Some new properties of the multiplier are determined. A class of simply connect-ed regions whose multiplier is a connected set is described. This class is characterized by the availability of spirals in a multiplier. Let the Gelfond-Leontiev generalized differentiation operator be continuous in the space of the analytic functions in simply connected region G of a complex plane. It is known to be presented as an operator of general complex convolution. The convolution kernel is generated by the many-valued function of one variable. The set with the property is called multiplier . Let the region multiplier be connected, and it does not align with identity. It is proved in the paper that the functions under consideration will be univalent under these conditions. If multiplier is unconnected, then there is always a generalized differentiation Gelfond-Leontiev operator with a many-valued generating function.
multiplier of a region generalized Gelfond-Leontiev derivative, operator kernel.
УДК 517.982.274+517.983.22
О представлении операторов обобщённого дифференцирования Гельфонда — Леонтьева в односвязной области[1]
А. В. Братищев
Установлен ряд новых свойств мультипликатора. Описан класс односвязных областей, мультипликатор которых есть связное множество. Этот класс характеризуется наличием спиралей у мультипликатора. Пусть далее оператор обобщенного дифференцирования Гельфонда — Леонтьева непрерывен в пространстве функций, аналитических в односвязной области 
комплексной плоскости. Известно, что он представим в виде оператора обобщенной свертки. Ее ядро порождается многозначной функцией одного переменного. Назовем мультипликатором множество 
со свойством 
. Пусть мультипликатор области связный и не совпадает с единицей. В работе доказано, что при данных условиях рассматриваемые функции будут однозначными. Если мультипликатор области несвязный, то всегда найдется оператор обобщенного дифференцирования Гельфонда — Леонтьева, порождающая функция которого будет многозначной.
Ключевые слова: мультипликатор области, обобщенная производная Гельфонда — Леонтьева, ядро оператора.
Введение. Рассматриваемые в статье задачи входят в направление исследований, представленное работами [1-7]. Пусть 
¾ односвязная область в комплексной плоскости 
, и последовательность ограниченных расширяющихся областей 
с кусочно-гладкой границей исчерпывает . 
1. Gelfond, А.О., Leontiev, A.F. Ob odnom obobshchenii ryada Furye. [On a generalization of the Fourier series.] Matematicheskiy sbornik, 1951, vol. 29, no. 3, pp. 477500 (in Russian).
2. Analytische Fortsetzung. Bieberbach L.- Berlin-Gottingen-Heidelberg: Springer-Verlag.- 1955.
3. Köthe, G. Dualität in der Funktionentheorie. J. reine angew. math., 1953.- Bd. 191.- S. 30-49.
4. Korobeynik, Y.F. Ob operatorakh obobshchennogo differentsirovaniya, primenimykh k lyuboy analiticheskoy funktsii. [On generalized differentiation operators applicable to any analytic function.] Izvestiya AN SSSR. Seriya matematicheskaya. 1964, vol. 28, no. 4, pp. 833854(in Russian).
5. Leontiev, A.F. Obobshchennyye ryady eksponent. [Generalized exponential series.] Moscow: Nauka, 1981, 320 p. (in Russian).
6. Bratishchev, А.V., Morzhakov, A.V. O predstavlenii operatora obobshchennogo differentsirovaniya v odnom klasse odnosvyaznykh oblastey. [On presentation of generalized differentiation operator in one class of simply connected regions.] Vestnik of DSTU, 2005, vol. 5, no. 4, pp. 481490 (in Rus-sian).
7. Morzhakov, A.V. Issledovaniye operatorov i operatornykh uravneniy, porozhdennykh obobshchennym differentsirovaniyem: avtoref. diss. kand. fiz.-mat. nauk. [Investigation of operators and operator equations generated by generalized differentiation: Cand.phys.-math.sci.diss., author’s abstract.] Rostov-on-Don, 2008, 15 p. (in Russian).
8. Bratishchev, А.V. O predstavlenii lineynykh operatorov, kommutiruyushchikh s differentsirovaniyem, v odnosvyaznoy oblasti. [On presentation of linear operators commuting with differentiation in simply-connected domain.] Vestnik of DSTU, 2014, vol.14, no. 1, pp. 1521 (in Russian).
9. Bratishchev, А.V. Opisaniye obobshchennykh preobrazovaniy Borelya, sokhranyayushchikh teoremu Poyya. [Description of the generalized Borel transformations preserving Polya’s theorem.] Vestnik of DSTU, 2001, vol. 1, no. 1, pp. 7989 (in Russian).
10. Morzhakov, A.V. O predstavlenii operatora obobshchennogo differ-entsirovaniya v odnom klasse odnosvyaznykh oblastey. [On presentation of generalized differentiation operators in one class of simply connected regions.] Vestnik of DSTU, 2006, vol. 6, no. 1 (28), pp. 1016 (in Russian).
