Белгород, Белгородская область, Россия
Белгородская область, Россия
Россия
ГРНТИ 55.03 Машиноведение и детали машин
ББК 308 Монтаж, эксплуатация, ремонт машин и промышленного оборудования
В статье рассматривается цапфа шаровой мельницы под действием постоянных нагрузок корпуса с мелющими телами и материалом, одновременным действием силы тяжести и вращения за счет момента внешних сил. При эксплуатации шаровой мельницы опасным сечением днищ является место перехода цилиндрической части цапфы в коническую. Оценено напряженно-деформированное состояние цапфы шаровой мельницы производится на основе математической модели, включающей в себя полную систему уравнений равновесия, определяющих соотношений упругопластического деформирования, учитывающих эффекты циклического нагружения материала, с соответствующими начальными и граничными условиями. Учтена динамическая нагрузка, возникающая при вращении, по принципу Даламбера, согласно которому ко всем действующим внешним силам добавляются силы инерции. Получено уравнение изгиба оси цапфы, учитывающее действие сил инерции. Получены зависимости прогиба, кривизны прогиба и напряжения от продольной координаты при действии силы тяжести и вращения на ось цапфы. Определена величина касательного напряжения от действия крутящего момента. Определено общее выражение эквивалентного напряжения, учитывающее сложное напряженно-деформированное состояние цапфы шаровой мельницы, испытывающей растягивающее напряжение от изгибающих нагрузок и сдвиговое напряжение от крутящего момента.
цапфа шаровой мельницы, износ оборудования, математическое описание, напряженно-деформированное состояние, изгиб вращающейся цапфы
Введение. При эксплуатации шаровой мельницы опасным сечением днищ является место перехода цилиндрической части цапфы в коническую [1, 2]. Под действием постоянных нагрузок корпуса с мелющими телами и материалом, одновременным действием силы тяжести и вращения за счет момента внешних сил возникает изгиб [3].
Цапфа имеет форму полого цилиндра, который защемлен на конце и вращается вокруг продольной оси [4]. Оценка напряженно-деформированного состояния цапфы шаровой мельницы производится на основе математической модели, включающей в себя полную систему уравнений равновесия, определяющих соотношений упругопластического деформирования, учитывающих эффекты циклического нагружения материала, с соответствующими начальными и граничными условиями.
Методология. Согласно работам [5, 6, 7], в первом приближении решение этой задачи может быть получено с использованием инженерных подходов на основе простейших соотношений теории упругости, сопротивления материалов и механики материалов [8, 9, 10]. Изгиб вращающейся цапфы обусловлен одновременным действием силы тяжести и вращения за счет момента внешних сил (рис. 1).
Вращение при изгибе детали цилиндрической формы приводит к формированию сложного напряженно-деформированного состояния [8]. Моделирование такого процесса требует применения эйлерово-лангранжева подхода, прослеживания истории деформирования материальных частиц, в том числе процесса нагружения и процессов упругопластического нагружения с появлением вторичных пластических деформаций и изменением предела текучести материала, учета особенностей законопеременного деформирования.
Основная часть. При наличии зоны пластических деформаций в области высоких значений кривизны продольной оси цапфы, ситуация существенно меняется, поскольку в результате пластического нагружения формируется остаточная кривизна [5, 11].
Оценка напряженно-деформированного состояния цапфы, изогнутого под действием собственного веса и веса корпуса, поворачивающегося вокруг оси, выполняется с привлечением уравнений механики материалов. Для учета динамической нагрузки, возникающей при вращении, применяется принцип Даламбера [5, 12], согласно которому ко всем действующим внешним силам добавляются силы инерции.
Рис. 1. Расчетная схема изгиба и вращения цапфы
Уравнение изгиба оси цапфы, учитывающее действие сил инерции (рис. 1), имеет вид [5, 6, 7]:
, (1)
с граничными условиями
(2)
(3)
(4)
, (5)
где 
– функция прогиба цапфы; 
– продольная координата; 
– геометрический момент инерции объема относительно оси OX, рассчитываемый по формуле:
, (6)
где 
– внешний радиус цапфы, 
– объем цапфы; 
– погонная масса, рассчитываемая по формуле:
(7)
где 
– масса цапфы шаровой мельницы,
– масса корпуса с мелющими телами и материалом; 
– внешний изгибающий момент;
– распределенная массовая нагрузка: 
, где 
– ускорение свободного падения.
Решение неоднородного дифференциального уравнения (1) четвертого порядка представляется общим решением 
однородного дифференциального уравнения [12, 13]:
, (8)
и частным решением 
неоднородного дифференциального уравнения:
(9)
Общее решение 
уравнения (8) строится в виде [12, 13]:
, (10)
частное решение 
уравнения (2.9) согласно [7, 8] разыскивается в виде:
, (11)
соответствующем виду правой части уравнения (9), где 
и 
– искомые константы.
Подстановка решения (10) в однородное дифференциальное уравнение (8) приводит к характеристическому уравнению:
(12)
Введем обозначение
. (13)
Исходя из (13), полученное соотношение (12) можно представить в виде алгебраического уравнения четвертой степени:
. (14)
Корни уравнения (14) имеют вид:
(15)
где 
– мнимая (комплексная) единица.
