В статье уточняется понятие наглядности в контексте моделирования объектов многомерных пространств. Делается вывод, что наглядность такой модели должна определяться как однозначность и полнота информации, представленной на ней, и согласовываться с опытом, имеющимся у студента в области моделирования пространства большей размерности (трехмерного) при помощи элементов пространств меньшей размерности (двухмерного). Такие возможности представляет обобщенный комплексный чертеж. Приводятся примеры моделирования объектов четырехмерного пространства при помощи двух трехмерных или трех плоских проекций, перечисляются некоторые свойства обобщенного чертежа четырехмерного пространства. Решение задач с объектами четырехмерного пространства рассматривается на примере построения сечения четырехмерной пирамиды, развертывания боковой поверхности четырехмерной пирамиды. Показывается, что для упрощения решения задач требуется система, позволяющая автоматически выполнять повторяющиеся последовательности построений. Приводится список элементарных построений и показывается способ записи составных построений и алгоритмов решения задач на их основе. Показывается, что построенная при помощи плоского чертежа трехмерная развертка боковой поверхности четырехмерной пирамиды может быть импортирована в САПР в виде трехмерной модели. Рассматривается развертывание боковой поверхности четырехмерного конуса. Показывается импортированная в САПР трехмерная модель поверхности полученной развертки. Указываются случаи, когда трехмерная модель объекта многомерного пространства может быть более наглядной, чем плоская. В качестве примера приводятся плоские модели мнимых продолжений прямых и окружностей комплексной плоскости, которая моделируется четырехмерным евклидовым пространством. Показываются две трехмерные проекции мнимых продолжений окружности с действительным радиусом в виде поверхностей трехмерного пространства. Отмечается, что для того, чтобы совместить в учебном курсе моделирование объектов многомерного пространства и работу в САПР, подходящими являются задачи на конструирование сложных технических поверхностей способом выхода в многомерное пространство. Приводится краткий обзор источников, в которых рассматриваются теоретические основы и применение ключевых способов конструирования поверхностей; показывается пример сконструированной прогрессистским ключевым способом поверхности, импортированной в САПР. Описывается концепция электронной модели изделия (ЭМИ), в которой трехмерный макет моделируемого объекта как его наглядное представление совмещается с многочисленными плоскими слоями, элементы которых автоматически выполняют геометрические и графические расчеты в пространствах любых измерений и управляют размерами и формой трехмерной модели через конструктивные и параметрические связи. Делаются выводы о возможности наглядного многомерного моделирования в учебном процессе, о преимуществах использования комплексного чертежа для решения задач с многомерными объектами, о необходимости использования специальных систем конструктивного геометрического моделирования, автоматизирующих повторяющиеся последовательности построений, о том, что плоские модели многомерных объектов могут и должны принимать непосредственное участие в формировании ЭМИ.
многомерная геометрия, обобщенный комплексный чертеж, гиперэпюр Радищева, начертательная геометрия многомерного пространства, трехмерное моделирование, геометрические построения, конструирование поверхностей, САПР.
Введение
В статье рассматриваются вопросы, связанные с построением моделей объектов многомерных евклидовых пространств в учебном процессе. Многочисленные публикации последних лет [10; 20–22; 29; 43] показывают, что моделирование объектов многомерных пространств имеет большое значение для решения практических задач, однако вопросы построений в многомерных пространствах, как правило, освещаются лишь в научных статьях и монографиях [8; 10; 24; 37; 38; 41]. Систематическое решение задач, связанных с построениями в многомерных пространствах, в учебном процессе не рассматривается. Попытка включения в курс «Наглядной инженерной геометрии» разделов, связанных с многомерным моделированием, в [35; 36] вызывает много вопросов. В частности, предлагаемый в [35] подход основан на рассмотрении следующих тем: пересечение геометрических фигур плоскостью, прямой, пересечение геометрических фигур между собой, структура и развертки n-мерных многогранников, решение метрических задач, которые излагаются, за исключением разверток, исключительно на примерах
трехмерного моделирования. В работе [36] производится попытка пояснить значение термина «наглядность» в контексте нового курса, но связь многомерных моделей с фазовыми пространствами системы в физической химии и материаловедении, с многокоординатной обработкой на станках с ЧПУ только декларируется без каких-либо наглядных примеров, а все практическое моделирование осуществляется при помощи «современных информационных технологий» — CAD-систем, по сути своей, не приспособленных для работы с пространствами более трех измерений. Сказанное свидетельствует о противоречиях, которые становятся очевидными при попытках увязать элементы многомерного моделирования с геометро-графическими курсами, базирующимися на использовании CAD-систем. Для преодоления этих противоречий требуется уточнить понятие наглядности в контексте многомерного моделирования и определить требования к компьютерным системам геометрического моделирования для решения задач, связанных с объектами многомерных пространств.
