ВАК 05.17.00 Химическая технология
ВАК 05.23.00 Строительство и архитектура
УДК 62 Инженерное дело. Техника в целом. Транспорт
В статье анализируется новый, более точный метод расчёта необходимого количества повторных опытов при проведении экспериментальных исследований в области машиностроения. Предложен, обоснован и табулирован новый tn-критерий минимально необходимого числа повторных опытов. Установлено, что новый метод даёт стабильные и более точные результаты, не требует большого количества пробных опытов, универсален, может применяться для любых выборок, при любых требованиях к точности измерений и любых принимаемых доверительных вероятностей расчётов.
точность измерений, серия дублирующих опытов, эксперимент, количество повторных опытов, t – критерий Стьюдента
Известно, что для обеспечения заданной точности и надежности измерений при проведении совокупности повторных (параллельных) опытов необходимо знать минимальное их количество. При этом во многих работах [1–5] описывается методика, согласно которой для определения количества опытов проводят пробную серию дублирующих опытов, производят статистическую обработку результатов эксперимента и по формуле (1) определяют минимально необходимое количество опытов:
, (1)
где 
- среднее значение, а σ – среднеквадратичное отклонение измерений; 
- требуемая точность измерений в относительных единицах (задаётся в % или десятичной дробью условием задачи); t критерий Стьюдента, выбираемый по таблице [3] в зависимости от числа проведенных опытов n или числа степеней свободы f=n-1 и заданной доверительной вероятности 
.
Если требуемая точность измерений задана в абсолютных единицах Δ (мм, с., Н, МПа и др.), то формула (1) принимает вид:
, (2)
Анализируя формулы (1) и (2) несложно заметить их противоречивость. По логике, искомому числу nmin в левой части формул должны строго соответствовать значения t и σ в правой части. Так как nmin нам неизвестно, то, очевидно, принятие t и σ по результатам пробного эксперимента с числом опытов nпр является логически неверным, так как в общем случае nпр≠nmin, что и подтверждается многочисленными экспериментами. Была предложена новая методика расчёта минимально необходимого числа повторных опытов. Сущность её заключается в следующем.
Формулы (1) и (2) преобразуем таким образом, чтобы в одной части формул находились только расчётные параметры, в другой – только табличные. Так как табличное значение t – критерия Стьюдента определяется по заданной доверительной вероятности и числу степеней свободы [6–10] 
, то nmin можно выразить как 
. Тогда формулы (1) и (2) можно привести к виду:
(3)
(4)
Выражение в правой части формул состоит только из табличных взаимосвязанных параметров t и f , взятых из таблицы коэффициента Стьюдента, и является табличным критерием минимального числа повторных опытов. Обозначим его как 
. Расчётное значение критерия представляет собой левые части формул (3) и (4), то есть:
(5)
(6)
Таким образом, для обеспечения заданной точности и надёжности измерений должно быть выполнено условие:
(7)
(8)
Тогда минимальное количество повторных опытов выборки по новой методике определяется в следующей последовательности.
- Проводят предварительный эксперимент с n количеством повторных опытов (достаточно 3-4 опыта).
- Вычисляют среднеарифметическое ā и среднеквадратичное отклонение σ измерений.
- Известными методами [1–5] из статистического ряда измерений исключают грубые ошибки (резко отличающиеся измерения) и для оставшегося ряда пересчитывают ā и σ.
