A solution to the problem on describing experimentally obtained dependences is considered. The author’s method is based upon getting some local approximations of fragments of these relations, and their additive reduction to a single analytical expression. This effect is determined using special «allocating» functions limiting the domain of nonzero definition for each of the approximation functions. The method is called «cut-glue» according to the applied principles. The closest analogue of the proposed method is spline approximation. However, the «cut-glue» method is much more adaptable, as it is bonded to neither the number of spline-approximable points, nor the function order approximating the areas. The order of the polynomial approximant, or another approximating function, as well as its structure for each site, can be arbitrary. Another advantageous difference of «cut-glue» approximation consists in a single analytic notation of the whole piecewise function instead of defining a vector spline-function through a cumbersome system of equations. This effect has been achieved using an analytical function approximating and parametrically arbitrarily approaching the Heaviside step function. The analytical and numerical studies of the properties and the effects of applying the proposed method are resulted. The obtained results are illustrated with the specific technical sample applications of the method to practical problems, tabular and graphical data.
experimental dependence, piecewise function, approximation, multiplicativity, additivity, differentiability, analytic function, parametric approach
Введение. Одним из важных практических приложений математических методов является решение задачи аппроксимации различного рода экспериментальных зависимостей. К аппроксимации приходится прибегать при построении математических моделей различных природных, технических, экономических, социальных и иных явлений и объектов на основе результатов экспериментальных исследований [1, 2]. Наиболее распространённым и математически проработанным подходом к решению таких задач является регрессионный анализ, опирающийся на метод наименьших квадратов (МНК) [1, 3].
Метод регрессионного полиномиального описания экспериментальных точечных данных в заданном диапазоне исследования является стандартным. Он поддерживается всеми универсаль- ными и несколькими специализированными программными средствами (MATLAB [4, 5], MathCAD [6, 7], Statistica [8, 9] и др.). Возможны и другие, не полиномиальные формы регрессионной аппроксимации, когда эмпирически подбирается совокупность подходящих для описания функций [7, 9]. Но этот подход нерегулярный и не поддержан таким мощным, хорошо разработанным математическим аппаратом, как классический регрессионный анализ. Однако и у последнего есть существенный недостаток — он плохо подходит для аппроксимации многоэкстремальных зависимостей, особенно кусочного характера с явными изломами, т. е. с фактически существующими разрывами по производной. В этом случае применение при обработке данных критерия МНК может дать два различных результата. Первый, при малом порядке аппроксимирующего полинома — очень грубое приближение к экспериментально снятым точкам. Второй, при высоком порядке — достаточно близкое воспроизведение зависимости в окрестности этих точек. При этом не обеспечивается гладкость описания межточечных интервалов. Так, на рис. 1 приведены примеры
1. Kuprienko, N. V. Statisticheskie metody izucheniya svyazey. Korrelyatsionno-regressionnyy analiz / N. V. Kuprienko, O. A. Ponomareva, D. V. Tikhonov. - Sankt-Peterburg : Izd-vo politekhn. un-ta, 2008. - 118 s.
2. Neydorf, R. A. Effektivnaya approksimatsiya kusochnykh funktsiy v zadachakh kvazioptimal´nogo po bystrodeystviyu upravleniya / R. A. Neydorf. Matematicheskie metody v tekhnike i tekhnologiyakh - 2000 : sb. trudov Mezhdunar. nauch. konf. - Sankt-Peterburg, 2000. - T. 2. - C. 18-22.
3. Bates, D.-M. Nonlinear regression analysis and its applications / D.-M. Bates, D.-G. Watts. - New York : John Wiley, 1988. - 371 p.
4. Applications of MATLAB in Science and Engineering / Edited by T. Michałowski. - Rijeka : InTech, 2011. - 371 p.
5. Chen, K. MATLAB v matematicheskikh issledovaniyakh / K. Chen, P. Dzhiblin, A. Irving. - Moskva : Mir, 2001. - 346 s.
6. Maxfield, B. Essential MATHCAD for Engineering, Science and Math / B. Maxfield. - San Diego : Academic Press ; Elsevier, 2009. - 490 p.
7. Makarov, E. Inzhenernye raschety v Mathcad 15. Uchebnyy kurs / E. Makarov. - Sankt-Peterburg : Piter, 2001. - 400 s.
8. STATISTICA. Ofitsial´noe rukovodstvo : v 5 t. / StatSoft. - Moskva : StatSoft, 2007.
9. Borovikov, V. STATISTICA. Iskusstvo analiza dannykh na komp´yutere / V. Borovikov. - 2-e izd. - Sankt-Peterburg : Piter, 2003. - 688 s.
10. Neydorf, R. A. Issledovanie zavisimosti sily vsplyvaniya spetsializirovannogo aerostata ot parametrov ego dvizheniya / R. A. Neydorf, Yu. L. Sigida. Vestnik Don. gos. tekhn. un-ta. - 2013. - № 3-4 (72-73). - C. 96-103.
11. Stability Analysis of the MAAT Feeder Airship During Ascent and Descent with Wind Disturbances [Electronic resource] / R. Neydorf [et al.]. SAE International. - Available at: http://papers.sae.org/2013-01-2111/ (accessed : 04.01.2014).
12. Aerodynamic Characteristics Study and Possible Improvements of MAAT Feeder Airships [Electronic resource] / V. Voloshin [et al.]. SAE International. - Available at: http://papers.sae.org/2013-01-2112/. - 7 p. (accessed : 04.01.2014).
13. Dorofeyuk, Yu. A. Strukturnaya identifikatsiya slozhnykh ob´´ektov upravleniya na baze metodov kusochnoy approksimatsii / Yu. A. Dorofeyuk. Upravlenie bol´shimi sistemami. - 2010. - № 30. - S. 79-88.
14. Loran, P.-Zh. Approksimatsiya i optimizatsiya / P.-Zh. Loran. - Moskva : Mir, 1975. - 496 s.
15. Al´berg, Dzh. Teoriya splaynov i ee prilozheniya / Dzh. Al´berg, E. Nil´son, Dzh. Uolsh. - Moskva : Mir, 1972. - 318 s.
16. Khanova, A. A. Interpolyatsiya sredstvami Mathcad [Elektronnyy resurs] / A. A. Khanova. - Rezhim dostupa : http://www.exponenta.ru/educat/systemat/hanova/interp/math.asp (data obrashcheniya : 04.01.2014).
17. Smolenskiy, V. V. Statisticheskie metody obrabotki eksperimental´nykh dannykh : ucheb. posobie / V. V. Smolenskiy. - Sankt-Peterburg : Sankt-Peterburgskiy gosudarstvennyy gornyy institut (tekhnicheskiy universitet), 2003. - 101 s.
18. Neydorf, R. A. Nelineynoe uskorenie dinamicheskikh protsessov upravleniya ob´´ektami pervogo poryadka s uchetom ogranichennosti vozdeystviy / R. A. Neydorf. Upravlenie i diagnostika v dinamicheskikh sistemakh. - Rostov-na-Donu : Izd. tsentr Don. gos. tekhn. un-ta, 1999. - S. 13.
19. Mezhdunarodnaya standartnaya atmosfera [Elektronnyy resurs] / Akademik. Entsiklopediya tekhniki. - Rezhim dostupa : http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_tech/2697/ (data obrashcheniya : 11.12.2013).