1. Агальцев А.В. Некоторые графические способы построения поверхностей, близких к минимальным [Текст] / А.В. Агальцев // Прикладная геометрия и инженерная графика. - 1969. - Вып. 8. - С. 66-71.
2. Баженский Ю.М. К вопросу о приложении теории сплайнов к ключевым методам конструирования поверхностей [Текст] / Ю.М. Баженский // Материалы Межзональной научно-методической конференции вузов Сибири, Урала и Дальнего Востока по прикладной геометрии и инженерной графике [Ч. 1]. - Омск: ОмПИ, 1975. - С. 103-106.
3. Баженский Ю.М. Ключевые методы в теории сплайнов [Текст] / Ю.М. Баженский, Ю.В. Сластин // Кибернетика графики и прикладная геометрия поверхностей [Вып. 12]. Труды Московского авиационного института имени С. Орджоникидзе. - М.: МАИ, 1975. - Вып. 331. - С. 54-57.
4. Бойков А.А. Роль начертательной геометрии в высшем техническом образовании в условиях компьютеризации образования [Текст] / А.А. Бойков, А.А. Сидоров, А.М. Федотов // Вестник Костромского государственного университета. Серия: Педагогика. Психология. Социокинетика. - 2017. - Т. 23. - № 3. - С. 139-144.
5. Бойков А.А. Средства автоматизации геометрических построений [Текст] / А.А. Бойков // Двенадцатая международная научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Энергия-2017»: Материалы конференции. - Т. 5. - Иваново: Изд-во Ивановского гос. энергетич. ун-та им. В.И. Ленина, 2017. - С. 188-189.
6. Бойков А.А. Трехмерная визуализация геометрических образов и отношений комплексной плоскости [Текст] / А.А. Бойков, Д.А. Шулайкин // Проблемы координации работы технических вузов в области повышения качества инженерно-графической подготовки студентов: материалы науч.-метод. конф. (с. Дивноморское, 10-16 сентября 2018 г.). - Ростов-на-Дону: Изд-во ДГТУ, 2018. - С. 163-171.
7. Вальков К.И. Введение в теорию моделирования [Текст] / К.И. Вальков. - Л.: Изд-во ЛИСИ, 1974. - 152 с.
8. Волошинов Д.В. Конструктивное геометрическое моделирование [Текст] / Д.В. Волошинов. - Saarbrucken: Lambert Academic Publishing, 2010. - 355 с.
9. Иванов Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии [Текст] / Г.С. Иванов. - М.: Машиностроение, 1998. - 158 с.
10. Короткий В.А. Геометрическое моделирование поверхности посредством ее отображения на четырехмерное пространство [Текст] / В.А. Короткий // Омский научный вестник. - 2015. - № 137. - С. 8-12.
11. Котов И.И. Геометрические основы ключевых способов построения поверхностей [Текст] / И.И. Котов // Начертательная геометрия [Вып. 1]. Труды Всесоюзного заочного энергетического института. - М.: Изд-во ВЗЭИ, 1957. - Вып. 10. - С. 15-36.
