НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ШИРОТНО-ИМПУЛЬСНОЙ СИСТЕМЕ УПРАВЛЕНИЯ ТЕПЛОТЕХНИЧЕСКИМ ОБЪЕКТОМ
Аннотация и ключевые слова
Аннотация (русский):
Исследуются динамические режимы и бифуркации в импульсной системе управления нагревательной установкой, состояние которой описывается дифференциальными уравнениями с разрывными правыми частями. Показано, что рассматриваемая система может демонстрировать чрезвычайно большое многообразие нелинейных явлений и бифуркационных переходов, таких как, квазипериодичность, мультистабильное поведение, хаотизация колебаний через классический каскад бифуркаций удвоения периода и бифуркации граничного столкновения.

Ключевые слова:
нагревательная установка, тепловой объект, теплопроводность, тигель, дробный порядок, закон управления, полевой транзистор, широтно-импульсная модуляция, бифуркация.
Текст
Текст произведения (PDF): Читать Скачать

Введение. Технология выращивания монокристаллов представляет собой процесс управляемой кристаллизации, при котором качество растущего кристалла определяется точностью управления условиями фазовых переходов [1]. При выращивании кристалла синтетического сапфира необходимо обеспечить закон изменения температуры в тигле от 25 °С до 2050 °С с определённой степенью наращивания и спада температуры, что предполагает применение автоматической системы управления с возможностью программного задания изменения температуры в тигле с заданной точностью.

Теплотехнический объект, нагревательная установка, состоит из следующих зон: внутреннего печного пространства 1, заполненного воздухом или газом; нихромового электронагревателя 2, равномерно распределённого во внутреннем слое футеровки 3, состоящей из магнезитового кирпича и внешнего слоя футеровки 4 из минеральной ваты в цилиндрическом стакане из оцинкованной стали (рис. 1). Геометрическая форма печи – ограниченный цилиндр, сверху и снизу которого располагается футеровка.

Для решения задачи синтеза закона управления классическим методом аппроксимации с использованием свободно распространяемой библиотеки FOMCON по экспериментальной кривой разгона теплового объекта определена передаточная функция нагревательной установки следующего вида:

                (1)

где – коэффициент передачи объекта, T1,T2 – постоянные времени объекта [2, 3].

 

 

Рис. 1. Нагревательная установка

 

Используемые в настоящее время регуляторы температуры с тиристорными преобразователями существенно искажают форму кривой тока, потребляемого из сети, приводя к возникновению в питающей сети несинусоидальных режимов.

Для устранения указанных недостатков на базе патента авторов [4] разработана и реализована система управления нагревателем высокой мощности, построенная на основе высокочастотного преобразователя электрической энергии с широтно-импульсным регулированием. Повышение энергетических показателей с упрощением управления технологическим объектом достигается за счет использования в качестве ключевых элементов преобразователя полевых транзисторов с применением дробных законов управления широтно-импульсной модуляцией, улучшающих качество системы [5–7].

Однако в нелинейных импульсных системах при вариации параметров объекта управления, а также воздействии внешних возмущений возможно возникновение сложных нелинейных явлений, включая колебания на пониженных частотах, кратных частоте модуляции, квазипериодические и хаотические режимы [8, 9].

Следствием этого является многократное увеличение амплитуды колебаний температуры нагревательной установки, снижение точности регулирование и нарушение хода технологического процесса.

Целью данной работы является численное исследование бифуркационных явлений в динамике импульсной системы управления нагревательной установкой.

 

  1. Постановка и аналитическое решение

задачи

Уравнение движения системы управления нагревательной установкой, непрерывная линейная которой описывается передаточной функцией (1), имеет вид

       (2)

где – температура в нагревательной установке; ,  – сигналы на входе и выходе широтно-импульсного модулятора, соответственно;  – коэффициент передачи непрерывной линейной части системы; T1, T2 – постоянные времени.

