Белгородская область, Россия
Белгородская область, Россия
ГРНТИ 67.53 Инженерное обеспечение объектов строительства
ББК 38 Строительство
Одним из основных тормозов в развитии оптимального проектирования металлических ферм является обеспечение устойчивости сжатых стержней. Попытки вовлечения этой про-блемы на основе критерия минимума объема (массы) материала оказались неудачными из-за трудностей отыскания глобального минимума. Оптимальное решение конструкции фермы в отношении ее топологии, геометрии, площадей и форм поперечных сечений стержней осу-ществляется на основе вариационных принципов структурного синтеза. Вытекающий из них универсальный критерий оптимальности приводит к минимуму расхода материала. Специфи-ка сжатых стержней отражена в выражении потенциальной энергии деформации. В то же время полное решение проблемы сжатых стержней осуществляется при дополнительном их исследовании на состояние стесненной или принужденной потери устойчивости.
структурный синтез фермы, вариационная постановка задачи, стесненная и принужденная потеря устойчивости
Введение. Одним из основных тормозов в развитии оптимального проектирования ферм явилось обеспечение устойчивости сжатых стержней. Эта проблема отражена в работе [1].
Практическая ценность использования теорем Леви невысока из-за неучета потери устойчивости. Попытки использовать метод последовательных приближений, в котором принимают на каждом шаге коэффициент продольного изгиба , отвечающий усилию, найденному на предыдущем шаге, к успеху не приводят: процесс расходится. Поэтому задача оптимизации ферм с учетом устойчивости должна ставиться как существенно нелинейная.
Теория Максвелла – Мичелла [2, 3] и ее развитие не получили большого практического применения при проектировании ферм, главным образом из-за того, что проектируемые конструкции неудовлетворительны с точки зрения устойчивости и технологичности.
Попытки вовлечения проблемы устойчивости сжатых стержней в теорию оптимизации ферм на основе критерия минимума объема (массы) материала оказались неудачными из-за трудностей отыскания глобального минимума. Решение этой проблемы стало возможным после установления вариационных принципов структурного синтеза [4], из которых вытекает формулировка универсального энергетического критерия оптимальности, обеспечивающего глобальный минимум объема (массы) материала.
Основная часть. Решение изопериметрической задачи при заданном объеме материала виртуальной фермы с внутренними силами Ni/ⱷi [5] свидетельствует о ее квазиравнонапряженности. Тем самым определяется критерий оптимальности проектируемой фермы.
В металлических фермах равнонапряженность связывают с расчетным сопротивлением R [6], принятие которого рассматривают как дополнительное условие в оптимизационной задаче.
Поскольку площадь поперечного сечения равна
(1)
выражение потенциальной энергии деформации фермы принимает вид:
(2)
где Е – модуль продольной упругости, li – длина стержня, n – число стержней.
Выражение объема материала с учетом (1) и (2) представляется в виде
(3)
Следовательно, в случае глобального минимума функционала (2) объем материала фермы также достигает глобального минимума.
Методика СНиП, построенная на зависимости коэффициента от гибкости стержня, требует дополнительного обоснования с позиции стесненной или принужденной потери устойчивости [7–9].
Потенциальная энергия деформации Ui сжатого стержня фермы с жесткими узлами при его бифуркации равна сумме работ концевых сил:
Ui = Аi (Ni) + Аi (Mi , Qi), (4)
где Аi (Ni)= Ni ∆i – работа продольных сжимающих сил на сближении концов стержня от изгиба; Аi (Mi , Qi) – работа изгибающих моментов и поперечных сил на перемещениях при изгибе стержня.
Так как Ui >0, то сумма работ (4) также всегда больше нуля. Но знаки слагаемых Аi (Ni) и
Аi (Mi , Qi) могут быть либо одинаковы, либо различны. Для сжимающей силы Ni ее работа Аi (Ni)>0, и это значит, что она способствует бифуркации стержня, то есть активной потери устойчивости. Работа других концевых усилий может быть больше, меньше или равна нулю.