- Определяют расчётное значение
–критерия минимального количества повторных опытов по формулам (5) или (6). - Для выполнения требований (7) и (8) выбирают ближайшее меньшее или равное относительно расчётного табличное значение
– критерия по следующей расширенной таблице t – критерия Стьюдента, которая для доверительных вероятностей Рд =0,90; 0,95;0,99 имеет вид:
Таблица 1
Таблица tп- критерия минимального количества повторных опытов
|
f |
Рд=0,90 |
Рд=0,95 |
Рд=0,99 |
|||
|
t |
tп |
t |
tп |
t |
tп |
|
|
1 |
6,3130 |
4,4640 |
12,7060 |
8,9845 |
63,6560 |
45,0116 |
|
2 |
2,9200 |
1,6859 |
4,3020 |
2,4838 |
9,9240 |
5,7296 |
|
3 |
2,3534 |
1,1767 |
3,1820 |
1,5910 |
5,8400 |
2,9200 |
|
4 |
2,1318 |
0,9534 |
2,7760 |
1,2415 |
4,6040 |
2,0590 |
|
5 |
2,0150 |
0,8226 |
2,5700 |
1,0492 |
4,0321 |
1,6461 |
|
6 |
1,9430 |
0,7344 |
2,4460 |
0,9245 |
3,7070 |
1,4011 |
|
7 |
1,8946 |
0,6698 |
2,3646 |
0,8360 |
3,4995 |
1,2373 |
|
8 |
1,8596 |
0,6199 |
2,3060 |
0,7687 |
3,3554 |
1,1185 |
|
9 |
1,8331 |
0,5797 |
2,2622 |
0,7154 |
3,24498 |
1,0277 |
|
10 |
1,8125 |
0,5465 |
2,2281 |
0,6718 |
3,1693 |
0,9556 |
|
11 |
1,7950 |
0,5182 |
2,2010 |
0,6354 |
3,1050 |
0,8963 |
|
12 |
1,7823 |
0,4943 |
2,1788 |
0,6043 |
3,0845 |
0,8555 |
|
13 |
1,7709 |
0,4733 |
2,1604 |
0,5774 |
3,0123 |
0,8051 |
|
14 |
1,7613 |
0,4548 |
2,1448 |
0,5538 |
2,9760 |
0,7684 |
|
15 |
1,7530 |
0,4383 |
2,1314 |
0,5329 |
2,9467 |
0,7367 |
|
16 |
1,7450 |
0,4232 |
2,1190 |
0,5139 |
2,9200 |
0,7082 |
|
17 |
1,7396 |
0,4100 |
2,1098 |
0,4973 |
2,8982 |
0,6831 |
|
18 |
1,7341 |
0,3978 |
2,1009 |
0,4820 |
2,8784 |
0,6604 |
|
19 |
1,7291 |
0,3866 |
2,0930 |
0,4680 |
2,8609 |
0,6397 |
|
20 |
1,7247 |
0,3764 |
2,0860 |
0,4552 |
2,8453 |
0,6209 |
|
21 |
1,7200 |
0,3667 |
2,0790 |
0,4432 |
2,8310 |
0,6036 |
|
22 |
1,7167 |
0,3580 |
2,0739 |
0,4324 |
2,8188 |
0,5878 |
|
23 |
1,7139 |
0,3498 |
2,0687 |
0,4223 |
2,8073 |
0,5730 |
|
24 |
1,7109 |
0,3422 |
2,0639 |
0,4128 |
2,7969 |
0,5594 |
|
25 |
1,7081 |
0,3350 |
2,0595 |
0,4039 |
2,7874 |
0,5467 |
|
26 |
1,7050 |
0,3281 |
2,0560 |
0,3957 |
2,7780 |
0,5346 |
|
27 |
1,7033 |
0,3219 |
2,0518 |
0,3878 |
2,7707 |
0,5236 |
|
28 |
1,7011 |
0,3159 |
2,0484 |
0,3804 |
2,7633 |
0,5131 |
|
29 |
1,6991 |
0,3102 |
2,0452 |
0,3734 |
2,7564 |
0,5032 |
|
30 |
1,6973 |
0,3048 |
2,0423 |
0,3668 |
2,7500 |
0,4939 |
|
32 |
1,6930 |
0,2947 |
2,0360 |
0,3544 |
2,7380 |
0,4766 |
|
34 |
1,6909 |
0,2858 |
2,0322 |
0,3435 |
2,7284 |
0,4612 |
|
36 |
1,6883 |
0,2776 |
2,0281 |
0,3334 |
2,7195 |
0,4471 |
|
38 |
1,6860 |
0,2700 |
2,0244 |
0,3242 |
2,7116 |
0,4342 |
|
40 |
1,6839 |
0,2630 |
2,0211 |
0,3156 |
2,7045 |
0,4224 |
|
