МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ВБЛИЗИ ЭКРАНИРОВАННОГО БОРТОВОГО ОТСОСА
Аннотация и ключевые слова
Аннотация (русский):
Разработана математическая модель течения вблизи бортового отсоса от гальванической ванны. Расчетные соотношения получены при помощи метода конформных отображений. Построены линии тока при разных размерах механического экрана, расходов стока и паров вредностей.

Ключевые слова:
местный отсос, метод конформных отображений, гальваническая ванна
Текст
Текст произведения (PDF): Читать Скачать

Введение. Процессы в гальванических ваннах сопровождаются выбросами загрязняющих веществ: аэрозоли едких щелочей, хлористый водород, никель, хромовый ангидрид, серная кислота и т.д. [1–3]. Наиболее надежным, но и энергоемким способом локализации выбросов загрязняющих веществ в местах их образования является местный вентиляционный отсос (МВО) (рис.1).

Рис.1. Схема гальванической ванны с бортовым

отсосом

 

Расчет необходимой производительности МВО обычно осуществляют аналитическим методом с помощью конформных отображений либо численным методом дискретных особенностей [4–7].  Механическое экранирование МВО позволяет уменьшить количество удаляемого воздуха бортовым отсосом за счет ограничения области действия линейного стока и, следовательно, снизить количество потребляемой электроэнергии приточно-вытяжными установками.

Цель работы: разработка математической модели течения воздуха вблизи бортового отсоса, необходимой для создания рекомендаций по уменьшению расхода удаляемого воздуха однобортовым отсосом от гальванической ванны, путем совершенствования конструкции и методики расчета МВО.

Вывод расчетных соотношений. Для того чтобы описать гидродинамическое поле ограниченного линейного стока осуществим конформное отображение вспомогательной

полуплоскости Im(t)>0 на внутренний многоугольник А3А1А2А1*А3  верхней физической полуплоскости Im(z)>0 (рис. 2).

 

 

Рис. 2. Конформное отражение верхней полуплоскости t=η+  на полуплоскость z=x+iy  с разрезом 0А3

 

Эти полуплоскости имеют следующие особенности: во вспомогательной полуплоскости           t=η+ , ξ>0  на расстоянии h на действительной оси расположен точечный полусток производительностью Qo3/м·с) с комплексным потенциалом

w0=-Q0πlnt-h.                     (1)

Физическая область z = x +iy, y>0 имеет вертикальный щит А1А высотой h. Отображение областей сделаем таким образом, чтобы сток находился в вершине А1 угла А2А1А3. Этим усилим сносящийся поток паровоздушной смеси над зеркалом ванны.

Такое отображение верхней полуплоскости Im(t)>0 на внутреннюю часть многоугольника А3А1А2А1*А3  физической полуплоскости Im(z)>0 осуществляем с помощью интеграла Кристоффеля-Шварца, который запишем с очевидным соответствием точек

 

=c10t(t+h)12-1t-02-1t-h12-1dt+hi=c10ttdtt2-h2+hi==c1t2-h2+hi1-c1.     (2)

 

Учитывая, что при t = h, z = 0, имеем с1=1, тогда

z=t2-h2                               (3)

или

t=z2+h2                               (4)

и комплексный потенциал стока помещенного в вершину угла А2А1А3, в силу (1) будет

w0=-Q0πlnz2+h2-h.            (5)

Комплексный потенциал, как известно связан с эквипотенциалями и линиями тока соотношением

φ+=w0=-Q0πlnz2+h2-h,      (6)

которое легко выражается следующим уравнением:

  e-φπ-iψπ =z2+h2-h,               (7)

где для простоты записи принято φ=φQ0-безразмерная эквипотенциаль,  ψ=ψQ0-безразмерная линия тока.