12. Котов И.И. Новый метод построения поверхностей, удовлетворяющих некоторым наперед заданным условиям [Текст] / И. И. Котов // Вопросы теории, приложений и методики преподавания начертательной геометрии. Труды Рижской научно-методической конференции. - Рига, 1960. - С. 143-161.
13. Кузнецов Н.А. К вопросу о наглядности изображений [Текст] / Н.А. Кузнецов // Начертательная геометрия и инженерная графика: сборник науч.-метод.статей. - 1973. - Вып. 1. - С. 24-30.
14. Курс начертательной геометрии с алгоритмами для ЭВМ [Текст] / Л.Г. Нартова [и др.]. - М.: Изд-во МАИ, 1994. - 253 с.
15. Кущ Н.В. Аналитическая интерпретация ключевых способов конструирования тентовых поверхностей [Текст] / Н.В. Кущ // Прикладная геометрия и инженерная графика. - 1972. - Вып. 14. - С. 110-114.
16. Кущ Н.В. О ключевых способах конструирования поверхностей тентовых покрытий [Текст] / Н.В. Кущ // Прикладная геометрия и инженерная графика. - 1973. - Вып. 17. - С. 23-26.
17. Кущ Н.В. Об уравнении поверхности, конструируемой ключевыми способами [Текст] / Н.В. Кущ // Прикладная геометрия и инженерная графика. - 1974. - Вып. 18. - С. 56-59.
18. Лапшин М.Л. Алгорифмизация ключевых способов образования поверхностей [Текст] / М.Л. Лапшин // Прикладная геометрия поверхностей. Труды Московского авиационного института имени С. Орджоникидзе. - М.: Изд-во МАИ, 1964. - С. 41-49.
19. Лапшин М.Л. Построение поверхностей ключевым способом [Текст] / М.Л. Лапшин // Вопросы начертательной геометрии. Труды Горьковского политехнического института имени А.А. Жданова. - Горький: Изд-во Горьковского политех. ин-та, 1963. - Т. 19. - Вып. 4. - С. 11-19.
20. Левкин Ю.С. Получение четырехмерных номограмм на базе теоремы подобия [Текст] / Ю.С. Левкин // Геометрия и графика. - 2017. - Т. 5. - № 2. - 69-74. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5953f334279642.78930109.
21. Левкин Ю.С. Пятимерная двухоктантовая эпюрная номограмма [Текст] / Ю.С. Левкин // Геометрия и графика. - 2017. - Т. 5. - № 4. - С. 44-51. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_5a17fecf2feac9.18123975.
22. Ляшков А.А. Особенность отображения гиперповерхности четырехмерного пространства [Текст] / А.А. Ляшков, К.Л. Панчук, Л.Г. Варепо // Геометрия и графика. - 2017. - Т. 5. - № 3. - С. 3-10. - DOI:https://doi.org/10.12737/article_59bfa3078af4c1.45321238.
23. Мельник В.И. Ключевой способ построения взаимообертывающих и гладкосопряженных поверхностей [Текст] / В.И. Мельник // Прикладная геометрия и инженерная графика. - 1975. - Вып. 19. - С. 49-52.
24. Методы начертательной геометрии и ее приложения [Текст]. - М.: Гостехиздат, 1955. - 412 с.
25. Мошкова Т.В. Исследование временных характеристик алгоритма восстановления каркасной модели по проекционным изображениям [Текст] / Т.В. Мошкова, С.А. Роменский, С.И. Ротков, В.А. Тюрина // Графикон-2018. - Томск, 2018. - С. 369-372.
26. Никифоров П.В. Получение кривой теоретического профиля Жуковского для создания 3D-модели поверхности крыла [Электронный ресурс]. - URL: http:// dgng.pstu.ru/conf2017/papers/62/
27. Подгорный А.Л. Ключевые способы задания множеств линий и конструирование поверхностей [Текст] / А.Л. Подгорный // Прикладная геометрия и инженерная графика. - 1969. - Вып. 9. - С. 6-21.