Введем ,  и перепишем уравнение движения (2) в нормальной форме Коши:

    (3)

Выходной сигнал модулятора

  (4)

где T– период модуляции, τk – ширина импульса, определяемая видом импульсной модуляции. В работе рассматривается система с широтно-импульсной модуляцией первого рода (ШИМ-1) и пропорциональным корректирующим звеном в цепи обратной связи. Тогда входной сигнал модулятора определяется выражением

Здесь Vref – сигнал задания температуры нагревательной установки, β – коэффициент передачи датчика температуры, α – коэффициент усиления.

При ШИМ-1 величина τk находится как:

где V– опорный сигнал модулятора.

Введем обозначения

, ,

  .                          (5)

Уравнения движения (3) примут вид:

        (6)

Исследование динамической системы (6) можно свести к изучению свойств двумерного кусочно-гладкого отображения:

, ,

, .

Здесь ширина импульса τk согласно (5) определяется

где  – матрица - строка.

В исследованиях были выбраны следующие значения параметров модели:

 = 10240 c2;  = 352 c; T0 = 10 с; K = 327.8 °C/(B·c); U0= 24 В – напряжение питания; β = 0.01 B/°C; Vs = 5 B; α > 0; Vref = 5 B.

Период T периодического движения динамической системы (6) в общем случае является кратным периоду внешнего воздействия T0: T = mT0, m = 1, 2, . . . . Движение с таким периодом будем называть m-циклом или циклом периода m.

 

2. Бифуркационный анализ

При проведении бифуркационного анализа в качестве варьируемых параметров были выбраны напряжение питания U0 и коэффициент усиления α. На рис. 2 приведены однопараметрические бифуркационные диаграммы, рассчитанные для разных значений U0 при изменении коэффициент усиления α.

 

Рис. 2. Бифуркационные диаграммы при различных параметрах U0 и T0, Vs = 5 B, Vref = 5 B

(соответствует уставке 500 °С)

 

При малых значениях U0 система демонстрирует квазипериодическое поведение с ярко выраженной мультистабильностью. На рис. 2, а изображена бифуркационная диаграмма, иллюстрирующая рождение замкнутой инвариантной кривой, отвечающей двухчастотному квазипериодическому режиму. Как следует из рис. 2, а, при увеличении коэффициент усиления α 1 – цикл теряет устойчивость через бифуркацию Неймарка - Саккера. Потеря устойчивости приводит к возникновению устойчивой замкнутой инвариантной кривой, при этом 1 – цикл продолжает существовать, но становится неустойчивым фокусом. Как известно, характер движения на замкнутой инвариантной кривой определяется числом вращения, когда оно иррационально, точки отображения плотно заполняют инвариантную кривую и динамика становится квазипериодической.

При рациональном числе вращения на инвариантной кривой имеется четное число периодических орбит, половина из которых устойчивые, а половина – седловые, а сама инвариантная кривая образована замыканием неустойчивых многообразий седловых циклов. На рис. 2, а окно с периодической динамикой отвечает области устойчивости резонансного 4 – цикла (области существования замкнутой инвариантной кривой с числом вращения 1:4). При увеличении α резонансный 4 – цикл претерпевает каскад бифуркаций удвоения периода, завершающийся хаотизацией колебаний, при этом замкнутая инвариантная кривая разрушается. Численные эксперименты показали, что с увеличением U0 область устойчивости 1 – цикла уменьшается.

Бифуркационная диаграмма, изображенная на рис. 2, б, иллюстрирует типичный сценарий рождения сосуществующих аттракторов. При изменении коэффициента усиления α жестко возникает устойчивый 3 – цикл. При дальнейшем увеличении α реализуется бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода, завершающийся хаотизацией колебаний. По этой причине в широком диапазоне изменения параметров наряду с устойчивым 1 – циклом существуют либо устойчивые периодические колебания, либо хаотические режимы. То есть в зависимости от начальных условий может устанавливаться или периодическое, или хаотическое движение.

На рис. 2, в показан случай субкритического учетверения периода 1 – цикла через так называемую бифуркацию граничного столкновения («border - collision bifurсation», см., например, [8–15]). На рис. 2, г представлен пример рождения 4-х полосного хаотического аттрактора (four-band chaotic attractor) через border-collision flip bifurсation [8, 15].

Заключение. В статье представлены результаты бифуркационного анализа широтно-импульсной системы управления нагревательной установкой.

