г. Москва и Московская область, Россия
г. Москва и Московская область, Россия
Влияние фильтрации подземных вод на прочность грунта необходимо учитывать при проектировании туннелей и гидротехнических сооружений. При прохождении потока суспензии через пористую горную породу часть твердых частиц застревают в порах и образуют осадок. Осажденные частицы блокируют поры и влияют на интенсивность потока грунтовых вод. В работе рассматривается одномерная математическая модель фильтрации монодисперсной суспензии в неоднородной пористой среде. Предполагается, что при задержании твердых частиц суспензии порами основную роль играет механико-геометрический механизм захвата частиц. Предлагаемая модель учитывает изменение пористости и проницаемости пористой среды при образовании осадка. Получено численное решение задачи методом конечных разностей.
суспензия, пористая среда, задача фильтрации, взвешенные и осажденные частицы, численное моделирование.
Введение. При проектировании и строительстве оснований и фундаментов необходимо учитывать влияние фильтрации подземных вод на прочность грунта. Задача фильтрации суспензии в пористой среде описывает изменение характеристик горной породы при осаждении в порах твердых частиц [1–3].
Пористая среда – это твердое тело, содержащее тонкие полые каналы различной длины и поперечного сечения (поры). При прохождении потока суспензии (несущей жидкости с взвешенными частицами) через пористую среду некоторые частицы застревают в порах и образуют осадок. Геометрическая модель захвата частиц предполагает, что частицы застревают на входе малых пор, и беспрепятственно проходят через поры большого поперечного сечения.
Базовая модель фильтрации монодисперсной суспензии предполагает, что скорость частиц в пористой среде постоянна, и осадок не влияет на пористость и проницаемость пористой среды [4–6]. Более сложные модели фильтрации в однородной пористой среде учитывают изменение пористости и проницаемости при образовании осадка, и непостоянство скорости движения взвешенных частиц [7].
В ряде задач фильтрации найдено точное решение [7–9], в других строится асимптотика [10–14]. Если аналитическое решение отсутствует, для решения задачи используются численные методы [15–17].
В работе рассматривается математическая модель фильтрации монодисперсной суспензии в неоднородной пористой среде, учитывающая изменение пористости и коэффициента фильтрации при образовании осадка. Суспензия постоянной концентрации впрыскивается в пористую среду, не содержащую взвешенных и осажденных частиц. Задача состоит в нахождении концентраций взвешенных и осажденных
частиц в пористой среде. Получено численное решение задачи методом конечных разностей [18].
Постановка задачи. Одномерная модель фильтрации суспензии в неоднородной пористой среде с изменяющейся пористостью и проницаемостью состоит из двух уравнений в частных производных
; (1)
. (2)
Здесь коэффициент фильтрации , пористость
и проницаемость пористой среды
являются непрерывными функциями,
неотрицательная,
и
строго положительны при
.
Система уравнений (1), (2) рассматривается в области .
Краевые условия для системы (1), (2) ставятся на входе фильтра и в начальный момент времени
:
, (3)
;
. (4)
Условия (3), (4) определяют единственное решение задачи в области W.
Подвижная граница области, заполненной частицами, и пустой части пористой среды называется фронтом концентраций взвешенных и осажденных частиц. Фронт концентраций является характеристической линией уравнения (1), выходящей из начала координат.
Поскольку условия (3) и (4) не согласованы в нуле, то согласно теории характеристик на фронте концентраций решение имеет сильный разрыв; а решение
– слабый разрыв (разрыв производных первого порядка). За фронтом концентрации в области
решение положительно
; перед фронтом в
задача (1)-(4) имеет нулевое решение
.
Фронт концентраций взвешенных и осажденных частиц распространяется в пористой среде с переменной скоростью
. (5)
Точное решение на входе фильтра. Уравнение (2) на входе фильтра имеет вид
. (6)
Делим обе частей уравнение (6) на
(7)
и интегрируем (7) относительно переменной
. (8)
Используя условие (4), преобразуем интеграл в левой части (8)
. (9)
Формула (9) задает концентрацию осажденных частиц на входе фильтра.
Рассмотрим наиболее важные примеры коэффициентов фильтрации. Коэффициент фильтрации называется блокирующим, если он положителен при
, и обращается в ноль при
. В этом случае концентрация осажденных частиц ограничена величиной
.
Рассмотрим наиболее важные примеры коэффициентов фильтрации. Коэффициент фильтрации называется блокирующим, если он положителен при
, и обращается в ноль при
. В этом случае концентрация осажденных частиц ограничена величиной
.
А) Для линейного блокирующего коэффициента фильтрации
, (10)
где , интеграл в левой части (9) вычисляется явно:
. (11)
Концентрация осажденных частиц на входе фильтра для коэффициента фильтрации (10) имеет вид
. (12)
Б) Для квадратичного блокирующего коэффициента фильтрации
(13)
интеграл (9) равен
.(14)
Зависимость от времени концентрации осажденных частиц на входе фильтра задается соотношением
. (15)
Формулы (12), (15) показывают, что функция монотонно возрастает и при больших значениях времени t стремится к предельному значению
.
На рис. 1 а), б) показаны графики концентрации осажденных частиц на входе фильтра для блокирующих коэффициентов фильтрации (12) и (15) для значения параметров .
Численный расчет. Расчет осуществляется методом конечных разностей. Для уравнения (1) применяется TVD-версия схемы Лакса-Вендроффа. Для уравнения (2) используется метод Рунге-Кутта второго порядка. Решение системы (1)-(4) получено в области . Шаг интегрирования по x:
, шаг по t:
. Схема удовлетворяет условию Куранта-Фридрихса-Леви:
.
