Белгородская область, Россия
Белгородская область, Россия
Белгородская область, Россия
Белгородская область, Россия
ГРНТИ 67.03 Инженерно-теоретические основы строительства
ББК 386 Технология строительного производства
Косой изгиб рассматривается как одновременный изгиб бруса моментами Mz и My, для которых оси z и y являются главными центральными осями инерции сечения. Цель работы - выявление рациональных сечений для этого вида деформации при заданном дополнительном условии. Идея заключается в надлежащем «обволакивании» материей силового поля. Способ ее осуществления - рассмотрение изопериметрической задачи, в которой при варьировании параметров поперечного сечения бруса его площадь остается постоянной. Рассмотрены два типа сечения: коробчатое и в форме Z. Из условий минимума функции напряжений выведены уравнения, позволяющие определить варьируемые параметры. Форма Z оказалась намного эффективнее коробчатого профиля: экстремальные напряжения на 25 % меньше. В изопериметрической задаче подбирается материал с расчетным сопротивлением, соответствующим экстремальному напряжению.
косой изгиб, рациональное сечение бруса, экстремальные напряжения, изопериметрическая задача
Введение. В отличие от прямого изгиба общий случай изгиба, при котором плоскость действия момента не совпадает с главной осью инерции сечения, называется косым изгибом.
Косой изгиб удобнее всего рассматривать как одновременный изгиб бруса моментами 
и 
, для которых оси z и y являются главными центральными осями инерции сечения, а плоскости действия xz и yz – главными плоскостями бруса [1–3].
Основная часть. Зададим момент М на торце бруса в силовой плоскости, составляющей с главной плоскостью xy угол β (рис. 1) и обозначенной следом f – f. Тогда 
, 
.
Напряжение в точке (z,y) можно определить как алгебраическую сумму напряжений от и 
[4–10]:
(1)
Минус введен для согласования знаков между внутренним усилием и напряжением (положительный момент вызывает в точках первого квадранта отрицательные напряжения, то есть напряжения сжатия).
Рассмотрим изопериметрическую задачу (площадь сечения А при неизменяемых размерах В и Н задана), заключающуюся в определении сторон b и h внутреннего прямоугольника, которые обеспечивают при заданном расположении силовой плоскости минимум абсолютной величины напряжений в опасных точках сечения и вместе с этим минимальный расход материала [11–13].
Рис. 1. Коробчатое сечение бруса со следом силовой плоскости f - f
Итак, при 
и 
, получаем дополнительное условие в виде
(2)
Функция экстремальных напряжений (при
) с дополнительным условием (2) получает вид:
(3)
где 𝜆 – множитель Лагранжа, имеющий постоянную величину в изопериметрический задаче.
Условия минимума функции (3):
(4)
представляются в виде следующих уравнений:
(5)
(6)
(7)
Из уравнений (5) и (7) находим соответственно:
(8)
(9)
Подставляя выражения 𝜆 и m в уравнение (6), получаем синтезирующее уравнение:
(10)
Решение нелинейного уравнения (10) дает величину k, а, следовательно, и b. После этого из зависимости (9) находим величину m, а, следовательно, и h.
Доказательством минимума функции Ф служит положительная разность ее значений для сравниваемого варианта в надлежащей окрестности и полученного решения.
В качестве числового примера рассмотрен случай: B = 10 см, H = 20 см, A = 122 см2, β = 30°. После подстановки этих значений в уравнение (10) и его решения получено значение k = 0,6, а затем по формуле (9) находим m = 0,65. Эти числа показывают, что стороны внутреннего прямоугольника b = 6 см и h = 13 см не составляют единой пропорции со сторонами наружного прямоугольника B = 10 см и H = 20 см соответственно.
Примечательно, что в случаях β = 0 и β = 90°, характерных для плоского изгиба, уравнение (10) выражает ориентацию на сплошное сечение.
В конце XIX века немецкий ученый В. Роукс сформулировал закон «борьбы элементов» в организме, по которому максимум работы осуществляется минимумом материала. Постоянное функциональное раздражение вызывает усиление действующего органа путем повышения поставки вещества. Отсутствие раздражения позволяет перенести вещество в другие органы, где, напротив, налицо повышение раздражения. Этим объясняется способность живых систем адаптироваться к длительным и многократным воздействиям внешних факторов умеренной интенсивности путем как функциональной, так и морфологической перестройки отдельных структур и систем. Таков процесс «обволакивания» материей силового поля [14].