42 |
1,6820 |
0,2565 |
2,0180 |
0,3077 |
2,6980 |
0,4114 |
|
44 |
1,6802 |
0,2505 |
2,0154 |
0,3004 |
2,6923 |
0,4013 |
|
46 |
1,6787 |
0,2449 |
2,0129 |
0,2936 |
2,6870 |
0,3919 |
|
48 |
1,6772 |
0,2396 |
2,0106 |
0,2872 |
2,6822 |
0,3832 |
|
50 |
1,6759 |
0,2347 |
2,0086 |
0,2813 |
2,6778 |
0,3750 |
|
60 |
1,6706 |
0,2139 |
2,0003 |
0,2561 |
2,6603 |
0,3406 |
|
70 |
1,6689 |
0,1981 |
1,9944 |
0,2367 |
2,6479 |
0,3142 |
|
80 |
1,6640 |
0,1849 |
1,9900 |
0,2211 |
2,6380 |
0,2931 |
|
90 |
1,6620 |
0,1742 |
1,9867 |
0,2083 |
2,6316 |
0,2759 |
|
100 |
1,6602 |
0,1652 |
1,9840 |
0,1974 |
2,6259 |
0,2613 |
По изложенной методике таблица может быть расширена.
- По выбранному табличному - критерию по этой же таблице определяют соответствующее выбранному критерию число степеней свободы f и рассчитывают минимально необходимое количество повторных опытов: .
- Если окажется число предварительных опытов
, то эксперимент продолжают до общего числа опытов 
. После чего делают перерасчёт ā и σ. Если окажется 
то считают предварительный эксперимент достаточным, а все предварительные расчёты достоверными.
Пример. В результате экспериментальных исследований стойкости резцов и после исключения грубых ошибок был получен следующий статистический ряд стойкости в мин: 71.00; 66.00; 69.00; 72.00; 68.00; 67.00. При этом среднее значение стойкости составило 
=68,83мин. Определим расчётное значение tn – критерия минимального количества повторных опытов:
где Кт=0,15(15%) – заданная допустимая погрешность измерений.
Выбираем по табл.1 ближайшее меньшее значение tn – критерия относительно расчётного 4,45. При заданной доверительной вероятности Ра=0,95 это значение равно 2,4838, что соответствует числу степеней свободы f=2 (см. отмеченное в табл.1). Тогда минимально необходимое количество повторных опытов nmin=f+1=2+1=3. Так как в данном примере n=6> nmin=3, то количество опытов следует считать достаточным, а все результаты статистической обработки измерений – достоверными.
Для сравнения точности двух методик: традиционной методики, базирующейся на неравенствах (1) и (2) и методики, базирующейся на новом tn – критерии (см. неравенства (3) и (4)), было проведено соответственно два комплекса расчётов минимально необходимого количества повторных опытов. В каждом комплексе, используя исходный статистический ряд измерений вышеизложенного примера, было обработано пять вариантов измерений с числом повторных опытов n=6,5,4,3 и 2. При этом, начиная с n=6, каждый последующий вариант статистического ряда получался путём отбрасывания крайнего правого опыта предшествующего варианта. Исходные данные и результаты расчётов приведены в табл.2.
