Рассматривается осесимметричная квазистатическая задача термоупругости о внедрении цилиндрического штампа с плоской подошвой, на которой поддерживается постоянная температура, в функционально-градиентное полупространство, модуль упругости, коэффициент Пуассона, коэффициенты теплопроводности и линейного расширения которого непрерывно изменяются в приповерхностном слое независимо друг от друга. Вне контактной зоны поверхность идеально теплоизолирована и свободна от напряжений. При решении задачи используются полученное ранее с помощью численноаналитических методов (аппарата интегральных преобразований Ханкеля и метода модулирующих функций) решение несмешанной задачи о произвольном термомеханическом воздействии на неоднородное по глубине термоупругое полупространство. Решение исходной задачи сводится к решению системы парных интегральных уравнений. Свойства трансформант ядер парных интегральных уравнений задачи позволяют применить хорошо обоснованный и развиваемый в настоящее время двусторонний асимптотический метод. С помощью данного метода найдены в аналитическом виде приближённые выражения для величин теплового потока и смещения поверхности полупространства, контактные напряжения под подошвой разогретого штампа. Приведены значения контактных напряжений для различных случаев изменения механических и температурных свойств в приповерхностном слое. Рассматриваются случаи, когда значения термоупругих свойств покрытия совпадают со значениями термоупругих свойств подложки, либо когда значение характеристики отличается в 2 раза (в большую или в меньшую сторону) на поверхности и линейно убывает (или растёт) по глубине до значения в подложке.
смешанные задачи, неоднородные материалы, термоупругость, функционально-градиентные материалы, аналитические методы
Введение. Учёт неоднородности свойств материала при моделировании тепломеханического воздействия является актуальной задачей термоупругости. Такая задача возникает, например, при исследовании свойств защитных покрытий из функционально-градиентных материалов для частей машин и механизмов, подверженных интенсивному термомеханическому воздействию.
Первые аналитические решения задачи об индентировании полубесконечного изотропного упругого тела осесимметричным нагреваемым штампом были получены в работах [1, 2]. Связанным задачам термоупругости были посвящены монографии В. Новацкого [3] и В. Г. Карнаухова [4]. Контактные задачи термоупругости рассматривались в статье [5] и последующих работах Д. В. Грилицкого и его соавторов. В работах Дж. Барбера (например, [6]) изучались задачи, связанные с контактом движущихся частей механизмов. Свой вклад в развитие термоупругих контактных задач также внесли R. A. Burton, N. Noda, В. Паук и многие другие. Из последних работ, рассматривающих задачу о внедрении горячего штампа, можно отметить [7]. В этой работе получено аналитическое решение задачи для трансверсально изотропного полупространства и рассмотрено его применение для сканирующей зондовой микроскопии.
В перечисленных выше работах предполагалось, что свойства деформируемой среды однородны по её объёму, и, таким образом, они не всегда являются применимыми для случая де- формирования тел с покрытиями или функционально-градиентных тел. При этом современные экспериментальные исследования показывают эффективность их применения в промышлености.
1. Бородачёв, Н. М. К решению контактных задач термоупругости в случае осевой симметрии / Н. М. Бородачёв // Известия АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. - 1962. - № 5. - С. 12-21.
2. Sneddon, I. N. The axisymmetric Boussinesq problem for a heated punch / I. N. Sneddon, D. L. George // J. Math. Mech. - 1962. - Vol. 11. - Pp. 665-689.
3. Nowacki, W. Thermoelasticity / W. Nowacki. - London : Pergamon Press, 1962.
4. Карнаухов, В. Г. Связанные задачи термовязкоупругости / В. Г. Карнаухов. - Киев : Наукова думка, 1982. - 260 с.
5. Грилицкий, Д. В. Осесимметричная контактная задача термоупругости для трансверсально изотропного полупространства / Д. В. Грилицкий, Б. Г. Шелестовский // Прикладная механика. - 1973. - Т. 6. - Вып. 8. - С. 3-8.
6. Barber, J. R. Thermoelastic contact of a rotating sphere and a half-space / J. R. Barber // Wear. - 1975. - Vol. 35. - Pp. 283-289.
7. Karapetian, E., Kalinin, S. V. Indentation of a punch with chemical or heat distribution at its base into transversely isotropic half-space: Application to local thermal and electrochemical probes / E. Karapetian, S. V. Kalinin // Journal of Applied Physics. - 2013. - Vol. 113. - DOI:https://doi.org/10.1063/1.4802097.
8. Li, J. Q. Fabrication and thermal properties of a YSZ-NiCr joint with an interlayer of YSZ-NiCr functionally graded material / Li, J. Q. [и др.] // Journal of the European Ceramic Society. - 2003. - Vol. 23. - Pp. 1847-1853.
9. Liu, J. Two-dimensional thermoelastic contact problem of functionally graded materials involving frictional heating / J. Liu, L.-L. Ke, Y.-S. Wang // International Journal of Solids and Structures. - 2011. - Vol. 48. - Pp. 2536-2548.
10. Barik, S. P. Steady state thermoelastic contact problem in a functionally graded material / S. P. Barik, M. Kanoria, P. K. Chaudhuri // International Journal of Engineering Science. - 2008. - Vol. 46. - Pp. 775-789.
11. Айзикович, С. М. Численно-аналитический метод решения осесимметричных несмешанных задач термоупругости для непрерывно-неоднородного по глубине полупространства / С. М. Айзикович, Л. И. Кренёв // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. - 2011. - Т. 11. - № 6 (57). - С. 800-811.
12. Кренёв, Л. И. Определение изменения формы поверхности непрерывно-неоднородного термоупругого полупространства при локальном нагреве / Л. И. Кренёв, С. М. Айзикович, Б. И. Митрин // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. - 2013. - № 3-4 (72-73). - С. 5-15.
13. Айзикович, С. М. Осесимметрическая задача о вдавливании круглого штампа в упругое, неоднородное по глубине полупространство / С. М. Айзикович, В. М. Александров // Известия АН СССР. Механика твёрдого тела. - 1984. - Т. 19. - № 2. - С. 73-82.
14. Айзикович, С. М. Асимптотическое решение одного класса парных уравнений / С. М. Айзикович // Прикладная математика и механика. - 1990. - Т. 54. - № 5. - С. 872-877.
15. Айзикович, С. М. О свойствах функций податливости, соответствующих слоистому и непрерывно-неоднородному полупространству / С. М. Айзикович, В. М. Александров // Доклады АН СССР. - 1982. - Т. 266. - № 1. - С. 40-43.
