сотрудник
Москва, г. Москва и Московская область, Россия
студент
Москва, г. Москва и Московская область, Россия
ГРНТИ 67.23 Архитектурно-строительное проектирование
ББК 386 Технология строительного производства
Статья посвящена расчету изгибаемой плиты на локальные разрывные нагрузки. Для решения задачи привлекаются обобщенные уравнения метода конечных разностей (МКР). Эти уравнения позволяют решать задачу в пределах интегрируемой области с учетом раз-рывов искомой функции, ее первой производной и правой части исходного дифференциального уравнения. Разрешающее дифференциальное уравнение С. Жермен-Лагранжа сводится к двум численным аналогам. Полученные уравнения записываются для каждой расчетной точки сетки. Предлагаемая методика иллюстрируется на примере расчета плиты c шарнирным опиранием по контуру и в центральной точке, а также плиты c шарнирным опиранием по контуру и в четырёх точках, которые загружены равномерно распределенной нагрузкой. Результаты расчета при минимальном числе разбиений сравниваются с известным решением С.П. Тимошенко и с решением по МКЭ. Результаты иллюстрируют сходимость численного решения, что свидетельствует о возможности использования данного метода для решения подобных задач
изгибаемая плита, тонкая, изотропная, разрывные нагрузки, локальные, численное решение, обобщенные уравнения метода конечных разностей
Для расчета тонкой изгибаемой плиты на локальные и разрывные нагрузки в работе использовались обобщённые уравнения метода конечных разностей (МКР). Численное решение сводится к составлению разностных уравнений, которые позволяют учитывать конечные разрывы искомой функции, правой части исходных дифференциальных уравнений, а также – разрывы производных функций. Решены следующие задачи: шарнирно опёртая плита, загруженная равномерно распределённой нагрузкой с опорой в центре и на 4-х опорах. При этом исследовался вопрос сходимости решения. Расчёт проводился при разном числе разбиений. Результаты сравнивались с известным решением [1].
Дифференциальные уравнения изгиба тонкой изотропной плиты [1] запишем в безразмерном виде:
(1)
(2)
где 
– интенсивность нагрузки в какой-либо точке; 
– коэффициент Пуассона;
– цилиндрическая жесткость; 
– сторона плиты; 
–прогиб.
Численные аналоги уравнений (1), (2) [2] на квадратной сетке с шагом h:
(3)
(4)
Часть (фрагмент) сетки, на которой строится решение показана на рис.1.
Рис 1. Шаблон с расчётными точками
Безразмерные изгибающие моменты определяются по формулам:
(5)
(6)
Для квадратной плиты в центральной точке 1:
(7)
Уравнения (1) и (2), записанные для всех внутренних точек плиты с учетом граничных условий, позволяют определить напряженно-деформированное состояние.
1. Рассмотрим квадратную шарнирно опёртую по контуру плиту с опорой в центре на действие равномерно распределённой нагрузки q=1. Для решения задачи реакцию, возникающую в колонне, заменим нагрузкой типа «крест» распределённой по линейному закону с максимальной интенсивностью r. Таким образом, задача сводится к расчёту плиты на совместное действие равномерно
распределённой нагрузки и нагрузки типа «крест», расположенной в центре и направленной в противоположную сторону. Данная нагрузка будет учтена в виде скачка равного величине r:
. При шарнирном опирании на контуре:
Принимаем 
.
Запишем уравнения (3) и (4) для каждой из шести расчетных точек плиты. Прогиб в центральной точке равен нулю, а неизвестной будет являться величина скачка r. Для дальнейших вычислений удобнее точки обозначать одним индексом, расчетная схема показана на рис. 2, в силу симметрии изображена только четверть плиты, на рис. 3 показана центральная часть плиты с изображением нагрузки типа «крест».
Рис. 2. Четверть расчетной схемы к задаче 1.
Рис. 3. Аппроксимация реакции в центральной точке
Приведем в качестве иллюстрации решения уравнения (3) и (4) для точек 1 и 2, где 
учитывает полосовую нагрузку.
(8)
Откуда
,
где
(9)
Безразмерные изгибающие моменты вычисляются по (5) с учётом (6) и (7) при 
:
(10)
(11)
Выполним расчет, следуя методике [1]. Под равномерной нагрузкой интенсивностью q пластинка вызовет в колонне реакцию R. Устранив из системы колонну получим шарнирно опёртую квадратную плиту, несущую лишь заданную нагрузку q, прогибы производимые этой нагрузкой - 
. Далее устранив нагрузку q и проложив в центре сосредоточенную силу получим прогибы 
. Из условия что пластинка в центральной точке не прогибается получим значение реакции 
. Значения моментов в расчётных точках получены методом суперпозиции.
В таблице приведены значения изгибающих моментов на опоре и в четверти пролёта, а также значение реакции в колонне при разном числе разбиения. Одновременно расчет выполнялся МКЭ с использованием программного комплекса ЛИРА-САПР 2013 R3.
Таблица 1
Результаты расчёта задачи 1
|
|
R |
|
Изгибающий момент в четверти пролёта |
|
|
1/4 |
-0.2946 |
-0.0261 |
||
|
1/6 |
-0.3170 |
-0.0443 |
|
|
|
1/8 |
-0.3283 |
-0.0570 |
0.001 |
0.0192 |
|
МКЭ |
- |
-0.0482 |
0.0009 |
0.019 |
|
по [1] |
-0.3584 |
-0.0588 |
0.0004 |
0.0174 |
Расчет проводился на сетке с разным шагом. Из таблицы видно, что полученные значения R на опоре увеличиваются с уменьшением шага. Особенность в центральной точке связана с характером сосредоточенного воздействия на плиту.
