Установлен ряд новых свойств мультипликатора. Описан класс односвязных областей, мультипликатор которых есть связное множество. Этот класс характеризуется наличием спиралей у мультипликатора. Пусть далее оператор обобщенного дифференцирования Гельфонда — Леонтьева непрерывен в пространстве функций, аналитических в односвязной области комплексной плоскости. Известно, что он представим в виде оператора обобщенной свертки. Ее ядро порождается многозначной функцией одного переменного. Назовем мультипликатором множество со свойством . Пусть мультипликатор области связный и не совпадает с единицей. В работе доказано, что при данных условиях рассматриваемые функции будут однозначными. Если мультипликатор области несвязный, то всегда найдется оператор обобщенного дифференцирования Гельфонда — Леонтьева, порождающая функция которого будет многозначной.
мультипликатор области, обобщенная производная Гельфонда — Леонтьева, ядро оператора.
УДК 517.982.274+517.983.22
О представлении операторов обобщённого дифференцирования Гельфонда — Леонтьева в односвязной области[1]
А. В. Братищев
Установлен ряд новых свойств мультипликатора. Описан класс односвязных областей, мультипликатор которых есть связное множество. Этот класс характеризуется наличием спиралей у мультипликатора. Пусть далее оператор обобщенного дифференцирования Гельфонда — Леонтьева непрерывен в пространстве функций, аналитических в односвязной области 
комплексной плоскости. Известно, что он представим в виде оператора обобщенной свертки. Ее ядро порождается многозначной функцией одного переменного. Назовем мультипликатором множество 
со свойством 
. Пусть мультипликатор области связный и не совпадает с единицей. В работе доказано, что при данных условиях рассматриваемые функции будут однозначными. Если мультипликатор области несвязный, то всегда найдется оператор обобщенного дифференцирования Гельфонда — Леонтьева, порождающая функция которого будет многозначной.
Ключевые слова: мультипликатор области, обобщенная производная Гельфонда — Леонтьева, ядро оператора.
Введение. Рассматриваемые в статье задачи входят в направление исследований, представленное работами [1-7]. Пусть 
¾ односвязная область в комплексной плоскости 
, и последовательность ограниченных расширяющихся областей 
с кусочно-гладкой границей исчерпывает . 
1. Гельфонд, А. О. Об одном обобщении ряда Фурье / А. О. Гельфонд, А. Ф. Леонтьев // Математический сборник. 1951. Т. 29, №3. С. 477500.
2. Analytische Fortsetzung./ Bieberbach L.- Berlin-Gottingen-Heidelberg: Springer-Verlag.- 1955.
3. Dualitat in der Funktionentheorie / Köthe G.- J. reine angew. math.- 1953.- Bd. 191.- S. 30-49.
4. Коробейник, Ю. Ф. Об операторах обобщенного дифференцирования, применимых к любой аналитической функции / Ю. Ф. Коробейник // Известия АН СССР. Серия математическая. 1964. Т. 28, № 4 С. 833854.
5. Леонтьев, А. Ф. Обобщенные ряды экспонент / А. Ф. Леонтьев. Москва : Наука, 1981. 320 с.
6. Братищев, А. В. О представлении оператора обобщенного диффе-ренцирования в одном классе односвязных областей / А. В. Братищев, А. В. Моржаков // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. 2005. Т. 5, № 4. С. 481490.
7. Моржаков, А. В. Исследование операторов и операторных уравнений, порожденных обобщенным дифференцированием : автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук / А. В. Моржаков. Ростов-на-Дону, 2008. 15 с.
8. Братищев, А. В. О представлении линейных операторов, коммути-рующих с дифференцированием, в односвязной области / А. В. Братищев // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. 2014. Т.14, № 1. С. 1521.
9. Братищев, А. В. Описание обобщенных преобразований Бореля, сохраняющих теорему Пойя / А. В. Братищев // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. 2001. Т. 1, № 1. С. 7989.
10. Моржаков, А. В. О представлении оператора обобщенного дифференцирования в одном классе односвязных областей / А. В. Моржаков // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. 2006. Т. 6, № 1 (28). С. 1016.
