что граничные условия первого и второго рода могут быть представлены как частные случаи граничных условий третьего рода.
В таком случае согласно [2] запишем:
,
(2)
Граничные условия сопряжения температурных полей и тепловых потоков на границах раздела слоев в общем виде определяются следующими выражениями:
,
(3)
i = 1, 2,…n-1,
где λi – теплопроводность i- го слоя.
Начальное распределение температурных полей в каждом слое имеет вид:
, i = 1, 2,…n (4)
Если представить искомое решение задачи в виде суммы
(5)
то задача сводится к определению функций , которые являются решением задачи с нулевыми начальными условиями и удовлетворяют следующим уравнениям:
, xi-1 ≤ r ≤ xi , i = 1, 2,…n (6)
,
(7)
,
(8)
i = 1, 2,…n-1,
, i = 1, 2,…n (9)
В общем случае решение задачи с неоднородными граничными условиями, зависящими от времени, может быть определено интегралом Дюамеля [2, 3]:
, при t>0 (10)
где – решение задачи при условии, что τ является параметром.
Тогда функции должны удовлетворять дифференциальному уравнению (5) с начальными условиями
=0 и граничным условиям на свободных поверхностях r=x0, xn, а также условиям сопряжения:
,
(11)
,
(12)
i = 1, 2,…n-1
В соответствии с найденным решением функции определяются следующими выражениями:
(13)
а функции имеют вид:
(14)
где – собственные функции задачи
, i = 1,2,…n (15)
(16)
(17)
i = 2,3,…n.
,i = 2,3,…n (18)
,
– собственные числа задачи, определяемые согласно уравнения
m = 0,1,2.. (19)
(20)
(21)
,
, i = 2,3,…n (22)
,i = 1, 2,…n. (23)
Весовая функция , а также конкретный вид функций
и
определяются выражениями:
а). Декартова (прямоугольная) система координат:
(24)
б). Сферическая система координат:
(25)
в). Цилиндрическая система координат:
(26)
Важное замечание:
Иногда при решении задач для сплошного шара или цилиндра полученное решение требует ограниченности в центре шара или на оси цилиндра. Тогда нижние и верхние граничные условия записываются в следующем виде:
,
(27)
В таком случае в полученном решении для многослойных объектов следует полагать
, i=1,2...n (28)
и далее все расчеты проводятся в соответствии с основным решением.
Таким образом, нами получено общее решение краевой однородной задачи с нестационарными граничными условиями третьего рода. Предложенная форма решения имеет явный вид и благодаря рекуррентной форме записи основных соотношений может быть полезной при численных расчетах и анализе кинетики нестационарного нагрева (охлаждения) многослойных объектов.
Различные частные решения подобных задач могут быть сразу же записаны с учетом граничных условий (2), а также выражений (4), (5), (14) и (24) – (28).
1. Вендин С.В. К расчету нестационарной теплопроводности в многослойных объектах при граничных условиях третьего рода // ИФЖ. 1993. Т.65. №1. C. 98-100.
2. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел: Учеб. Пособие. Изд. 3-е, перераб. и доп. М.: Высшая школа, 2001. 550 с.:
3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984. 835 с.
4. Вендин С.В., Щербинин И.А. к расчету распространения электромагнитного импульса при СВЧ обработке диэлектрических сред // Вестник Белгородского государственного технологического университета им. В.Г. Шухова. 2015. № 2. С. 204-206.