Разделив соотношение (7) на действительную и мнимую части (используя соотношение Эйлера e=cosβ+i·sinβ) получим систему двух уравнений описывающих ортогональную сетку эквипотенциалей и линий тока

e-φπcosψπ=ReA,                (8)

  -e-φπsinψπ=ImA,                (9)

где А – правая часть комплексной функции (7)

А=z2+h2 -h.                      (10)

При численном задании z = x+iy и h комплексная функция (Im(A) – мнимая часть и Re(A) – действительная часть) численно легко определяется в специальной математической среде Maple.

И, следовательно, в этой среде легко решается численно уравнения (8) и (9) и графически изображается гидродинамическая cетка плоского потенциального течения.

Связанная система уравнений (8) и (9) в результате расчета дает сразу точку пересечения эквипотенциали φ и линии тока ψ .

Используя комплексный потенциал (5) можно вычерчивать независимо эквипотенциали φ и линии тока ψ , разделив соотношение (6) на действительные и мнимые части

φ=-1πRe(G),  ψ=1πImF,

где

G=ln⁡(z2+h2-h) ,               (11)

F- комплексная функция

F=r2eiβ2 ,                    (12)

β2=arctgb2a2+0 при a2>0π при a2<0; b2≥0-π при a2<0; b2<0  (13)

r2=a22+b22 ; a2=r1cosα12-h;  b2=r1sin⁡(α12);  (14)

r1=a12+b12 ; a1=h2+x2-y2 ; b1=2xy;        (15)

α1=arctgb1a1+0 при a1>0π при a1<0; b1≥0-π при a1<0; b1<0        (16)

Таким образом

φ=-1πln(r2),                      (17)

ψ=-1πβ2.                          (18)

Движение гравитационно поднимающихся паров раствора осуществляется в сторону бортового отсоса аэродинамически представляющего плоским стоком, ограниченного ломанной плоскостью А3А1АаА1*А3 (см. рис. 2). Комплексный потенциал этого отсоса найденный с помощью метода конформных отображений запишем в виде

Wo=-Qoπln⁡(z2+h2-h) ,             (19)

где Qo – мощность стока, м3/(с∙м) ; z = x+iy – произвольная комплексная точка верхней физической полуплоскости, м; i =-1  – мнимая единица; h – высота экрана (длиной А1А2), м.

Полагаем, что плоский сток взаимодействует с вертикальным плоским равномерным потоком паров вредностей со скоростью

uy=-LnB, м/с ,                        (20)

где Ln – удельный расход паров вредностей, м3/(с∙м) ;

В - ширина ванны, м.

Комплексный потенциал вертикального потока этих паров запишем в виде

Wn= - i LnB  z.                              (21)

Таким образом, линии тока отсасываемых паров будут описываться суммой вышеприведенных потенциалов, т.е. гидродинамическая сетка будет описываться соотношением

 

+=Wo+Wп=W=-Qoπlnz2+h2-h-iLnBz                                 (22)

 

или

  -φ1-iψ1=1πlnz2+h2-h+izrB  ,  (23)

где для простоты записи принято φ1=φQo  – безразмерная эквивалентность; ψ1=ψQo  – безразмерная линия тока; r=QoLn  – безразмерная производительность бортового отсоса.

Построение гидродинамической сетки можно выполнить в среде Maple на основании решения следующих двух уравнений, полученных разделением уравнения (23) на действительную и мнимую части

φ1-yrB+1πReG=0;             (24)

ψ1+xrB+1πImG=0,            (25)

где

 G=lnx2-y2+h2+i2xy-h;     (26)

Re (G) – действительная часть логарифма G; lm (G) – мнимая часть этого логарифма.

Определим поле скоростей паровоздушной смеси над ванной. Для этого определим величину комплексной скорости, пользуясь соотношением (22) для комплексного потенциала.