Общее решение однородного дифференциального уравнения (8) принимает вид:
(16)
Подстановка решения (11) в неоднородное дифференциальное уравнение (9) приводит к уравнению относительно константы 
:
(17)
Из (17) следует:
(18)
В итоге решения дифференциального уравнения (1) записывается в виде:
(19)
С учетом формулы Эйлера [7]:
. (20)
Для нахождения значений постоянных интегрирования 
используются граничные условия (2) – (5):
(21)
Соотношения (21) являются системой линейных алгебраических уравнений относительно искомых весличин A1, A2, A3, A4:
(22)
Решение полученной системы линейных алгебраических уравнений (22) с подстановкой всех известных величин позволяет определить постоянные интегрирования:
A1 = 28,73588; A2 =53,71975; A3 = 74,50436; A4 = 24,98738. (23)
Решение (19) принимает вид:
. (24)
Кривизна прогиба осевой линии цапфы определяется по формуле:
(25)
На рисунке 2 приведена форма прогиба осевой линии цапфы при ее вращении, на рисунке 3 – кривизна прогиба оси цапфы.
Рис. 2. Зависимость прогиба от продольной
координаты OX при действии силы тяжести и вращения на ось цапфы
Рис. 3. Зависимость кривизны прогиба
от продольной координаты OX при действии силы тяжести и вращения на ось цапфы
Напряжения, возникающие в цапфе шаровой мельницы, согласно [6] определяются как:
(26)
На рисунке 4 представлен график зависимости напряжения цапфы от продольной координаты 
, показывающий распределение напряжения по длине внешней цилиндрической поверхности цапфы при действии силы тяжести и вращении.
Рис. 4. Зависимость напряжения от продольной координаты при действии силы тяжести
и вращения на ось цапфы
Как видно из рисунка 3, наибольшая кривизна цапфа имеет место в точке x=0:
(27)
Следовательно, наибольшие по модулю напряжения в цапфе достигаются именно в этом сечении,
(28)
Определение величины касательного напряжения от действия крутящего момента 
, приложенного к цапфе, выполняется согласно [5, 6, 8]:
(29)
где 
– крутящий момент шаровой мельницы; 
– полярный момент инерции поперечного сечения [11]:
;
Для заданных значениях радиуса внешней и внутренней поверхности цапфы и крутящего момента шаровой мельницы, максимальное сдвиговое напряжение определяется величиной:
Учитывая сложное напряженно-деформированное состояние цапфы шаровой мельницы, испытывающей растягивающее напряжение от изгибающих нагрузок и сдвиговое напряжение от крутящего момента, эквивалентное напряжение следует определять с использованием понятия интенсивности напряжения 
, определяемого общим выражением [5, 6, 15]:
. (30)
Для определения эквивалентного напряжения цапфы в данном случае, формула (30) будем иметь вид:
Выводы. Получено уравнение изгиба оси цапфы, учитывающее действие сил инерции. Получены зависимости прогиба, кривизны прогиба и напряжения от продольной координаты при действии силы тяжести и вращения на ось цапфы. Определена величина касательного напряжения от действия крутящего момента. Определено общее выражение эквивалентного напряжения, учитывающее сложное напряженно-деформированное состояние цапфы шаровой мельницы, испытывающей растягивающее напряжение от изгибающих нагрузок и сдвиговое напряжение от крутящего момента.
1. Маркова О.В. Аулов В.Г., Лавренчук А.Н., Федоренко М.А. Анализ методов расчета износа контактных поверхностей трения // Международная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодежь и научно-технический прогресс» (г. Губкин, 12 апреля 2012 г), Губкин: Изд-во БГТУ, 2012. С. 65-69.
2. Федоренко М.А., Маркова О.В. Колебательные процессы в помольных мельницах цементной промышленности // Международная научно-практическая конференция «Техника и технология современных производств», Пенза, 2014. С. 113-116.
3. Богданов В.С., Ильин А.С., Семикопенко И.А. Основные процессы в производстве строительных материалов. Белгород: Изд˗во БГТУ им. В.Г.Шухова. 2008. 550 с.
4. Гологорский Е.Г., Доценко А.И., Ильин А.С. Эксплуатация и ремонт оборудования предприятий стройиндустрии. М.: Архитектура, 2006. 503 с.
5. Бояршинов М.Г. Оценка напряженно-деформированного состояния вращающегося длинного цилиндра // Вестник ПНИПУ. Механика. 2013. № 1. С. 25-38.
6. Биргер И.А., Шорр Б.Ф., Иосилевич Г.Б. Расчет на прочность деталей машин. М.: Машиностроение, 1979. 702 с.
7. Эрдеди А.А., Эрдеди Н.А.. Теоретическая механика. Сопротивление материалов. М.: Академия, 2012. 320 с.
8. Светлицкий В.А. Строительная механика машин. Механика стержней. В 2 томах. М.: Физматлит, 2009. 408 с.
9. Варданян Г.С., Андреев В.И., Атаров Н.М., Горшков А.А. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности. М.: Инфра-М, 2011. 640 с.
10. А.И. Дудяк, Т.А. Сахнович. Прикладная теория упругости. М.: Издательство Гревцова, 2010. 164 с.
11. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. М.: Высшая школа, 2003. 720 с.
12. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. Том 1. М.: Физматлит, 2009. 400 с.
13. Эльсгольц Л.Э. Обыкновенные дифференциальные уравнения. СПб.: Лань, 2002. 224 с.
14. Бьюи Х.Д. Механика разрушения. Обратные задачи и решения. М.: Москва, 2011. 410 с.
15. Бардзокас Д.И., Фильштинский Л.А., Фильштинский М.Л. Актуальные проблемы связанных физических полей в деформируемых телах. Математический аппарат физических и инженерных наук. Том 1. М.: Москва , 2010. 864 с.