Численный расчет задачи выполнен для коэффициентов уравнений (1), (2) ,
,
.
|
|
|
|
Рис. 1. a) Концентрация осажденных частиц |
б) Концентрация осажденных частиц |
На рис. 2 а) и б) представлены 3-D графики концентраций взвешенных и осажденных частиц.
|
|
|
|
Рис. 2. а) Концентрация взвешенных частиц |
б) Концентрация осажденных частиц |
|
|
|
Графики концентраций взвешенных частиц при фиксированном времени и при фиксированном расстоянии
изображены на рис. 3 а) и б).
|
|
|
|
Рис. 3. а) Концентрация взвешенных частиц |
б) Концентрация взвешенных частиц |
Графики концентраций осажденных частиц при фиксированном времени и при фиксированном расстоянии
изображены на рис. 4 а) и б).
|
|
|
|
Рис. 4. а) Концентрация осажденных частиц |
б) Концентрация осажденных частиц |
Заключение. В работе найдено численное решение одномерной задачи фильтрации монодисперсной суспензии в неоднородной пористой среде. В отличие от стандартных моделей, рассматривающих однородную пористую среду, рассчитана задача, в которой пористость и коэффициент фильтрации зависят не только от концентрации осажденных частиц , но и от расстояния
до входа фильтра. Рис. 2 показывает, как взвешенные и осажденные частицы постепенно заполняют пористую среду, двигаясь от входа
к выходу
. Фронт концентраций взвешенных и осажденных частиц - граница раздела двух частей пористой среды - пустой и заполненной частицами движется со скоростью
, и в некоторый момент времени достигает выхода (рис. 2). В каждой точке
пористой среды происходит накопление осадка. Чем больше значение
, тем позже в эту точку доходит фронт концентраций и начинается образование осадка (рис. 2). С ростом осадка скорость прироста осажденных частиц уменьшается. С увеличением времени концентрация осажденных частиц стремится к предельному значению
. При больших временах накопление осадка прекращается и концентрация взвешенных частиц стремится к максимальному значению на входе пористой среды
.
1. Khilar K.C., Fogler H.S. Migrations of fines in porous media. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1998. 180 p.
2. Santos A., Bedrikovetsky P., Fontoura S. Analytical micro model for size exclusion: Pore blocking and permeability reduction // Journal of Membrane Science. 2008. Vol. 308. №. 1. Pp. 115-127.
3. Civan F. Reservoir formation damage: fundamentals, modeling, assessment, and mitigation. Gulf Professional Publishing, 3nd ed., 2016. 1044 p.
4. Herzig J.P., Leclerc D.M., Legoff P. Flow of suspensions through porous media - application to deep filtration // Industrial and Engineering Chemistry. 1970. Vol. 62. Pp. 8-35.
5. Vyazmina E.A., Bedrikovetskii P.G., Polyanin A.D. New classes of exact solutions to nonlinear sets of equations in the theory of filtration and convective mass transfer // Theoretical Foundations of Chemical Engineering. 2007. Vol. 41. Iss. 5. Pp. 556-564.
6. Kuzmina L.I., Osipov Yu.V. Particle transportation at the filter inlet // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2014. Vol. 10. Iiss.3. Pp. 17-22.
7. You Z., Bedrikovetsky P., Kuzmina L. Exact Solution for Long-Term Size Exclusion Suspension-Colloidal Transport in Porous Media // Abstract and Applied Analysis. 2013. Vol. 2013. Iss. "Mathematical and Computational Analyses of Flow and Transport Phenomena". 9 p.
8. Кузьмина Л.И., Осипов Ю. В. Расчет фильтрации с двумя механизмами захвата частиц // Строительная механика и расчет сооружений. 2017. № 1. С. 59-64.
9. L.I. Kuzmina, Yu.V. Osipov Calculation of filtration of polydisperse suspension in a porous medium // MATEC Web of Conferences. 2016. Vol. 86. №. 01005. 5 p.
10. You Z., Osipov Y., Bedrikovetsky P., Kuzmina L. Asymptotic model for deep bed filtration // Chemical Engineering Journal. 2014. Vol. 258. Pp. 374-385.
11. Kuzmina L., Osipov Yu. Asymptotic solution for deep bed filtration with small deposit // Procedia Engineering. 2015. Vol. 111. Pp. 491-494.
12. Kuzmina L.I., Osipov Yu.V. Deep Bed Filtration Asymptotics at the Filter Inlet // Procedia Engineering. 2016. Vol. 153. Pp. 366-370.
13. Kuzmina L.I., Osipov Yu.V. Asymptotic model of filtration in almost stationary mode // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2016. Vol. 12. Iss.1. Pp. 158-163.
14. Кузьмина Л.И., Осипов Ю.В. Асимптотика задачи фильтрации суспензии в пористой среде // Вестник МГСУ. 2015. № 1. С. 54-62.
15. Голубев В.И., Михайлов Д.Н. Моделирование динамики фильтрации двухчастичной суспензии через пористую среду // Труды МФТИ. 2011. Т. 3. С. 143-147.
16. Galaguz Y.P., Safina G.L. Modeling of Particle Filtration in a Porous Medium with Changing Flow Direction // Procedia Engineering. 2016. Vol. 153. Pp. 157-161.
17. Galaguz Y.P., Safina G.L. Modeling of fine migration in a porous medium // MATEC Web of Conferences. 2016. Vol. 86. №. 03003. 6 p.
18. Toro E.F. Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics. Springer, Dordrecht, 2009. 724 p.
19. Галагуз Ю.П. Реализация TVD-схемы численного решения задачи фильтрации // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2017. Vol. 13. Iss. 2. Pp. 93-102.