Известно, что эти комплексные величины связаны равенством

ux-iuy=dWdz.                     (27)

В силу (22)

dWdz=-Qoπzz2+h2-hz2-h2-iLnB       (28)

или приняв для удобства записи

  ω=z2+h2=x2-y2+h2+2ixy;            (29)

уравнение (28) перепишем в виде

dWdz=-Qoπzω-hω-iLnВ.            (30)

Разделив правую часть соотношения (30) на действительную и мнимую части, которую обозначим

V=-Brπzω-hω-i,               (31)

получим легко решаемое в универсальной математической системе Maple расчетные уравнения

Ux=ReV;                       (32)

Uy=-ImV;                     (33)

где Ux=uxun;  Uy=uyun;  un=LnB;V=dWdz/un .

Тогда соотношения (31), (32), (33) принимают безразмерный вид

V=-rπzω-hω-i ; Ux=ReV; Uy=-ImV;

где z=x+iy ; x=xB ; y=yB ; h=hB  .

Т.е. все линейные размеры заданы и отнесены к ширине ванны В,

ω=z  2+h  2 ,

а отношение расхода, отсасываемого бортовым отсосом воздуха (Q0) к расходу поднимающейся паровоздушной смеси над ванной (Ln) обозначено r = Q0Ln . [8, 9].

Линии тока потока при разных размерах экрана и соотношения r показаны на рис.3-8. Как видно из этих графиков, экранирование бортового отсоса значительно увеличивает объем отсасываемых паров раствора даже при равных расходах Qo и Lп (рис.3 и 4). Так, при высоте экрана h = 0,8B и r = 1, расход удаляемых паров увеличивается с 0,5Lп (при h = 0) до 0,9Lп. Этот рост сохраняется и при увеличении r и h (рис.5 – 8).

 

 

Рис.3. Линии тока при Qо=Lп=1 (r = 1), B = 1 м, h = 0,8 м

 

 

 

 

Рис.4. Линии тока при Qо=1, Lп =1, r = 1, B = 1 м, h = 0,0005 м

 

Рис. 5. Линии тока при Qо=2, Lп =1, r = 2, B = 1 м, h = 0,2 м

 

 

Рис. 6. Линии тока при Qо=2, Lп =1, r = 2, B = 1 м, h = 0,4 м

 

Рис.7. Линии тока при Qо=2, Lп =1, r = 2, B = 1 м, h = 0,6 м

Рис.8. Линии тока при Qо=2, Lп =1, r = 2, B = 1 м, h = 0,8 м

 

 

*Исследования выполнены по гранту РФФИ №16-08-00074а

Список литературы

1. Елинский И.И. Вентиляция и отопление гальванических цехов машиностроительных предприятий. М.: Машиностройение, 1989. 152 с.

2. Гальванические покрытия в машиностроении. Справочник в 2-х томах. Том 1. Под ред. М.А. Шлугера. М.: Машиностроение, 1985. 240 с.

3. Гальванические покрытия в машиностроении. Справочник в 2-х томах. Том 2. Под ред. М.А. Шлугера и Л.Д. Тока. М.: Машиностроение, 1985. 248 с.

4. Посохин В.Н. Аэродинамика вентиляции. М.: АВОК-ПРЕСС, 2008. 212 с.

5. Варсегова Е.В., Посохин В.Н. О форме отрывных зон на входе в щелевой всасывающий патрубок // Известия Казанского государственного архитектурно-строительного университета. 2015. № 3. С. 98-102.

6. Ходаков, И.В. Численное и экспериментальное исследование отрыва потока на входе во всасывающие каналы с механическими экранами // Вестник Белгородского государственного технологического университета им. В.Г. Шухова. 2016. №3. С. 6–12.

7. Ходаков, И.В. Моделирование отрывного течения на входе в многоугольное всасывающее отверстие // Вестник Белгородского государственного технологического университета им. В.Г. Шухова. 2016. №2. С. 11–15.

8. Логачев И.Н. К расчету двухбортовых отсосов // Вентиляция в металлургической промышленности. М.: Металлургия. 1968. С. 88–92.

9. Логачев И.Н. Потенциальное движение воздуха у всасывающей щели// Вентиляция и очистка воздуха. М.: Недра, 1969. С. 143–150.