2. Рассмотрим теперь квадратную шарнирно опёртую плиту на четырёх опорах, на действие равномерно распределённой нагрузки q=1. Расчетная схема представлена на рис. 4. Система разрешающих уравнений аналогична первой задаче, за исключением того, что скачки учитываются в точке 4, а не в точке 1. Откуда получаем решение:
Безразмерные изгибающие моменты вычисляются по (5) с учётом (6) и (7) при 
:
(12)
(13)
В таблице приведены значения изгибающих моментов при разном числе разбиения.
Рис. 4. Четверть расчетной схемы к задаче 2
Таблица 2
Результаты расчёта задачи 2
|
|
h=1/6 |
h=1/9 |
||
|
№ точки |
4 |
5 |
6 |
момент на опоре |
|
|
-0.0109 |
0.00018 |
0.0066 |
-0.0168 |
|
МКЭ |
-0.0119 |
0.00018 |
0.0054 |
-0.0119 |
|
|
-0.0109 |
0.0095 |
0.0066 |
- |
|
МКЭ |
-0.0119 |
0.0079 |
0.0054 |
- |
Анализ результатов, приведенных в таблице 2, показывает, что при достаточно редком разбиении значения изгибающих моментов в расчетных точках близки к значениям полученным методом конечных элементов. Относительная погрешность момента в точке 4 (на опоре) при h=1/6 составляет 9 %. Это позволяет судить о сходимости результата на минимальной сетке. Предложенный алгоритм решения можно использовать как дополнительный вариант расчета, наряду с другими методами.
Выводы. Решение тестовых задач на ряде сеток и использование принципа суперпозиции позволило подтвердить достоверность полученных результатов и решить новые задачи о расчете безбалочного перекрытия.
1. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки пер. с англ. М., Наука, 1966. 635 с.
2. Габбасов Р.Ф., Габбасов А.Р., Фила-тов В.В. Численное построение разрывных решений задач строительной механики. М.: Изд-во АСВ, 2008. 280 с.
3. Киселев В.А. Расчет пластин. М: Стройиздат, 1973. 151 с.
4. Руководство по проектированию же-лезобетонных конструкций с безбалочными перекрытиями / НИИ бетона и железобетона Госстроя СССР, Центр. н.-и. и проект.-эксперим. ин-т пром. зданий и соор. Госстроя СССР, Урал. проект. и н.-и. ин-т Госстроя СССР. М.: Стройиздат, 1979. 63 с.
5. Вайнберг Д.В. Справочник по прочно-сти, устойчивости и колебаниям пластин. К.: Будивельник, 1973. 488 с.
6. Михайлов Б.А. Пластинки и оболочки с разрывными параметрами. Л.: Изд-во Ле-нинградского университета, 1980. 196 с.
7. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н. Мозгалева М.Л. Численные и аналитиче-ские методы расчета строительных кон-струкций. М.: Изд-во АСВ, 2009. 336 с
8. Варданян Г.С., Андреев В.И., Атаров Н.М., Горшков А.А. Сопротивление материа-лов с основами теории упругости и пластич-ности. Изд-во: М.: Инфра-М; издание 2-е, испр. и доп. 2011. 638 с.
9. Li C., Zeng F. Finite difference methods for fractional differential equations // Interna-tional Journal of Bifurcation and Chaos in Ap-plied Sciences and Engineering. 2012. Т. 22. № 4. С.1230014
10. Самохвалова Е.О., Иванов А.Д. Стык колонны с безбалочным бескапительным пе-рекрытием в монолитном здании. Инженер-но-строительный журнал. 2009. № 3. С. 33-37.
11. Шарипов Л.Ш., Муминов И.С. Безбалочное перекрытие для строительства многоэтажных зданий из монолитного желе-зобетона. Вестник Таджикского технического университета. 2014. Т. 4. № 28. С. 107-110.
12. Рогалевич В.В., Тимашев С.А. Новый приближенный метод расчета гибких пластин постоянной и переменной жесткости. Академический вестник УралНИИ-Проект РААСН. 2012. № 1. С. 52-56.
13. Абрашитов В.С., Жуков А.Н., Карев М.Н., Кислицин Н.М., Лодяной К.А. Расчет квадратной пластины на изгиб. Фор-мирование локальной матрицы жесткости. В сборнике: Эффективные строительные кон-струкции: теория и практика сборник статей XVI Международной научно-технической конференции. Под редакцией Н.Н. Ласькова 2016. С.24-35.
14. Жилкин В.А. Расчет шарнирно опертых прямоугольных пластин методом конечных разностей в MathCAD. АПК России. 2017. Т. 24. №1. С. 119-129.
15. Байшев А.Ю., Байшев Ю.П., Голубева Е.А., Годзевич Э.В., Плохих В.И. Инновационные подходы к архитектурно-строительному проектированию железобе-тонных перекрытий многоэтажных зданий. Академический вестник УралНИИпроект РА-АСН. 2017. №1 (32). С. 69-73.
