Рассматривается решение проблемы описания экспериментально полученных зависимостей. Предложенный автором метод основывается на получении локальных приближений фрагментов данных зависимостей и аддитивном сведении их в единое аналитическое выражение. Такой эффект определяется применением специальных «выделяющих» функций, ограничивающих область ненулевого определения каждой из аппроксимирующих функций. По применяемым принципам аппроксимации метод назван «cut-glue»†. Наиболее близкий его аналог — сплайн-аппроксимация. Однако метод cut-glue значительно гибче, т. к. не связан ни количеством аппроксимируемых сплайном точек, ни порядком функций, аппроксимирующих участки. Порядок аппроксимирующего полинома или другой аппроксимирующей функции, а также её структура для каждого участка могут быть произвольными. Ещё одно выгодное отличие cut-glue аппроксимации состоит в единой аналитической записи всей кусочной функции вместо задания векторной сплайн-функции громоздкой системой уравнений. Такого эффекта удалось добиться применением аналитической функции, аппроксимирующей и параметрически сколь угодно приближающейся к единичной функции Хевисайда. Приведены результаты аналитического и численного исследования свойств и итогов применения предложенного метода. Они проиллюстрированы практическими примерами приложения метода к практическим задачам, табличными и графическими данными.
экспериментальная зависимость, кусочная функция, аппроксимация, мультипликативность, аддитивность, дифференцируемость, аналитическая функция, параметрическое приближение
Введение. Одним из важных практических приложений математических методов является решение задачи аппроксимации различного рода экспериментальных зависимостей. К аппроксимации приходится прибегать при построении математических моделей различных природных, технических, экономических, социальных и иных явлений и объектов на основе результатов экспериментальных исследований [1, 2]. Наиболее распространённым и математически проработанным подходом к решению таких задач является регрессионный анализ, опирающийся на метод наименьших квадратов (МНК) [1, 3].
Метод регрессионного полиномиального описания экспериментальных точечных данных в заданном диапазоне исследования является стандартным. Он поддерживается всеми универсаль- ными и несколькими специализированными программными средствами (MATLAB [4, 5], MathCAD [6, 7], Statistica [8, 9] и др.). Возможны и другие, не полиномиальные формы регрессионной аппроксимации, когда эмпирически подбирается совокупность подходящих для описания функций [7, 9]. Но этот подход нерегулярный и не поддержан таким мощным, хорошо разработанным математическим аппаратом, как классический регрессионный анализ. Однако и у последнего есть существенный недостаток — он плохо подходит для аппроксимации многоэкстремальных зависимостей, особенно кусочного характера с явными изломами, т. е. с фактически существующими разрывами по производной. В этом случае применение при обработке данных критерия МНК может дать два различных результата. Первый, при малом порядке аппроксимирующего полинома — очень грубое приближение к экспериментально снятым точкам. Второй, при высоком порядке — достаточно близкое воспроизведение зависимости в окрестности этих точек. При этом не обеспечивается гладкость описания межточечных интервалов. Так, на рис. 1 приведены примеры
1. Куприенко, Н. В. Статистические методы изучения связей. Корреляционно-регрессионный анализ / Н. В. Куприенко, О. А. Пономарева, Д. В. Тихонов. - Санкт-Петербург : Изд-во политехн. ун-та, 2008. - 118 с.
2. Нейдорф, Р. А. Эффективная аппроксимация кусочных функций в задачах квазиоптимального по быстродействию управления / Р. А. Нейдорф // Математические методы в технике и технологиях - 2000 : сб. трудов Междунар. науч. конф. - Санкт-Петербург, 2000. - Т. 2. - C. 18-22.
3. Bates, D.-M. Nonlinear regression analysis and its applications / D.-M. Bates, D.-G. Watts. - New York : John Wiley, 1988. - 371 p.
4. Applications of MATLAB in Science and Engineering / Edited by T. Michałowski. - Rijeka : InTech, 2011. - 371 p.
5. Чен, К. МАТЛАБ в математических исследованиях / К. Чен, П. Джиблин, А. Ирвинг. - Москва : Мир, 2001. - 346 с.
6. Maxfield, B. Essential MATHCAD for Engineering, Science and Math / B. Maxfield. - San Diego : Academic Press ; Elsevier, 2009. - 490 p.
7. Макаров, Е. Инженерные расчёты в Mathcad 15. Учебный курс / Е. Макаров. - Санкт-Петербург : Питер, 2001. - 400 с.
8. STATISTICA. Официальное руководство : в 5 т. / StatSoft. - Москва : StatSoft, 2007.
9. Боровиков, В. STATISTICA. Искусство анализа данных на компьютере / В. Боровиков. - 2-е изд. - Санкт-Петербург : Питер, 2003. - 688 с.
10. Нейдорф, Р. А. Исследование зависимости силы всплывания специализированного аэростата от параметров его движения / Р. А. Нейдорф, Ю. Л. Сигида // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. - 2013. - № 3-4 (72-73). - C. 96-103.
11. Stability Analysis of the MAAT Feeder Airship During Ascent and Descent with Wind Disturbances [Electronic resource] / R. Neydorf [et al.] // SAE International. - Available at: http://papers.sae.org/2013-01-2111/ (accessed : 04.01.2014).
12. Aerodynamic Characteristics Study and Possible Improvements of MAAT Feeder Airships [Electronic resource] / V. Voloshin [et al.] // SAE International. - Available at: http://papers.sae.org/2013-01-2112/. - 7 p. (accessed : 04.01.2014).
13. Дорофеюк, Ю. А. Структурная идентификация сложных объектов управления на базе методов кусочной аппроксимации / Ю. А. Дорофеюк // Управление большими системами. - 2010. - № 30. - С. 79-88.
14. Лоран, П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация / П.-Ж. Лоран. - Москва : Мир, 1975. - 496 с.
15. Альберг, Дж. Теория сплайнов и её приложения / Дж. Альберг, Э. Нильсон, Дж. Уолш. - Москва : Мир, 1972. - 318 с.
16. Ханова, А. А. Интерполяция средствами Mathcad [Электронный ресурс] / А. А. Ханова. - Режим доступа : http://www.exponenta.ru/educat/systemat/hanova/interp/math.asp (дата обращения : 04.01.2014).
17. Смоленский, В. В. Статистические методы обработки экспериментальных данных : учеб. пособие / В. В. Смоленский. - Санкт-Петербург : Санкт-Петербургский государственный горный институт (технический университет), 2003. - 101 с.
18. Нейдорф, Р. А. Нелинейное ускорение динамических процессов управления объектами первого порядка с учётом ограниченности воздействий / Р. А. Нейдорф // Управление и диагностика в динамических системах. - Ростов-на-Дону : Изд. центр Дон. гос. техн. ун-та, 1999. - С. 13.
19. Международная стандартная атмосфера [Электронный ресурс] / Академик // Энциклопедия техники. - Режим доступа : http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_tech/2697/ (дата обращения : 11.12.2013).