Аi (Mi, Qi) >0 означает, что работы одной продольной силы Ni недостаточно для компенсирования приращения величины Ui, и окружающие стержни помогают его потере устойчивости (пассивная, или принужденная, потеря устойчивости).
Аi (Mi, Qi) < 0 свидетельствует о том, что окружающие стержни сопротивляются его бифуркации и, следовательно, сам стержень вовлекает в бифуркацию сжатые окружающие стержни (активная, или стесненная, потеря устойчивости).
Случай Аi (Mi, Qi) = 0 можно отнести к активной нестесненной потере устойчивости.
Естественно, что бифуркация стержня зависит от топологии системы, под которой подразумевается расположение стержней и способ их соединения между собой [10]. Вопросам оптимальной топологии посвящены работы [11–12].
На рис. 1 представлена оптимальная по структуре ферма [13] с параллельными поясами, имеющая раскосую решетку без стоек с нисходящим опорным раскосом и централизацией осей раскосов в узлах. Расчетная нагрузка: F(3) = F(5)=F(7)=70 кН, F(1) =35кН. Модуль упругости Е=2,06·105 МПа.
Рис. 1. Оптимальная конструкция фермы
Таблица 1
Внутренние усилия в ферме
|
Узел |
Стержень |
N, кН |
M, кН·см |
Q, кН |
|
(1) |
1 2 |
222,11 -151,63 |
131,08 -131,08 |
-0,98 0,86 |
|
(2) |
1 3 4 |
222,11 -221,66 265,19 |
-110,92 -20,12 131,04 |
-0,98 0,26 -1,03 |
|
(3) |
2 3 5 6 |
-151,63 -221,66 133,58 -59,96 |
123,79 -43,22 -88,11 7,54 |
0,86 0,26 0,61 -1,02 |
|
(4) |
4 5 7 8 |
265,19 133,58 -134,90 425,22 |
173,91 -63,57 -26,09 -84,25 |
-1,03 0,61 0,10 0,003 |
|
(5) |
6 7 9 10 |
-59,96 -134,90 49,16 -168,94 |
292,95 2,13 -96,00 -199,08 |
-1,02 0,10 0,66 -0,20 |
|
(6) |
8 9 11 12 |
425,22 49,16 -482,47 45,72 |
83,29 -68,42 13,75 -28,62 |
0,003 0,66 0,98 0 |
|
(7) |
10 11 |
-168,94 -482,47 |
258,28 -258,28 |
-0,2 0,98 |
В табл.1 представлены внутренние усилия N, M и Q, вычисленные в предположении, что узлы фермы жесткие. Продольные усилия в сжатых стержнях отмечены знаком минус. Моменты на концах стержней, направленные против хода часовой стрелки, приняты положительными. Пары поперечных сил обозначены по тому же принципу.
В табл. 2 представлены перемещения по горизонтальной (∆x) и вертикальной (∆y) осям и узлы поворота (ϑ) узлов фермы.
Таблица 2
Линейные и угловые перемещения узлов
|
Узел |
∆x, см |
∆y, см |
ϑ, 10-3 рад |
|
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) |
0 -0,66 0,11 -0,46 0,09 -0,16 0 |
0 -0,68 -1,42 -2,03 -2,60 -2,86 -3,05 |
4,52 4,23 4,56 3,75 2,82 1,91 0 |
Рис. 2. Стержень 1 из фермы на рис. 1
Выделим стержень 2 (рис. 2), приложим к нему внутренние усилия и покажем перемещения его краев. Вычислим работу Аi (Mi, Qi):
А2 (Mi, Qi) = 
(131,08·4,52·10-3 – 123,79·4,56·10-3 – 0,86·0,11)= –0,03 кН·см,
т.е. имеет место активная, или стесненная, потеря устойчивости.
Для стержней 6 и 10 аналогично вычисляем:
А6 (Mi, Qi) = (-7,54·4,56·10-3 – 292,95·2,82·10-3 – 1,02·1,42 + 1,02·2,6)= 0,17 кН·см,
А10 (Mi, Qi) = (199,08·2,82·10-3 – 258,28·0 – 0,2·2,6 + 0,2·3,05)=0,32 кН·см,
т.е. имеет место пассивная, или принужденная, потеря устойчивости.
