An axially symmetric quasistatic thermoelasticity problem on the indentation of a flat ended cylindrical punch with a constant temperature at its base into the functionally-graded half-space which elasticity modulus, Poisson ratio, heat conductivity and expansion coefficients are independently continuously varying in the boundary layer, is considered. Out of the contact area, the surface is perfectly thermally-insulated and stress-free. The earlier solution, obtained through the combined numerical and analytical approach (using Hankel integral transform and the modulating function method) to the unmixed problem on the arbitrary thermomechanical effect upon the inhomogeneous in depth thermoelastic half-space, is applied to solve the problem. The original problem is reduced to the system of dual integral equations. The properties of the dual integral equations kernel transforms allow applying a well-grounded bilateral asymptotic technique which is being actively developed at present. The approximate expressions for determining the thermal flux, the half-space surface displacement, and the contact stresses under the heated stamp base, are obtained with the aid of this method. The numerical values of contact stresses for various cases of the thermomechanical properties variation in the boundary layer of the half-space are provided. The cases either when values of the thermomechanical coating properties are the same as those of the substrate, or when the property value differs twice (upward or downward) on the surface, and linearly decreases (or goes up) in depth to the value in the substrate, are considered.
mixed problems, inhomogeneous materials, thermoelasticity, functionally-graded materials, analytic methods.
Введение. Учёт неоднородности свойств материала при моделировании тепломеханического воздействия является актуальной задачей термоупругости. Такая задача возникает, например, при исследовании свойств защитных покрытий из функционально-градиентных материалов для частей машин и механизмов, подверженных интенсивному термомеханическому воздействию.
Первые аналитические решения задачи об индентировании полубесконечного изотропного упругого тела осесимметричным нагреваемым штампом были получены в работах [1, 2]. Связанным задачам термоупругости были посвящены монографии В. Новацкого [3] и В. Г. Карнаухова [4]. Контактные задачи термоупругости рассматривались в статье [5] и последующих работах Д. В. Грилицкого и его соавторов. В работах Дж. Барбера (например, [6]) изучались задачи, связанные с контактом движущихся частей механизмов. Свой вклад в развитие термоупругих контактных задач также внесли R. A. Burton, N. Noda, В. Паук и многие другие. Из последних работ, рассматривающих задачу о внедрении горячего штампа, можно отметить [7]. В этой работе получено аналитическое решение задачи для трансверсально изотропного полупространства и рассмотрено его применение для сканирующей зондовой микроскопии.
В перечисленных выше работах предполагалось, что свойства деформируемой среды однородны по её объёму, и, таким образом, они не всегда являются применимыми для случая де- формирования тел с покрытиями или функционально-градиентных тел. При этом современные экспериментальные исследования показывают эффективность их применения в промышлености.
1. Borodachev, N. M. K resheniyu kontaktnykh zadach termouprugosti v sluchae osevoy simmetrii / N. M. Borodachev. Izvestiya AN SSSR. OTN. Mekhanika i mashinostroenie. - 1962. - № 5. - S. 12-21.
2. Sneddon, I. N. The axisymmetric Boussinesq problem for a heated punch / I. N. Sneddon, D. L. George. J. Math. Mech. - 1962. - Vol. 11. - Pp. 665-689.
3. Nowacki, W. Thermoelasticity / W. Nowacki. - London : Pergamon Press, 1962.
4. Karnaukhov, V. G. Svyazannye zadachi termovyazkouprugosti / V. G. Karnaukhov. - Kiev : Naukova dumka, 1982. - 260 s.
5. Grilitskiy, D. V. Osesimmetrichnaya kontaktnaya zadacha termouprugosti dlya transversal´no izotropnogo poluprostranstva / D. V. Grilitskiy, B. G. Shelestovskiy. Prikladnaya mekhanika. - 1973. - T. 6. - Vyp. 8. - S. 3-8.
6. Barber, J. R. Thermoelastic contact of a rotating sphere and a half-space / J. R. Barber. Wear. - 1975. - Vol. 35. - Pp. 283-289.
7. Karapetian, E., Kalinin, S. V. Indentation of a punch with chemical or heat distribution at its base into transversely isotropic half-space: Application to local thermal and electrochemical probes / E. Karapetian, S. V. Kalinin. Journal of Applied Physics. - 2013. - Vol. 113. - DOI:https://doi.org/10.1063/1.4802097.
8. Li, J. Q. Fabrication and thermal properties of a YSZ-NiCr joint with an interlayer of YSZ-NiCr functionally graded material / Li, J. Q. [i dr.]. Journal of the European Ceramic Society. - 2003. - Vol. 23. - Pp. 1847-1853.
9. Liu, J. Two-dimensional thermoelastic contact problem of functionally graded materials involving frictional heating / J. Liu, L.-L. Ke, Y.-S. Wang. International Journal of Solids and Structures. - 2011. - Vol. 48. - Pp. 2536-2548.
10. Barik, S. P. Steady state thermoelastic contact problem in a functionally graded material / S. P. Barik, M. Kanoria, P. K. Chaudhuri. International Journal of Engineering Science. - 2008. - Vol. 46. - Pp. 775-789.
11. Ayzikovich, S. M. Chislenno-analiticheskiy metod resheniya osesimmetrichnykh nesmeshannykh zadach termouprugosti dlya nepreryvno-neodnorodnogo po glubine poluprostranstva / S. M. Ayzikovich, L. I. Krenev. Vestnik Don. gos. tekhn. un-ta. - 2011. - T. 11. - № 6 (57). - S. 800-811.
12. Krenev, L. I. Opredelenie izmeneniya formy poverkhnosti nepreryvno-neodnorodnogo termouprugogo poluprostranstva pri lokal´nom nagreve / L. I. Krenev, S. M. Ayzikovich, B. I. Mitrin. Vestnik Don. gos. tekhn. un-ta. - 2013. - № 3-4 (72-73). - S. 5-15.
13. Ayzikovich, S. M. Osesimmetricheskaya zadacha o vdavlivanii kruglogo shtampa v uprugoe, neodnorodnoe po glubine poluprostranstvo / S. M. Ayzikovich, V. M. Aleksandrov. Izvestiya AN SSSR. Mekhanika tverdogo tela. - 1984. - T. 19. - № 2. - S. 73-82.
14. Ayzikovich, S. M. Asimptoticheskoe reshenie odnogo klassa parnykh uravneniy / S. M. Ayzikovich. Prikladnaya matematika i mekhanika. - 1990. - T. 54. - № 5. - S. 872-877.
15. Ayzikovich, S. M. O svoystvakh funktsiy podatlivosti, sootvetstvuyushchikh sloistomu i nepreryvno-neodnorodnomu poluprostranstvu / S. M. Ayzikovich, V. M. Aleksandrov. Doklady AN SSSR. - 1982. - T. 266. - № 1. - S. 40-43.