Исследуя косой изгиб бруса, мы убеждаемся в том, что экстремальные напряжения в сечении образуются в квадрантах, в которых расположен след силовой плоскости. Следовательно, в этих квадрантах должно быть и сосредоточение материала.
Указанному требованию удовлетворяет Z-овый профиль (рис.2). В литературе по сопротивлению материалов эта идея не нашла отражения, а сам упомянутый профиль рассматривается как образец сложного сечения и не более того.
Рассмотрим аналогичную задачу для этого профиля. Можно варьировать четыре параметра, определяющие конфигурацию сечения, но это значительно усложнит решение задачи. Принципиально важно найти соотношение размеров b и t частей сечения, определяющих рациональное расположение материала при восприятии косого изгиба.
Рис. 2. Z-овое сечение бруса со следом силовой
плоскости f - f
Представим геометрические характеристики сечения [15]:
(11)
(12)
(13)
Дополнительное условие имеет вид:
(14)
Функция экстремальных напряжений (
получает вид:
(15)
Условия минимума функционала (15):
(16)
представляются в виде следующих уравнений:
(17)
(18)
(19)
Получив 𝜆 из уравнения (17) и выражение
(20)
из уравнения (19) и подставив их в уравнение (18), приходим к синтезирующему уравнению с неизвестным b (из-за громоздкости не приводится).
В качестве числового примера рассмотрен случай: h = 20 см, A = 122 см2, β = 30°. После подстановки этих значений в синтезирующее уравнение и его решения получаем размер сечения
b = 11,3 см, а затем по формуле (20) 
t = 3,5 см.
Экстремальные напряжения, равные по модулю 0,0024M, оказались на 25 % меньше, чем в случае коробчатого сечения (0,0031M) при той же площади поперечного сечения.
Выводы. Из двух сравниваемых сечений - коробчатого и Z-ового - последнее при косом изгибе оказывается значительно эффективнее при расчетах на прочность. Можно предположить, что при варьировании четырьмя параметрами сечения можно достичь еще более рационального его варианта. В изопериметрической задаче подбирается материал, расчетное сопротивление которого соответствует экстремальному напряжению.
*Работа выполнена в рамках Программы развития опорного университета на базе БГТУ им. В.Г. Шухова.
1. Timoshenko S. Strength of materials. Ele-mentary theory and problems. Toronto - London - New York: D. van Nostrand Company. 1930. 380 p.
2. Фепль А. Техническая механика. Т. 3. Сопротивление материалов. М.: ОНТИ НКТП СССР. 1937. 334 с.
3. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. М.: Наука. 1967. 552 с.
4. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов. М.: Высшая школа. 1995. 360 с.
5. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. М.: ГИФМЛ. 1959. 856 с.
6. Биргер И.А., Мавлютов Р.Р. Сопротивление материалов. М.: Наука. 1986. 560 с.
7. Гастев В.А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: ГИФМЛ. 1959. 424 с.
8. Глушков Г.С., Синдеев В.А. Курс сопротивления материалов. М.: Высшая школа. 1965. 768 с.
9. Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов. М.: Высшая школа. 1969. 736 с.
10. Хечумов Р.А., Юрьев А.Г., Толбатов А.А. Сопротивление материалов и основы строительной механики. М.: АСВ. 1994. 387 с.
11. Юрьев А.Г. Вариационные постановки задач структурного синтеза // Докл. 5-го нац. конгр. по теор. и прикл. механ. (Болгария). В 2 т. Т. 1. София: Изд-во Болгар. АН. 1985. С. 318-323.
12. Юрьев А.Г. Вариационные принципы строительной механики Белгород. Изд-во БелГТАСМ, 2002. 90 с.
13. Юрьев А.Г. Оптимизация ферм на основе энергетического критерия // Вестник БелГТАСМ. 2002. №2. С. 59-61.
14. Roux W. Gesammelte Abhandlungen über Entwicklungsmechanik der Organismen. Bd 1-2. Leipzig, 1895. 1112 s.
15. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. Киев: Наукова думка, 1988. 736 с