Проведем аналогичные исследования для сжатых раскосов:
А3(Mi, Qi)= [20,12·4,23·10-3+43,22·4,56·10-3–0,26(0,66·0,866–0,68·0,5)– 0,26(0,11·0,866+1,42·0,5)]= 0,
А7 (Mi, Qi) = [26,09·3,75 – 2,13·2,82 – 0,1(0,46·0,866 –1,42·0,5)–0,1(0,09·0,866+2,65·0,5)]=0,
А11 (Mi, Qi) = [(-13,75·1,91+258,28·0) –0,98(0,16·0,866 – 2,86·0,5) –0,98·3,05·0,5 ] = – 0,15 кН·см.
Таким образом, стержням 3 и 7 присуща нестесненная, а стержню 11 – стесненная активная потеря устойчивости.
Так как обычно сечения элементов унифицируются, то такую унификацию целесообразно осуществлять, ориентируясь на блоки элементов с активной бифуркацией. В данном случае это касается верхнего пояса фермы.
Выводы. Оптимальное решение конструкции фермы в отношении ее топологии, геометрии, площадей и форм поперечных сечений стержней осуществляется на основе вариационных принципов структурного синтеза. Вытекающий из них универсальный критерий оптимальности приводит к минимуму расхода материала. Специфика сжатых стержней отражена в выражении потенциальной энергии деформации. В то же время полное решение проблемы сжатых стержней осуществляется при дополнительном их исследовании на состояние стесненной или принужденной потери устойчивости.
*Работа выполнена в рамках Программы развития опорного университета на базе БГТУ им. В.Г. Шухова.
1. Рейтман М.И., Шапиро Г.С. Методы оптимального проектирования деформируе-мых тел. М.: Наука, 1976. 266 с.
2. Michell A.G.M. The limits of economy of materials in framestructures // Philosophical Magazine and Jornal of Science. 1904. Vol. 8. № 47.
3. Прагер В. Основы теории оптималь-ного проектирования конструкций. М: Мир, 1977. 111 с.
4. Юрьев А.Г. Строительная механика: структурный синтез. М.: МИСИ, 1982. 100с.
5. Юрьев А.Г., Зинькова В.А., Смоляго Н.А., Яковлев О.А. Оптимизация структуры металлических ферм // Вестник БГТУ им. В.Г. Шухова. 2017. № 7. С. 41-45.
6. Стальные конструкции. Актуализи-рованная редакция СНиП II-23-81*: СП 16.13330.2011. М.: ОАО «ЦПП», 2011. 171 с.
7. Смирнов А.Ф. Статическая и дина-мическая устойчивость сооружений. М.: Трансдориздат, 1947.
8. Александров А.В. Роль отдельных элементов стержневой системы при потере устойчивости // Вестник МИИТ. 2001. Вып. 5.
9. Александров А.В., Травуш В.И., Матвеев А.В. О расчете стержневых кон-струкций на устойчивость // Промышленное и гражданское строительство. 2002. № 3. С. 16-19.
10. Majid K.I. Optimum design of struc-tures. - London: Newnes - Butterworths, 1979. 238 p.
11. Zinkova V.A., Yuriev A.G., Peshkova E.V. Designing of tube trusses without gusset plate with joint connections // International Jour-nal of Applied Engineering Research. 2015. № 5. Vol. 10. Р. 1239-12398.
12. Зинькова В.А. Оптимизация тополо-гии металлических ферм // Вестник БГТУ им. В.Г. Шухова. 2015. № 2. С. 37-40.
13. Юрьев А.Г., Зинькова В.А. Вариа-ционный метод определения конфигурации плоских металлических ферм // Zbornik ra-dova: Visoka tehnička škola strukovnih studija Niš. Niš (Serbia), 2016. December. P. 166-169.