28. Подгорный А.Л. Конструирование гладкосопряженных поверхностей выделением из множеств составных линий [Текст] / А.Л. Подгорный, В.И. Мельник // Прикладная геометрия и инженерная графика. - 1973. - Вып. 17. - С. 16-19.
29. Притыкин Ф.Н. Аналитическое задание четырехмерной области разрешенных конфигураций руки андроидного робота при наличии запретной зоны в рабочем пространстве [Текст] / Ф.Н. Притыкин, Д.И. Нефедов // Графикон-2018. - Томск, 2018. - С. 376-380.
30. Программа для ЭВМ «Построение кривой второго порядка, проходящей через данные точки и касающейся данных прямых» [Текст] / Короткий В.А. - Свидетельство о государственной регистрации № 2011611961 от 04.03.2011.
31. Серегин В.И. Междисциплинарные связи начертательной геометрии и смежных разделов высшей математики [Текст] / В.И. Серегин, Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева, К.А. Муравьев // Геометрия и графика. - 2013. - Т. 1. - № 3-4. - С. 8-12. - DOI:https://doi.org/10.12737/2124.
32. Синицын В.Л. К вопросу исследования процесса топологического преобразования сопряженных линий [Текст] / В.Л. Синицын // Прикладная геометрия и инженерная графика. - 1968. - Вып. 7. - С. 89-93.
33. Синицын В.Л. Построение очерков деформируемых поверхностей [Текст] / В.Л. Синицын // Прикладная геометрия и инженерная графика. - 1967. - Вып. 5. - С. 120-124.
34. Сластин Ю.В. Ключевые методы в методе сплайнов конструирования поверхностей [Текст] / Ю.В. Сластин // Прикладная геометрия и инженерная графика. - 1979. - Вып. 28. - С. 49-50.
35. Соколова Л.С. Многомерное пространство и наглядная геометрия в учебной программе по геометрическо подготовке для бакалавриата [Текст] / Л.С. Соколова // Геометрия и графика. - 2015. - Т. 3. - № 1. - С. 40-46. - DOI:https://doi.org/10.12737/10457.
36. Соколова Л.С. О наглядности в инженерной геометрии [Текст] / Л.С. Соколова // Проблемы качества графической подготовки студентов в техническом вузе: традиции и инновации. - Пермь, 2017. - С. 138-147.
37. Станков С.С. Способы преобразования гиперэпюра В.П. Радищева [Текст] / С.С. Станков // Вопросы начертательной геометрии. Труды ГПИ имени А.А. Жданова. - 1963. - Т. 19. - Вып. 4. - С. 5-10.
38. Труды Московского научно-методического семинара по начертательной геометрии и инженерной графике [Текст]. - М., 1963. - 332 с.
39. Тюрина В.А. Разработка методов преобразования каркасной модели в задаче синтеза образа 3D-объекта по его проекциям [Текст]: автореф. дис. ... канд. техн. наук: 05.01.01 / В.А. Тюрина. - Нижний Новгород: Изд-во ННГАСУ, 2003. - 170 с.
40. Филиппов П.В. Гиперквадрики Е4 в ключевых методах конструирования поверхностей [Текст] / П.В. Филиппов, И.Ф. Архипенкова // Прикладная геометрия и инженерная графика. - 1986. - Вып. 41. - С. 10-11.
41. Филиппов П.В. Начертательная геометрия многомерного пространства и ее приложения [Текст] / П.В. Филиппов. - Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1979. - 280 с.
42. Хейфец А.Л. Инженерная компьютерная графика AutoCAD [Текст] / А.Л. Хейфец. - М.: Диалог-МИФИ, 2002. - 432 с.
43. Юрков В.Ю. Формальное представление условий инцидентности в многомерных проективных пространствах [Текст] / В.Ю. Юрков // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - № 4. - С. 3-13. - DOI:https://doi.org/10.12737/22838.