Выявлено, что при малых значениях напряжения питания системы демонстрирует квазипериодическое поведение с ярко выраженной мультистабильностью [11], но при этом система имеет достаточно большой запас устойчивости по коэффициенту усиления.

Однако, при увеличении напряжения питания область устойчивости 1 – цикла (рабочего режима) сужается, и потеря устойчивости происходит через бифуркацию граничного столкновения, приводящая к внезапной хаотизации колебаний.

*Работа выполнена в рамках Программы развития опорного университета на базе               БГТУ им. В.Г. Шухова.

 

Авторы выражают благодарность проф. Жусубалиеву Ж.Т. за обсуждение результатов исследований и полезные комментарии.

Список литературы

1. Лодиз Р., Паркер Р. Рост монокристаллов. М.: Мир, 1974. 540 с.

2. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. 600 с.

3. Fractional-order Modeling and Control. [Электронный ресурс]. URL: http://fomcon.net/ (дата обращения: 20.07.2017).

4. Пат. № 2612311 Российская Федерация, МПК G05D 23/22. Устройство регулирования температуры электронагрева / Гольцов Ю. А., Жусубалиев Ж. Т., Кижук А. С., Коленченко В. В., Рубанов В. Г., заявитель и патентообладатель БГТУ им. В.Г.Шухова. - № 2016113209, заявл. 06.04.2016, опубл. 06.03.2017. Бюл. № 7. 5 с.

5. Gol'tsov Yu.A., Kizhuk A.S., Rubanov V.G. Control of high power thermal object in the class of fractional order regulators // International Journal of Pharmacy & Technology. 2016. Т. 8. №.4. С. 24790-24800.

6. Рубанов В.Г., Кижук А.С, Гольцов Ю.А., Кариков Е.Б. Реализация алгоритма аппроксимации дробного интегродифференцирования с оценкой ошибки // Вестник БГТУ им. В.Г. Шухова. 2015. № 2. С. 148-151.

7. Кижук А.С., Гольцов Ю.А. Микропроцессорная система автоматического управления тепловым режимом технологического процесса выращивания кристалла сапфира // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2014. №11. С. 42-49.

8. Мощный полевой транзистор IRF3205. Техническая документация. [Электронный ресурс]. URL: www.irf.com (дата обращения: 20.07.2017).

9. Zhusubaliyev Zh.T., Mosekilde E. Bifurcations and Chaos in Piecewise-Smooth Dynamical Systems. Singapore: World Scientific, 2003. pp: 363.

10. Banerjee S., Verghese G.C. Nonlinear Phenomena in Power Electronics. New York, USA: IEEE Press, 2001.

11. Bernardo Di.M., Feigin M. I., Hogan S. J., Homer M. E. Local Analysis of C -bifurcations in n-dimensional Piecewise-Smooth Dynamical Systems // Chaos, Solitons and Fractals. 1999. 10(1). Pp. 1881-1908.

12. Nusse H.E., Yorke J. A. Border-Collision Bifurcations Including “Period Two to Period Three” for Piecewise Smooth Systems // Physica D. 1992. 57. Pp. 39-57.

13. Banerjee S., Ranjan P., Grebogi C. Bifurcations in Two-Dimensional Piecewise Smooth Maps - Theory and Applications in Switching Circuits // IEEE Trans. Circ. Syst. I. 2000. 47(5). Pp. 633-643.

14. Zhusubaliyev Zh.T., Soukhoterin E.A., Mosekilde E. Border-Collision Bifurcations and Chaotic Oscillations in a Piecewise-Smooth Dynamical System // Int. J. Bifurcation Chaos. 2001. 11(12). Pp. 1193-1231.

15. Bernardo Di.M., Budd C.J., Champneys A.R., Kowalczyk P. Piecewise-smooth Dynamical Systems: Theory and Applications, in: Applied Mathematical Sciences. Springer. 2008. Vol. 163. Pp. 483.

16. Zhusubaliyev Zh.T., Mosekilde E. Multi-stability and Hidden Attractors in a Multilevel DC/DC Converter // Mathematics and Computers in Simulation.


Войти или Создать
* Забыли пароль?