Таблица 2
Результаты расчётов минимального количества повторных опытов по двум методикам для пяти вариантов экспериментов
|
|
Значения параметров статистических рядов измерений для пяти вариантов экспериментов с числом n повторных опытов |
||||
|
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
Стойкость инструментов в эксперименте, мин |
71;66;69; 72;68;67 |
71;66;69; 72;68 |
71;66;69; 72 |
71;66;69 |
71;66 |
|
Среднее значение стойкости в эксперименте, мин |
68,8 |
69,2 |
69,5 |
68,7 |
68,5 |
|
Среднеквадратичное отклонение измерений, мин |
2,32 |
2,39 |
2,65 |
2,52 |
3,53 |
|
Расчётное значение tn-критерия (tпр) |
4,45 |
4,34 |
3,93 |
4,09 |
2,91 |
|
Ближайшее меньшее табличное (tпт) значение tn-критерия при Рд=0,95 |
2,48 |
2,48 |
2,48 |
2,48 |
2,48 |
|
Минимально необходимое количество повторных опытов в эксперименте, полученное: -традиционным методом по формулам (1),(2) -по tn-критерию |
1
3 |
1
3 |
1
3 |
2
3 |
20
3 |
Для наглядности различий двух метод определения минимального количества nmin повторных опытов построим график изменения nmin при изменении числа n пробных опытов: nmin=f(n), используя для этого результаты расчётов табл.2.
Многочисленными экспериментами, выполненными в БГТУ им. В.Г. Шухова, установлено многообразие возможных зависимостей nmin от числа повторных опытов, средних значений и дисперсий измерений, от требований к их точности и доверительной вероятности вычислений. На рис.2 показаны некоторые возможные варианты графиков, полученных в экспериментах при варьировании количеством пробных опытов одной выборки.
Рис. 1. График изменения минимально необходимого количества повторных опытов nmin при варьировании
количеством n пробных опытов вышеописанного эксперимента: а – традиционный метод определения nmin;
в – метод tn-критерия
Рис. 2. Некоторые варианты графиков nmin=f(n),полученные в реальных экспериментах
Несмотря на многообразие графиков nmin=f(n) можно сделать следующие обобщающие выводы.
1.Новый метод определения минимально необходимого количества повторных опытов по tn-критерию в отличие от традиционного метода даёт стабильные результаты, не требует большого количества пробных опытов (достаточно 3-4) и дополнительной проверки.
2.Традиционный метод определения nmin при числе пробных опытов n>3 занижает минимально необходимое количество повторных опытов и практически всегда завышает при n=2 (иногда и при n=3).
3.Новый метод, базирующийся на tn-критерий уникален, может применяться для любых выборок при любых требованиях к точности измерений и любых принимаемых доверительных вероятностей расчётов.
1. Афанасьев А.А., Погонин А.А. Физические основы измерений. Белгород: Изд-во БГТУ им. В.Г. Шухова, 2008. 275 с.
2. Бойко А.Ф., Воронкова М.Н. Теория планирования многофакторного эксперимента. Белгород: Изд-во БГТУ, 2013. 72 с.
3. Юрьев А.Г., Серых И.Р. Основы научных исследований. Белгород: Изд-во БГТУ, 2005. 86 с.
4. Лесовик В.С., Чернышева Н.В. Основы научных исследований. Белгород: Изд-во БГТУ, 2010. 89 с.
5. Щетинина И.А., Тихомирова Т.И. Основы научных исследований. Белгород: Изд-во БГТУ, 2010. 93 с.
6. Новик Ф.С., Арсов Я.Б. Оптимизация процессов технологии металлов методами планирования экспериментов. М.: Машиностроение, 1980. 304 с.
7. Розанов Ю.Н. Методы математической статистики в материаловедении. Л.: Машиностроение, 1990. 232 с.
8. Барабашук В.И. Планирование эксперимента в технике. К.: Техніка, 1984. 200 с.
9. Грешников В.А., Волков Б.Н., Кубарев А.И. Статистические методы обработки эмпирических данных. М.: Изд-во стандартов, 1978. 232 с.
10. Адлер Ю.П. Введение в планирование эксперимента. М.: Металлургия, 1968. 155 с.
